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Lin Alg: Example using orthogonal change-of-basis matrix to find transformation matrix : Example using orthogonal change-of-basis matrix to find transformation matrix
相關課程
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- 上一課我們學到 如果取一個矩陣
- 設它是C 而且它是n×k的矩陣
- 而且C的行向量
- 設它們是列1, 列2
- 一直到列k
- 如果這些行向量組成一個正交集
- 我來寫一下 行向量是正交集
- 或者說行向量的集合是正交集
- 上個影片裏說到
- 如果我用C轉置乘C
- 我就得到了單位方陣
- 得到一個k×k矩陣
- 這個單位方陣是k階的
- 因爲這兩個分別是k×n和n×k的
- 其他的項都被消沒了
- 只有對角線存活
- 而這就是把向量乘以它自己
- 而它們都是單位向量
- 所以你會得到它們長度的平方
- 也就是說對角線全都是1
- 這是上次影片的內容
- 那如果k等於n又會如何？
- 會發生什麽神奇的事情？
- 那麽它就是一個方陣
- 那如果它是方陣
- 我們能推出什麽？
- 我們知道這些列是正交的
- 在前面影片裏說過
- 這意味著它們是線性獨立的
- 所以我們得出我們有
- 線性獨立的行向量
- 這已經講過很多次了
- 如果這個方陣的列
- 線性獨立
- 那C就是可逆的
- 這也就是說 我有n個向量
- 也就是說這些列
- 這些行向量
- 它們組成一個集合
- 這個集合就是Rn的一組基底
- 寫在旁邊吧
- 這是因爲
- c1 c2 一直到cn
- 我們知道n等於k
- 這就是Rn的基底
- 我們把它放著晾著
- 只是讓你們了解
- 那如果C是可逆的 這意味著什麽
- 這就是說有C逆存在
- 就是C逆乘以C等於
- n×n的單位方陣
- 這裡k等於n
- 我就用n代替k
- 這兩個式子很神似啊
- 如果行向量正交
- 而且是n×n矩陣
- 那根據上個影片講過的
- C轉置乘C等於
- n×n單位方陣
- 我們還知道 因爲這是個方陣
- 且行向量線性獨立 也就是說C是可逆的
- 那麽 在這種情況下你有一個n×n矩陣
- 而且行向量正交
- 也就是說C逆等於C轉置
- 你可以這麽看
- 小明乘以C等於一個單位方陣
- 小剛乘以C也等於一個單位方陣
- 那小明肯定就是小剛了
- 所以C逆就等於C轉置
- 這個用起來就很方便了
- 我們假設
- 這是一個正交的方陣
- 既然計算逆方陣會讓人痛不欲生
- 特別是當
- n超過了3時
- 如果你要算一個
- 10×10逆方陣
- 你會求死不能的
- 不過要算10×10矩陣的轉置
- 小菜一碟
- 你只要交換這些行和列
- 我們看看能不能用我們的新發現
- 算出那些年我們一起坑過的難題
- 所以這裡我有某些向量v1 v2 v3
- 比如說
- 我來把它複製粘貼貼到下面
- 這樣看得更清楚點
- 複製...粘貼...
- 就放這把
- 我們有這些向量
- 留給你們去驗證
- 它們是否爲單位向量
- 它們放在一起就形成了一個正交集
- 它們就是R3的一個正交基底
- 這個也可以
- 留給你們自己驗證
- 在影片裏我要做的是
- 在R3裏建立一個神奇的線性變換
- 比如說我有一個由v1和v2確定的平面
- v1和v2是
- 互相正交的
- 這是個正交集
- 所以v1和v1是正交的
- 這個是v1
- 當然我畫得不精確
- 只是大體看一看
- v1 v2 它們張成一個平面
- 我盡量把這個平面畫好點
- 那麽v1和v3的
- 所有線性組合
- 都落在R3中的這個平面裏
- 這就是這個平面
- 它是向四周無限延伸的
- 不過畫出來只能是這樣了
- 這裡有一個零向量
- 我把這個平面命名爲
- 這個平面命名爲
- 它就是R3中的一個次空間V
