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Lin Alg: Another Example of a Projection Matrix : Figuring out the transformation matrix for a projection onto a subspace by figuring out the matrix for the projection onto the subspace's orthogonal complement first
相關課程
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- 已知一個次空間V
- 它等於――
- 我這麽來寫――
- 它等於所有
- 形如[x1,x2,x3]的向量
- 滿足x1+x2+x3=0
- 如果你仔細分析一下
- 這是一個在R3中的平面
- 所以這個次空間是R3中的一個平面
- 我感興趣的是
- 求出關於R3中的任何向量x
- 在次空間V中的投影的變換矩陣
- 我們應該怎麽做？
- 我們可以沿用上次課中的方法
- 求出次空間的基向量
- 這不難做
- 我們可以把x2 x3
- 看做是自由變量
- 從而有
- x1等於-x2-x3
- 我們可以把它寫成
- 某種參數形式
- 我們可以把解集
- 寫成基向量的線性組合
- 我們可以令x2等於
- 它等於
- 某個任意的常數c2
- 令x3等於
- 某個任意的常數c3
- 從而有V…… 我再寫一次V
- 我們有V等於―― 我寫在這――
- V等於[x1,x2,x3]的集合
- 它滿足[x1,x2,x3]=c2<i>――</i>
- x1等於――
- 我用c2來表示――
- 這項等於c2
- 這項等於c3
- 所以x1等於-c2-c3
- x1等於-1<i>c2加上c3乘以什麽呢？</i>
- 加上c3<i>(-1)</i>
- 那麽x2等於多少呢？
- x2就等於c2
- 從而這是1<i>c2+0<i>c3</i></i>
- x3等於c3
- 從而就是0<i>c2+1<i>c3</i></i>
- 這是次空間的另一種定義方法
- 所有滿足這些條件的向量
- 等於這個定義
- 它就是所有的向量 其分量滿足……
- 或者說這個向量在這個平面中
- 其分量在這個平面中
- 這對於任何實數成立
- 另一種寫法是
- V等於兩個向量張成的線性空間
- 一個是[-1,1,0]
- 另一個是[-1,0,1]
- 就像這樣
- 我們知道它們是V的一組基
- 因爲它們是線性獨立的
- 我不可能取到這個向量的線性組合
- 使得其第二個分量等於這個1
- 同樣地 我也不能取到
- 這個向量的線性組合
- 使得其第三個分量等於這個1
- 所以它們是V的一組基
- 我們使用之前用過的方法
- 設定一些向量
- 令某個矩陣A
- 等於[-1,1,0;-1,0,1]'
- 從而我們能得到
- 任何R3中的向量x
- 在V中的投影等於
- 我們來看看 它等於
- A乘以(A'A)的逆
- 所有這項乘以A' 然後再乘以x
- 你可以做出來
- 已知A在這裡
- 可以容易地求出A'
- 然後可以求出A'A 然後取其逆
- 這與我們上次課的內容
- 十分類似
- 而且要少花一些功夫
- 因爲這是一個3×2的矩陣
- 而上次課是一個4×2矩陣
- 但這仍然是很繁重的
- 其中可能會出現一些小錯誤
- 所以我們就要想一想
- 是否有其他得出這個矩陣的方法
- 我們知道如果x屬於R3
- 那麽x可以表成
- 某個向量v的線性組合
- 它在次空間中 再加上某個向量w
- 它在次空間的正交補中
- 其中v屬於次空間
- 而w屬於
- 次空間的正交補
- 由定義
- 這一項就是x在V中的投影
- 這一項就是
- x在V⊥中的投影
- 我們可以寫成x等於
- x在V中的投影
- 加上V⊥中的投影
- 或者說x在V⊥中的投影
- 由定義我們知道
- R3中的任何向量都可以這麽表示
- 如果我們要把它寫成矩陣和向量的乘積
- 在兩節課之前我講過
- 這些是線性變換
- 我寫在這
- 它們是線性變換
- 所以可以寫成矩陣和向量的乘積
- 看這裡
- 我定義這個矩陣
- 稱之爲T
- 將它命名爲T
- 我換一個字母
- 換成B來表示
- 對於x在
- V⊥中的投影
