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Lin Alg: Invertible Change of Basis Matrix : Using an invertible change of basis matrix to go between different coordinate systems
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- 就像前幾次課所做的
- 我們假設有基向量的集合B
- 假設基向量的集合中
- 含有向量v1,v2,...,vk
- 它們能長成k維的次空間
- 並且假設它們每一個都屬於Rn
- 即v1,v2,...,vk
- 都屬於Rn
- 在上次課中
- 我們定義了一個基的變換矩陣
- 這是一個有趣的術語
- 但是它表示的是
- 行向量由基向量構成的矩陣
- 所以v1,v2,...,vk就是它的行向量
- 共有k列
- n行
- 因爲它們都屬於Rn
- 所以它們有n個分量
- 總共有n行
- 它是一個n×k矩陣
- 在上次課中我們學過
- 如果有一個向量a屬於Rn――
- 並且假設a在B張成的空間中――
- 我就能夠將a表示出來
- 我知道a就等於
- 基的變換矩陣乘以
- a在這組基下的坐標
- 這是上次課所學的
- 如果知道a在B下的坐標
- 我就可以將它乘以基的變換矩陣
- 並且得到向量a的標準坐標
- 如果已知向量a的標準坐標
- 那麽就能解出
- a在B下的坐標
- 我們在上次課學過
- 我們考慮一種特殊情況
- 假設C是可逆的
- 這意味著什麽？
- 或者關於C我們知道什麽？
- 如果C是可逆的 就說明了兩件是
- 這表明C是一個方陣
- 或者說行數等於列數
- 並且它的行或列――
- 你可以任選其一――
- 一定是線性獨立的
- 是線性獨立的 我們不妨選擇列來考慮
- 表明的第二件事有些多余
- 我們知道C有線性獨立的行向量
- 因爲其行向量是次空間的一組基
- 由基的定義
- 所有的這些向量都是線性獨立的
- 我們知道這個說明是多余的
- 但有趣的是 如果已知C是可逆的
- 那麽C一定是個方陣
- 如果所有這些向量都屬於Rn
- 那麽k就等於n
- 所以C是方陣表明k=n
- 或者說有n個基向量
- 如果是這種情況 那麽B張成的空間是什麽？
- 我們來考慮一下
- 共有n個Rn中性線性獨立的向量
- 每當你已知
- Rn中的n個線性獨立的向量時
- 它們就是Rn的一組基
- 因爲每個有n個分量的基――
- 它們都是線性獨立的――
- 它們是Rn的一組基
- 於是B就是Rn的一組基
- 如果已知C是可逆的
- 我們還知道 可以通過基向量的線性組合
- 得到Rn中的任何向量
- 在上次課中 我們需要確保
- 這個向量在這些向量張成的空間中
- 但現在我們不用驗證了
- 因爲C是可逆的
- 從而B張成的空間就等於Rn
- 另一種方式就是
- 如果B張成的空間等於Rn
- 如果已知n個向量 如果k=n
- 那麽就知道B張成的空間等於Rn
- 我們已知n個向量
- n個線性獨立的行向量
- 這是一個n×n的矩陣
- 其行向量是線性獨立的
- 從而C是可逆的
- 我們就可以寫若且唯若
- 我用其他方式來寫
- 如果B張成的空間是Rn 那麽C是可逆的
- 這很有用
- 因爲如果任意一個表述是成立的
- 那麽我們就可以寫出同樣的方程
- 假設已知這項 要求出這項
- 我們可以用C乘以這項
- 如果已知這項 要求這項
- 那麽我們就要建立增廣矩陣
- 並解方程
- 如果C是可逆的
- 那麽我們知道這裡的任何向量
- 都可以用基向量的組合來表示
- 從而這裡的任何向量
- 都可以表示成這些向量的線性組合
- 就是說任何向量
- 可以表示成這些坐標
- 或者是在這組基下的坐標
- 我們可以在方程兩邊
- 乘以C的逆
- 這樣會得到什麽？
- 就得到C(C^-1)乘以
- a在基B下的坐標 等於(C^-1)a
- 這是一個單位方陣
- 另一種寫法是
- a在基B下的坐標 其中B張成了空間Rn
- 等於(C^-1)a