- 是由v1和v2張成的
- v3和它們倆正交
- 我把v3畫出來玩玩
- v3就像這樣
- 它與兩個向量都正交
- 它也正交於
- v1和v2的所有線性組合
- 所以你把這個平面看成V
- 你可以想象這條線是v3張成的
- 它就是這個平面的正交補
- 我來把v3畫出來
- v3是正交補中的一個向量
- 而完整的正交補則是
- v3張成的直線
- 這些是複習部分
- 現在來說說這節課裏
- 我們要構造的線性變換
- 我現在R3裏構造一個線性變換
- 我們是在R3裏面做
- 就是對這個平面做鏡像
- 我們來用例子說話
- 但願我能畫的清楚些
- 比如說有一個向量
- 就叫它向量x
- 然後
- 這個向量就長成這樣
- 它在平面的上面
- 像是要跳出來
- 它並不在我們的次空間裏
- 不過我想通過變換
- 做出x的鏡像
- 那麽
- 可以想象一下這個平面是透明的
- 鏡像就在這
- x在上面
- 下面是變換後的x
- 就是我想得到的
- 比如說還有一個向量
- 換個新顏色
- 如果有一個向量像這樣
- 它的變換就是在平面以下
- 就是一個鏡像
- 就是這個鏡像
- 明白了吧
- 現在爲了更好地理解
- 這個變換
- v1變換後是什麽呢？
- v1就在平面裏 所以它的鏡像
- 還是它自己
- v1變換後還是v1
- 那麽v2呢
- 它也在平面裏
- 所以v2變換後還是v2
- 那v3呢？
- v3是垂直於這個平面的
- 它是豎直地立起來的
- 取它的鏡像
- 你就得到了-v3
- 就是-v3
- 我假設它是豎直的
- 我們其實不知道
- v3顯然不是豎直的
- 我就是隨便一畫
- 只是表示和平面的關係
- 這個平面應該更斜一點
- 不管怎樣 v3在變換後
- 成了-v3
- 看起來這個變換
- 相當難構造
- 我們可以把這個變換
- 應用到R3的基底上 就像以前那樣
- 不過這看起來相當複雜
- 要算好多三角函數
- 得算出這平面的斜率
- 接下來繼續做
- 很難形象地看出來
- 所以你就要另辟蹊徑
- 用別的基底來表示這個變換
- 就會簡單不少
- 假如說這是標準基底
- 在標準基底下 這個變換就是
- 對x乘以一個矩陣x
- 口誤 是乘以矩陣A
- 得到變換後的x
- 我們知道真很難
- 因爲要找出標準基底下的這個變換
- 是非常難的
- 所以我要做的就是建立一些基底
- 然後用新的基底表示x
- 我用x乘以
- 基底變換逆方陣
- 然後我就得到了新基底下x的坐標
- 也許在這個新基底下我能找到一個D
- 然後我就能得到一個
- 變換後的xB
- 然後我們再將其乘以C
- 如果我們能找到D 那我們就能
- 我們已經知道x變換後
- 等於A乘以x
- 很久以前就知道
- 任何線性變換都可以
- 表示成一個矩陣向量乘積
- 不過這個很難算
- 相當難算
- 我們可以繞開它
- 我們可以T(x)等於
- 你先取x
- 然後乘以C逆
- 得到xB
- 所以先乘以C逆
- 然後把它乘以D
- 就得到了變換後的xB
- 乘以D
- 接下來再乘以C
- 來得到標準基下的變換結果
- 用C乘
- 我們看過這個式子
- 所以只要我們能找到適當的基底
- 讓D變成容易計算的
- 那麽我們再這樣乘一下
- 乘以轉換矩陣和它的逆
- 我們就得到了A
- 因爲這裡的矩陣乘積
- 就等於上面的A
- 然後 如果我們取了一組正交基
- 如果B是一組正交基 它有三個向量
- 那麽C是可逆的
- 我們可以知道如果這是個正交基
- 那麽C轉置乘C等於
- 單位方陣
- 我們也知道C是可逆的
- 現在知道C是3×3的矩陣
- C逆存在
- 在影片開頭 我們說到
- 這是說C的轉置
- 就等於C逆
- 因爲它在這裡和逆的作用一樣
- 然後 如果C是一個n×n矩陣
- 這裡是3×3矩陣
- 我們是在R3裏做
- 上面的式子就化爲
- A=CDC逆
- 這就很好算了
- 這就比直接構造一個3×3矩陣要好得多
- 我們來試試這麽算行不行
- 取什麽基底比較合適
- 我感覺自然的想法就是用
- v1 v2和v3
- 因爲用這些基底向量很容易找到
- 變換的矩陣
