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Lin Alg: Finding projection onto subspace with orthonormal basis example : Example of finding the transformation matrix for the projection onto a subspace with an orthonormal basis
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- 上個影片裏提到過
- 如果我們給定一種標準正交基
- 可以縮寫成這個--
- 如果我有一個標準正交基
- 然後找到一個次空間V
- 如果要得到空間Rn中
- 某一向量x到V上的投影
- 那麽這個變換矩陣可以很簡單的寫成
- A乘以A轉置乘以x
- 而且A就等於
- 以基向量爲列的矩陣
- 那麽就寫成，v1，v2一直到vk
- 這些是基向量
- 根據其正交性 我可以這樣寫
- V的正交基向量
- 上個影片裏我們就學過這個
- 這也是我們喜歡使用標準正交基的另一個原因
- 現在我們來做個具體的例子看看
- V等於向量
- 即[1/3,2/3,2/3]
- 和向量[2/3,1/3,-2/3]組成的空間
- 那麽 可以看出來這倆向量線性獨立
- 而且長度均爲1
- 而且彼此正交
- 所以我們可以說b 這個集合--
- 這樣寫--
- 我們把向量1簡寫成v1
- 那麽這個是v2
- 那麽v1和v2組成的集合
- 就是V的標準正交基
- 現在 就來用這個結果來找到投影
- 我們想要找到對於R中
- 任意向量x的變換矩陣
- 那就在R3中吧
- 找它在次空間V中的變換
- 次空間在R3中是一個平面
- 那麽會發生什麽？
- 嗯 那麽就知道我們需要建立--
- 需要建立一個矩陣A 等於--
- 以這些向量作爲列
- 也就是[1/3, 2/3, 2/3]和[2/3,1/3,-2/3]
- 如果這樣建立了A
- 那麽x在V上的投影
- 這個線性變換
- 就可以表示爲A乘以A轉置乘以x
- 那麽要找到變換矩陣
- 只需用這矩陣乘以它的轉置即可
- 那來做做看
- 粘貼複製這個就行
- 好的 在這兒做
- 這個就是A
- 用這個乘以A的轉置
- A的轉置就等於 1/3, 2/3, 2/3, 1/3
- 然後是2/3,-2/3
- 這就是A的轉置
- 那麽這個等於什麽呢？
- 我們得到了一個3×2 乘以一個2×3的矩陣
- 就得到了一個3×3矩陣
- 這是有原因的 因爲這個是
- R3到R3的一個映射
- 對不？
- 你給我一個R3中的元素
- 然後我給你R3中的另一個元素
- 這在我的次空間V裏
- 就是x到V的投影
- 而且我們也看到V中距離x最近的元素
- 那麽會發生什麽呢？
- 這會變成一個3×3矩陣
- 就得到一個3X3矩陣
- 那麽第一項
- 我們來點乘這倆向量
- 就得到1/3<i>1/3 等於1/9</i>
- 加上2/3<i>2/3</i>
- 也就是1/9 加上4/9
- 所以我想可能會遇到很多
- 九分之一
- 所以我把所有都除以9
- 那麽1/9加4/9就等於5/9
- 但是這裡只寫個5
- 因爲我們知道最後這裡所有數
- 都需要除個9
- 所以這就是這倆點乘的結果
- 接下來要做好多次這種運算
- 我將得到2/9加2/9 對不？
- 也就是4/9
- 現在 它點乘它
- 2/9減4/9 就等於-2/9
- 現在來做這行的點乘
- 我們要看第二行那麽--
- 2/3和1/3的點積等於2/9 再加上2/9就等於4/9
- 這裡寫4 得到4/9
- 接下來得到2/9+1/9 也就是3/9
- 檢查一下對不對
- 2/9--啊對不起 2/3<i>2/3等於4/3</i>
- 所以是4 抱歉 2/3<i>2/3是4/9 加上1/9等於5/9</i>
- 然後得到4/9-2/9等於2/9
- 來做最後一組
- 我希望你們能發現做這個比
- 做A轉置再算它的逆
- 少了很多麻煩和痛苦
- 我們只是算A乘以A轉置
- 那麽 2/3<i>1/3 也就是2/9減4/9</i>
- 也就是-2/9
- 然後得到4/9減2/9 也就是2/9
- 然後有4/9加4/9 也就是8/9
- 所以就像我們能夠得到
- R3中任意向量
- 在次空間V中的投影一樣
- 這個方法比以往方法
- 減少很多麻煩