- 我們來應用這個
- 我們來應用這個
- 我們使用這個信息
- 我們已經得到的這個信息
- 我們來做一個具體的例子
- 假設有一組基
- 定義兩個向量
- 我這麽做
- 假設v1=[1,3]
- 假設v2=[2,1]
- 基向量的集合是v1和v2的集合
- 關於二者線性獨立的證明
- 就留給大家
- 如果有R2中的兩個線性獨立的向量
- 那麽B就是R2的一組基
- 如果寫出基的變換矩陣
- 如果C=[1,3;2,1]
- 我們知道C是可逆的
- 爲了證明C可逆
- 我們可以直接計算出它的逆
- 那麽C的行列式是多少？
- C的行列式等於
- 1<i>1減去2<i>3</i></i>
- 就等於-5
- 這是C的行列式
- 而對於C的逆―― 我們有一個
- 計算2×2矩陣逆的一般公式――
- 就等於1/|C|
- 1/-5乘以――
- 將這兩項調換 就是將這兩個1調換
- 然後將這兩項取相反數
- 從而有-2和-3
- C的行列式是非0的
- 這表明它是可逆的
- 所以C是可逆的
- 假設已知向量a
- 它屬於R2
- 我要隨機取一些數
- 假設a=[7,2]
- 我要求出
- a在基B下的坐標是多少
- 我們考慮這種情況
- 我們知道a是多少
- 所以我們將a乘以C的逆
- 來得到這項
- 來得到a在B下的坐標
- 我寫下來
- C是什麽？
- C是這項
- C的逆是這項
- 我們可以寫出
- a在B下的坐標等於
- C的逆乘以a的標準坐標
- 二者是相同的
- 我來把數代進去
- a在B下的坐標
- 等於C的逆
- 也就是-1/5乘以[1,-3;-2,1]
- 乘以a 也就是乘以[7,2]'
- 這等於多少？
- 這等於-1/5
- 然後有1<i>7+(-2)<i>2</i></i>
- 這是-4
- 從而7-4=3
- 然後有-3<i>7</i>
- 也就是21 再加上1<i>2</i>
- 從而-21+2=-19
- 所以a在B下的坐標
- 就等於――
- 我把-1/5乘進去――
- 得到-3/5
- 然後是19/5
- 即19/5
- 就像這樣
- 我們來驗證一下
- 這表明a等於-3/5
- 乘以第一個基向量
- 加上19/5乘以第二個基向量
- 我們來驗證這種情況
- 我們來看 -3/5<i>[1,3]'</i>
- 加上19/5<i>[2,1]'</i>
- 我們看看這等於多少
- 我寫出兩個向量
- 這是-3/5<i>3=-9/5</i>
- 然後加上這一項
- 即2<i>19/5=38/5</i>
- 對嗎？
- 然後19/5<i>1=19/5</i>
- 如果將這兩個向量相加
- 會得到什麽？
- 得到-3/5+38/5
- 就是35/5
- 35/5=7 並且9/5+19/5
- 等於10/5 就是2
- 這就是得到的結果
- 這是原來的a
- 從而我們知道a一定可以表成
- -3/5乘以第一個基向量
- 加上19/5乘以第二個基向量
- 這種情況就是已知一個向量a
- 我們要將它表成
- 在B下的坐標的形式
- 我們用其他方式做會如何呢？
- 如果有一個向量w
- 它在B下的坐標是――
- 我舉個簡單的例子―― 比如[1,1]
- 這是w的標準坐標
- 我們可以乘以……
- 注意w等於基的變換矩陣
- 乘以w在B下的坐標
- 所以w就等於基的變換矩陣
- 也就是[1,3;2,1] 乘以w在B下的坐標
- 也就是乘以[1,1]'
- 就的呢個與1<i>1+2<i>1=3</i></i>
- 然後是3<i>1+1+1</i>
- 3<i>1=3 再加上1就等於4</i>
- 所以w=[3,4]'
- 從而看到如果基的變換矩陣是可逆的
- 也就是說
- 這組基張成了空間Rn――
- 在這個例子中就是R2――
- 那麽你就可以
- 在坐標的標準表示
- 與坐標在其他基底下的表示之間
- 來回變換
- 對嗎？
- 這是在基下的坐標
- 這是標準坐標
- 你可以通過這個信息
- 來進行變換
- 具體來說就是
- 在基下的坐標就等於(C^-1)a
- 或者說是基的變換逆方陣乘以a
- 或者說標準基下的
- 標準坐標就等於
- 基的變換矩陣乘以
- 在這組基下的坐標