- 來寫一下
- 我的基底就是
- 就是v1 v2 v3
- 爲了便於理解
- 我把這些向量都算出來
- 它們在新基底下的坐標是什麽
- v1就等於1乘以v1 加上0乘以v2
- 加上0乘以v3
- 所以v1在新基底下
- v1是第一個基底向量
- 就等於1,0,0
- 同理
- v2在新基底下等於什麽
- 我不寫了 你們都懂得
- 直接寫結果了
- v2 在新基底下是0乘v1
- 這些數字 這些坐標
- 就是基向量前面的係數
- 這就是0乘以v1
- 加上1乘以v2 加上0乘以v3
- 最後 v3在新基底下
- 就是0乘v1 加上0乘v2
- 加上1乘v3 這太簡單了
- 那我的變換矩陣是什麽？
- 我還是等會再講吧
- 先告訴你們這個矩陣就是
- 這幾個爲行向量的矩陣
- 當然它的逆就是
- 它的轉置
- 我們等會再講這個
- 現在我們怎麽找到D？
- 我們來算算D
- D有三個行向量
- 就是d1 d2 d3
- 這是一個三維的映射
- 應該說是三維向量
- 到三維向量的映射
- 這些都是R3裏的
- 那麽B座標係裏的v1
- 如何表示
- 那就等於D乘以
- B座標係裏的v1
- 也就等於d1 d2 d3乘以它
- 這就是B座標係裏的v1
- 乘以1,0,0
- 這就等於d1
- 我們以前見過這個
- 那d1是什麽呢？
- B座標係下的T(v1)
- 同理可得
- 往左邊寫點
- 右邊沒地方了
- T(v2)在B座標係下
- 就等於D 也就是d1 d2 d3 乘以
- B座標係下的v2
- B座標係下的v2是0,1,0
- 所以它就等於d2
- 最後了 還是寫完吧
- B座標係下的T(v3)
- 等於 d1 d2 d3乘以
- B座標係下的v3
- 所以乘以 0,0,1
- 這就等於0乘以d1 加上0乘以d2
- 加上1乘以d3 就等於d3
- 這又證明了一遍
- 證明我們可以找到這樣的D
- 只要找到B座標係下的
- 這些變換
- 所以我們可以把D寫成
- 第一列就是這樣的
- 它是B坐標下的T(v1)
- 第二列是這樣
- d2就是它
- 那麽就是B坐標下的T(v2)
- 第三列是
- B坐標下的T(v3)
- 就是這樣
- 我們來看看這些能不能算出來
- 這個很有前途 應該不難算
- 我們在上面見過它
- 我們已經寫了這個變換下的
- v1 v2 v3都是什麽
- 現在我們要找出
- 它們在B座標係下是什麽
- 我再寫一遍 我把它從上面複製下來好了
- 這樣看起來舒服一點
- 已經找到它們了
- 把它粘下來
- 就是這個
- 結果已經得到了
- 所以我們必須找到B坐標下
- 它們的坐標
- 那麽B坐標下的
- T(v1) 其實我想
- 還是寫出來吧
- 不夠愉悅啊
- 這就等於B坐標下的v1
- 也就是1,0,0
- 把D寫在這吧
- D就等於 第一列是1,0,0
- 那第二列是什麽
- B坐標下的T(v2)
- 就是v2在B座標係下的表示
- 或者就叫B坐標 等於
- 0,1,0 那就剩一個了
- 這個有點意思
- B座標係下的T(v3)
- v3不是在這個平面裏的
- 它等於
- 這個變換是-v3
- 就是把它翻過來
- 與平面垂直
- 所以它就是B坐標下的-v3
- -v3就是0乘v1
- 加上0乘v2 減去1乘v3
- v1 v2 v3 都是基底
- 所以第三列就是0,0,-1
- 我們也得到了D
- 這挺簡單的
- 這裡的D就是我們剛才算出來的
- 爲了算A 我們就用這個式子
- 用基底變換矩陣
- 我來把這些複製一下
- 挺有用的
- 這些全複製了
- 複製 然後粘貼 現在我們得到D了
- 好的 這裡都全了
- 現在來算A
- 爲了得到A 我們先得算出
- 基底變換矩陣
- 這麽寫
- 我來清理一下這裡
- 我就要這個就夠了
- 這些都沒用了
- 把它們都幹掉
- 現在來算A
- A就等於基底變換矩陣――
- 我們的基底變換矩陣
- 就是用這些作爲行向量
- 我可以把1/3提出來
- 那麽C就是 1/3乘以 2 -2 1 2 1 -2
- 然後是1,2,2
- 我們要算A
- 然後把這些乘以