- 假設它等於
- 某個矩陣C乘以x
- 我們知道這是個線性變換
- 所以它可以代表矩陣Cx
- 這些等於什麽？
- 對於x 如果我要把它寫成
- x的一個線性變換
- 我就可以把它寫成一個3×3的單位方陣
- 再乘以x 對嗎？
- 它就是x
- 這將等於x在V中的投影
- 這就是Bx
- 然後加上
- x在V⊥中的投影
- 就是Cx
- 加上Cx
- 如果把x提出來
- 我們知道矩陣和向量的乘法
- 滿足分配律
- 所以這個單位方陣乘以x
- 就等於(B+C)x
- 另一種考慮方式是
- 這個矩陣一定等於這兩個矩陣之和
- 從而我們得到R3中的單位方陣
- 等於V中的投影矩陣
- 加上V⊥中的投影矩陣
- 注意 這個問題的關鍵在於
- 求出這一項
- 也就是求出B
- 我們知道如何來做
- 取A' 然後求出這一項
- 計算過程很繁瑣
- 也許這一項是容易求出的
- 可能是這樣的
- 從整個過程來看
- 應該是容易處理的
- 如果這一項容易求出
- 我們就可以解出B
- 我們在兩邊減去C
- 得到B等於I
- 它表示單位方陣
- 減去關於V⊥的
- 變換矩陣
- 我們來看看這是多少
- 是否可以求出C
- 我們回到之前所講
- 注意―― 我重新寫出我們的問題――
- V等於
- 本質上等於[x1,x2,x3]的集合
- 滿足x1+x2+x3=0
- 換句話說就是
- 所有的x1 x2 x3
- 滿足方程
- [1,1,1][x1,x2,x3]'等於0
- 它是一個0向量
- 我們把它寫成這樣
- 於是有1<i>x1+1<i>x2+1<i>x3</i></i></i>
- 等於0
- 這是V的另一種表示方法
- 對於滿足這個條件的x
- 它等於多少？
- 這表示V等於
- 這個矩陣的零核空間
- 這個矩陣的零核空間就是
- 所有滿足這個方程的向量構成的空間
- 所以V就等於零核空間――
- 我這麽來寫――
- [1,1,1]的零核空間 就像這樣
- 在上面這裡
- 我們可以用傳統的方法指出V
- 我們指出V是這些向量張成的空間
- 但現在我們知道它就是
- [1,1,1]的零核空間
- 這兩種表述是等價的
- 現在我們有一種預感
- 我們可以通過計算這個A'
- 直接得出這個B
- 也就是計算這個繁瑣的項
- 我們有種預感
- 如果我們能求出
- V⊥的變換矩陣
- 那麽我們就可以應用這一項
- 我們可以解出B
- 因爲這個單位方陣減去這一項
- 就能得到B
- 我們看看是否可以求出投影的矩陣
- 如果我們能夠得出
- 正交投影的變換矩陣
- 它是x在V的正交補中的投影
- 這是V
- 那麽V的正交補是多少？
- V的正交補等於
- 正交補……
- 或者說V⊥等於
- 這個矩陣的零核空間的
- 正交補
- 這又等於什麽呢？
- 注意 零核空間的正交補――
- 一個零核空間的正交補
- 等價於A的行空間
- 或者A'的列空間
- 我們見過多次了
- 或者可以說行空間的正交補
- 就是零核空間
- 我們之前見過很多次
- 所以這一項的正交補
- 就等於其轉置的列空間
- 就是這一項的轉置的零核空間
- 也就是[1,1,1]'
- 或者可以寫成V的正交補
- 等於[1,1,1]'張成的空間
- 這個矩陣的列空間
- 它只有一列
- 所以其列空間
- 就是由這一列張成的
- 我們從直觀上來看
- 關於V的原始的方程 它滿足
- 它是R3中的一個平面
- 這是V
- 現在我們要指出
- V的正交補是多少
- 它是R3中的一條直線
- 它就等於
- 這一項的線性變換
- 它是R3中的一條直線
- 我還沒畫出來
- 你知道它是傾斜的
- 但它應該是一條直線
- 這就是V的正交補
- 我們來看是否能求出
- 注意這個投影――
- 我這麽做
- 這是V的正交補的一組基
- 我們來構建矩陣
- 我用一個
- 沒有用過的符號
- 我們來構建矩陣D
- 其行向量就是
- V的正交補的基向量
- 只有一個基向量
- 那就選它了
- 我們在上次課
- 及之前的課上學過
- R3中任何向量
- 在V的正交補中的投影
- 等於D(D'D)^-1
- 再乘以D' 再乘以x
- 另一種考慮方式是
- 這裡的這項就是這個投影的
- 變換矩陣
- 這是個變換矩陣
- 變換矩陣
- 我們來看這種方法是否
- 比上面的方法容易
- 其中已知的是一個3×2矩陣
- 這是我們解題的出發點
