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Lin Alg: Unique rowspace solution to Ax=b : Showing that, for any b that is in the column space of A, there is a unique member of the row space that is the "smallest" solution to Ax=b
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- 假設已知m×n矩陣A
- 這是已知的矩陣
- 我可以將它寫成
- 一係列的n維行向量
- 即寫成[a1,a2,...,an]
- 又已知另一個向量b
- 假設b是A的列空間中的元素
- 注意 列空間就是
- 能夠表示成A的列的線性組合的
- 所有向量的集合
- 這意味著b 可以表示成
- A的列的線性組合
- 我使用一些常數因子
- 即x1a1+x2a2
- 加到xnan
- 其中x1到xn
- 是任意的實數
- 另一種表示方式是
- 對於向量a
- 我可以寫成[a1,a2,...,an]
- 乘以向量[x1,x2,...,xn]
- 等於b
- 這兩種表述是等價的
- 我們知道b是列空間中的元素
- 這意味著 b可以表示成
- A的列的線性組合
- 這個表述
- 可以寫成這種形式
- 從而可以推出方程Ax=b
- 在Rn中至少有一個解
- 整個的向量x的分量
- 代表了構成線性組合b的
- 每個A的行向量所占的權重
- 以上是一些複習
- 我們畫出Rn
- 這個方程的任何解
- 都在Rn中
- 注意 這是一個m×n矩陣
- 我們用n列
- 這個向量屬於Rn
- 我們來畫出Rn
- Rn也許就像這樣 這是Rn
- 我們來考慮一些
- Rn中的次空間
- 對於零核空間
- 它在Rn中
- 零核空間就是
- 方程Ax=0的所有解的集合
- 它在Rn中
- 它是所有滿足這個方程的x的集合
- 我把它畫在這
- 比如這是零核空間
- 這是A的零核空間
- Rn中還有什麽？
- 還有A的零核空間的
- 正交補
- 我把它畫出來
- 還有一個正交補――
- 我換一種顏色
- 還有A的零核空間的正交補
- 我們也可以稱之爲――
- 我們在上個影片中學過
- 它還等於A的行空間
- 也是列空間
- A的行空間等於A轉置的列空間
- 我們已經有了兩個空間
- 這是A的行空間
- 已經得到Rn的兩個子集
- 一個是零核空間
- 一個是零核空間的補
- 即正交補 它也等於A的行空間
- 我們在一些影片中學過
- 貌似在兩個影片之前我還證明過
- 即Rn中的任何向量可以表示成
- 零核空間中向量的和
- 稱這個向量爲n
- 對於行空間中的一些向量
- 稱這個向量爲r
- Rn中的任何向量可以表示成
- 零核空間中的向量
- 以及行空間中的向量的和
- 所以這個方程的任何一個解都屬於Rn
- 從而它一定可以表示成
- 零核空間中的元素
- 和行空間中的元素
- 我寫出來
- 假設x是Ax=b的解
- 這意味著x屬於Rn
- 因爲它屬於Rn
- 我們可以將它表示成
- 這個向量和那個向量的組合
- 假設x等於r0加上n0
- 其中r0屬於行空間
- n0屬於行空間的正交補
- 它們互爲正交補
- n0屬於零核空間
- 好了
- 現在我們可能會有疑問
- 顯然這個向量不是Ax=b的解
- 這個向量是Ax=0的解
- 我們可能會有疑問
- 這個解是否……
- 這個行空間中的元素
- 是否是Ax=b的解？
- 這是我們所關注的
- 我們來解出r0
- 如果解出了r0
- 再將兩邊同時減去n0
- 得到r0=x-n0
- 我所做的是兩邊同時減去n0
- 然後轉變一下前後順序
- 我解出了r0
- 如果用A乘以r0
- 就等於A乘以這一項――
- 我換一種顏色
- 它等於A(x-n0)
- 就等於Ax-An0
- 它等於什麽？
- 對於Ax 我們已經說過
- x是Ax=b的解
- 所以這項就等於b
- 並且n0屬於零核空間
- 這意味著 它滿足這個方程
- 即A乘以任何零核空間中的元素
- 都等於0向量
- 所以這項就等於0向量
- 從而得到向量b減去0向量
- 就得到向量b
- 我們剛剛求出
- A乘以行空間中的這個元素――
- 我們稱之爲r0
- 它可能就是這個向量
- Ar0等於b
- 這是一個解
- 就是說r0是Ax=b的一個解
- 這是我們到目前爲止
- 得到的一個有趣的結果
- 如果已知向量b
- 它屬於列空間
- 那麽就存在
- 行空間中的某個元素
- 它是Ax=b的一個解
- 你有可能感到疑惑的問題是
- 這是行空間中滿足Ax=b的
- 唯一的解嗎？
- 爲了證明它
- 我們假設還存在另一個向量
- 假設r1屬於行空間
- 並且是Ax=b的一個解
- 這個行空間是一個有效次空間
- 如果取行空間中的
- 任意兩個向量的和或差
- 就會得到行空間中的另一個元素
- 這是成爲有效次空間的必要條件
- 我們來考慮這個問題
- 如果取次空間中的兩個元素
- 取向量的差r1-r0
- 這也可以看成是和――