- 對了 這裡就是我們的基底變換矩陣
- 這就是C 然後再乘以D
- 也就是1,0,0,0,1,0 然後0,0,-1
- 很像單位方陣嘛
- 不過第三個向量是翻過去的
- 所以我們得到了-1
- 然後是C逆
- 因爲C是正交的方陣
- 所以C逆就等於C轉置
- 寫在這裡
- 就是這個的轉置
- 我繼續把1/3提出來
- 簡化一下
- 那麽乘以1/3 再乘以這個的轉置
- 所以我們有2,2,1 所以我們有2,2,1
- 我們得到2,1,2
- 然後是1,-2,2
- 然後這裡 這裡是C逆
- 也就等於C轉置
- 因爲C是可逆的
- 或者一個正交方陣
- 那這等於什麽
- 這樣的話 那我們就先看看
- 先寫這個 這個是D
- 先做這個乘積
- 等會再算那個1/3
- 先把這個擦掉
- 我就能用這塊地了
- 擦擦更健康
- 再把我的筆拿回來
- 好的
- 做這裡的乘積
- 所以A就等於 先算這兩個1/3
- 這就是1/9再乘以
- 這是一個3×3矩陣了
- 先是2,2,1乘以1,0,0
- 2,2,1乘以1,0,0
- 不爲0的那一項就是
- 2乘1
- 這就是2
- 然後是2,2,1乘以0,1,0
- 這第二列
- 不爲0的項是
- 2 中間的2
- 然後2,2,1乘以0,0,-1
- 不爲0的項是
- 最後一個 也是一個負數
- 就是-1
- 還不錯嘛
- 這和單位方陣相差無幾
- 然後算這個
- 我們有-2,1,2乘以它
- 只有它頑強地存活了
- 然後它乘它
- 只剩這個
- 然後它乘它
- 這個是負的
- 就剩它了
- 我想也看到了發生了什麽
- 這些行都不變
- 之後最後一項變成負的了
- 再來一遍
- 取這一行
- 取這一行
- 和這一列做乘積
- 只剩它
- 然後這一行和這一列 得到-2
- 然後這行和這列 剩個2
- 不過乘了-1 所以就是-2
- 然後把這個向量拿出來
- 記著 我們的1/3
- 兩個1/3就是1/9
- 然後我們有2,-2,1,2,1,-2
- 然後1,2,2
- 這有一點費勁
- 不過我感覺能行
- 這已經到了斬殺階段了
- 那麽A 我們的變換矩陣
- 一個對平面R3做鏡像的
- 奇妙變換就等於1/9乘以
- 這是個3×3矩陣
- 這就是2乘2 也就是4
- 我來寫一下
- 啊 好麻煩啊
- 那麽2乘2 就是4 加上2乘2
- 就是4 然後加上-1
- 就是4+4-1 也就是7
- 4+4-1等於7
- 我用這行乘這列
- 所以2乘以-2 就是-4 再加2 就是-2
- 再減2 就是-4
- 然後就有2乘1也就是2 減4
- 就是2 然後-2 就是-4
- 不是很費勁嘛
- 好的 下面是第二行
- 就是-2乘2就是-4
- 加2 等於-2 減2 等於-4
- 然後-2乘以-2
- 等於4 加1 等於5 -4
- 檢查一下
- 就是-2乘以-2
- 就是正4 加1 乘1
- 就是-3 加上-2乘-2\N【譯注：這裡是口誤 應該是-2乘2】
- 也就是-4
- 然後得到
- 我有點亂 我得捋捋
- 哦不 我已經混亂了
- 應該挺簡單的
- -2乘-2等於4 加上1等於5 -4等於1
- 然後我們得到-2減2
- 等於-4 再減4 就等於8
- 再加把勁
- 這塊挺痛苦的
- 然後你得到了 2-4 就是-2 減2
- 等於-4 然後
- -2減2（笑） 再減4 等於-8
- 然後終於快算完了 1+4 -4 就是1
- 如果我沒有粗心大意的話 我們這就做完了
- 我們現在知道我們這個鏡像變換
- 所有這些奇妙的東西
- 通過這個變換我們就能做出平面的鏡像
- 平面是由v1 v2張成的
- 就是這個矩陣
- 所以這個變換
- 在標準坐標下對x應用一下
- 就等於A乘以x
- A就是它
- 我們可以把1/9乘一下
- 那樣看起來更費勁
- 這個你要是直接硬算
- 是挺費勁的
- 要不然我們算這些7啊-4啊神馬的
- 就得用標準基底做變換
- 硬算就這麽算
- 現在我們把基底
- 換成了一個自然的正交基
- 因爲它是正交的
- 所以找到它的變換逆方陣很容易
- 最後 祝這堂課對你有幫助 再見