- 爲了求出V的投影矩陣
- 我們需要處理這個3×2矩陣
- 這看起來有些困難
- 我們轉而去求投影矩陣
- 來得到V的正交補上的投影
- 就是這一項
- D'是多少？
- D'就等於[1,1,1]
- 那麽D'D是多少？
- 這是D'
- 這是D 就像這樣
- 那麽這項等於多少？
- 這就是二者的點積
- 1<i>1+1<i>1+1<i>1等於3</i></i></i>
- 所以這一項就等於1×1矩陣[3]
- 我寫下來
- 它等於D――
- 就只矩陣[1,1,1]'
- 乘以D'D的逆
- D'D就是這個1×1矩陣
- 我們求它的逆
- 事實上 我從未定義過
- 1×1逆方陣
- 這有些激動人心
- 乘以D'
- D'就是[1,1,1]
- 然後所有這些乘以x
- 這部分是變換矩陣
- 那麽1×1逆方陣是多少呢？
- 你應該記的
- A的逆乘以A就等於單位方陣
- 如果我們處理的是一個1×1矩陣
- 那麽我就要求出
- 什麽矩陣乘以3
- 得到的是1×1的單位方陣
- 我們有3的逆乘以3
- 等於單位方陣
- 一個1×1的單位方陣
- 使這個式子成立的唯一矩陣是
- 我們用這一項乘以這一項
- 就得到這一項
- 就是這一項
- 從而這個1×1逆方陣
- 就是矩陣[1/3]
- [1/3]乘以[3]等於[1]
- 這很簡單
- 這是它的逆
- 這是1×1矩陣[3]的
- 一個逆矩陣
- 所以這一項就是[1/3]
- 我們可以將它提出來
- 它是一個1×1矩陣
- 就相當於一個純量
- 所以這等於――
- 我畫一條分開線――
- 這等於1/3――
- 我不想把大家弄糊塗
- 我重寫一下
- 我們得到R3中任何向量
- 在V的正交補中的投影
- 等於1/3
- 乘以向量[1,1,1]' 乘以――
- 抱歉 等一下
- 這是一個向量 或者說矩陣[1,1,1]'――
- 乘以矩陣的轉置[1,1,1]
- 然後整體乘以x
- 你能發現
- 這比我們用上面這個矩陣做
- 可簡單多了
- 那是一個比較難以處理的矩陣
- 這個矩陣[1,1,1]形式很簡單
- 那麽這一項等於多少呢？
- 它等於1/3乘以
- 這是3×1矩陣乘以1×3矩陣
- 所以得到的是3×3矩陣
- 我們得到什麽？
- 第一項就是1<i>1=1</i>
- 第二項就是1<i>1=1</i>
- 第三項是1<i>1=1</i>
- 我想你知道怎麽做
- 第二行乘以第一列 1<i>1=1</i>
- 所以這就是一個元素都爲1的3×3矩陣
- 從而我們能得到――
- 這種情況很簡單――
- 我們能夠得到R3中的任何向量
- 在V的正交補中的投影矩陣
- 我們知道這一項就是
- 原來的C
- 我們知道這個單位方陣――
- 我寫在這
- 我們參考剛才所寫的內容
- 我們看出單位方陣等於
- V的投影的變換矩陣
- 加上V的正交補的
- 變換矩陣
- 我可以寫出V的投影的
- 線性變換等於
- 單位方陣減去
- V的正交補的投影的線性變換
- 如果x在V中的線性變換
- 等於Bx
- 我們知道B等於
- 這個3×3的單位方陣 減去C
- C在這裡
- B就等於這個單位方陣――
- 它是[1,0,0;0,1,0;0,0,1]――
- 減去C 即減去1/3[1,1,1;1,1,1;1,1,1]
- 就像這樣
- 這等於多少？
- 我們來計算一下
- 如果我們把1/3才乘進去
- 那麽所有這些項都等於1/3
- 用1減去1/3
- 我可以這麽寫
- 這是1/3 1/3 1/3
- 所有項都是1/3
- 以下都是1/3 這個係數變成了1
- 從而1-1/3=2/3
- 這裡都是1-1/3 結果是2/3
- 沿著對角線來寫
- 然後0-1/3=-1/3
- 於是有-1/3 -1/3 -1/3
- 這些項也是-1/3
- 就像這樣
- 我們能夠求出投影
- 能夠求出變換矩陣
- 對於x在V中的投影
- 本質上就先要求出這一項
- 對於求x在V的正交補中的投影的
- 變換矩陣
- 無論如何 我認爲這種方法很簡便
- 你可以將它寫成
- 1/3倍的2 2 2
- 對角線上都是2
- 然後其他項都是-1
- 下次課見
初次見面
好像又更了解你一點了
要常常來找我玩喔！
(1/3) (2/3) (3/3)
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