- 如果將-r0看做一個整體
- 那麽這就相當於求和
- 結果是次空間中的元素
- 所以這項屬於次空間
- 所以這項也屬於行空間
- 這是因爲列空間是一個有效次空間
- 取其中的兩個元素 然後做差
- 結果還在次空間中
- 這可以理解
- 我們來考慮
- 當對這個家夥乘以A後會怎樣
- 如果取A(r1-r0) 會得到什麽？
- 得到Ar1-Ar0
- 我們已經指出 對於r1
- 我們已經假設它是Ax=b的解
- 對於r0 我們已經指出
- 它是Ax=b的解
- 對於任意一個
- 對其乘以A後 都得到b
- 所以這項等於b 這項等於b
- 從而有b-b 結果是0
- 這很有趣
- 這表明r1-r0
- 是方程Ax=0的一個解
- 當我用r1-r0代替這裡的x時
- 再乘以A 得到的結果是0
- 這表明對於向量r1-r0
- 它是零核空間中的一個元素
- 從而存在一個向量 它屬於行空間
- 我們是通過下述事實得出的結論
- 這些都是行空間中的元素
- 並且行空間對加法和減法封閉
- 並且向量r1-r0屬於零核空間
- 這我們已經見過許多次了
- 如果已知次空間中的一個向量
- 並且它還屬於
- 次空間的正交補
- 零核空間
- 也是行空間的正交補
- 那麽唯一可能的向量
- 就是0向量
- 這是滿足下述條件的唯一向量
- 即它在一個次空間中
- 並且還屬於次空間的正交補
- 這兩個空間
- 互爲正交補
- 我畫在這
- 我們得到r1-r0
- 一定等於0向量
- 則是同時屬於次空間及其正交補的
- 唯一的向量
- 這表明r1一定等於r0
- 當我們作差的時候 則得到0向量
- 從而我們得到一些簡單的結論
- 我們都知道什麽？
- 我們知道如果已知向量b
- 它屬於列空間A
- 那麽就存在唯一的元素
- 我們剛剛證明了唯一性
- 就存在列空間A中的唯一的元素
- 我寫出來
- 換一種顏色
- 在列空間A中
- 這是列空間A
- 對於其中的唯一的元素
- 我稱之爲r0
- 我換一種顏色
- 我要是大家真正能夠理解
- 我們知道r0屬於列空間A
- 從而r0是Ax=b的解
- 這個陳述有些複雜
- 但是很有趣
- 對於任給的
- 列空間A中的向量b
- 存在列空間A中的
- 唯一的向量
- 它是列空間A中的唯一的向量
- 它是Ax=b的解
- 我們可以更進一步
- 更進一步
- 我寫在這
- 方程Ax=b的任意的解
- 可以寫成r0+n0
- 其中r0屬於列空間
- n0屬於零核空間
- 這是因爲我們有
- 次空間及其正交補
- 所以Rn中的任何元素
- 都可以表示成
- 一個次空間中的元素和其正交補中的元素的和
- 我寫在這裡
- 我已經講過Ax=b的任何解x
- 都可以寫成組合的形式――
- 我這樣來寫――
- 可以寫成組合r0+n0
- 這很簡單
- 如果我要在兩邊同時取
- x的長度的平方會怎樣
- 我寫下來
- 從而你會明白我爲什麽要寫
- 因爲還有一個有趣的結果
- 要告訴大家
- 如果對這個方程的
- 任意一個解取平方
- 即取x・x
- 就是它與自身做點積
- 也就是(r0+n0)・(r0+n0)
- 它等於什麽？
- 它等於r0・r0+n0・r0
- 加上n0・r0+n0・n0
- 我只是將原式展開
- 我可以這麽做是因爲
- 點積滿足分配律
- 所以這一項就等於
- r0的長度的平方
- 從而有―― n0・r0是多少？
- 我們甚至不用再化簡
- n0屬於零核空間
- r0屬於列空間
- 它們所屬的次空間
- 互爲正交補
- 這意味著
- 這裡的任一項點乘這裡的任一項等於0
- 從而r0・n0=0
- 它們互爲正交補
- 所以這項等於0
- 這項等於0
- 從而得到―― 這項是多少？
- n0・n0就是n0長度的平方
- 這些都是向量
- 從而得到向量x長度的平方
- 等於列空間中
- 某個元素的長度的平方
- 它是列空間中的唯一元素
- 加上零核空間中某個元素的平方
- 這項一定是正的
- 它的最小值爲0
- 但是它應該是大於0的
- 所以這一項
- 一定大於等於r0?
- 另一種考慮方式是
- 對於任給的
- 方程Ax=b的解
- 其長度的平方
- 大於等於r0的長度的平方
- 因爲這兩個長度都是正的
- 從而可以取正的平方根
- 這裡不用改變符號
- Ax=b的任意解的長度
- 都大於等於
- r0的長度
- 這使得r0是一個特解
- 我們把本節課講的
- 所有的結論寫下來
- 如果b屬於列空間A
- 那麽存在唯一的r0
- 它是行空間A中的元素
- 使得r0是Ax=b的解
- 它不僅是一個解
- 它還是一個特解
- r0是所有解中最小的
- 或者說沒有一個解少於r0
- 我這樣寫
- 也許有些解與它相等
- 有相同的長度
- 沒有一個解的長度更小
- 如果任意給定一個向量b
- 它屬於列空間A
- 那麽存在行空間中的唯一的元素
- 它本質上是最小的解
- 你可以寫出最小的解
- 它是Ax=b的解中長度最小的
- 這是一個簡潔的結果
- 在下個影片中
- 我們會從視覺上深入地探討這一問題
初次見面
好像又更了解你一點了
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