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Linear Alg: Projection is closest vector in subspace : Showing that the projection of x onto a subspace is the closest vector in the subspace to x
相關課程
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- 假設已知次空間V
- 它的R3中的平面
- 我好好畫
- 畫出R3中的平面
- 就像這樣
- 這是一個次空間
- 還不是很好
- 我看看是否能
- 再畫得好些
- 就這樣吧
- 這是R3中的一個平面
- 它是V
- 一個次空間
- 假設另有一個向量x
- R3中的任何向量
- 向量x就像這樣
- 這是向量x
- 本次課我要講的是
- x在這個次空間上的投影――
- 假設這是0向量
- 我要說明
- x在次空間上的投影
- 是次空間中距離x最近的向量
- 我畫出來
- 這也許更容易理解
- x在次空間上的投影
- 就像這樣
- 就像我畫的這樣
- 這個綠色的向量
- 就是x在次空間V上的投影
- 這是向量x
- 我在次空間中
- 任取另一個向量
- 就取這個
- 這是次空間中的
- 任意的向量
- 我要畫得有些不同
- 我畫成這樣
- 稱之爲v
- 顯然這是次空間中的另一個向量
- 它在平面上
- 我要說明的是
- x與x在V中的投影
- 之間的距離少於
- x到其他任意向量之間的距離
- 少於x到其他任意向量之間的距離
- 從圖中
- 我們顯然能看出
- 這條線比這條線短
- 但這僅僅是我選的一個特殊的例子
- 我要證明這個命題的一般性
- 我要證明的是
- x與它在次空間上的投影之間的距離――
- 我們可以通過
- 用向量x減去x在次空間上的投影
- 來得到這個距離
- 這個長度就是圖中的這個長度
- 就是這個長度
- 從而x減去x在V上的投影
- 就只這個向量
- 我換一種顏色
- 我不想一直用一種顏色
- 這就是那個向量
- 稱之爲a
- 顯然它在V的正交補中
- 因爲它與這個平面垂直
- 這是根據投影的定義
- 事實上這項就等於a
- 我要證明的是
- 這個距離a
- 比其他任何距離都短
- 它要少於等於x和v之間的距離
- 其中v是任意向量
- 這就是這個距離
- 這個向量在這 於是距離是――
- 我畫出這個向量
- 向量x-v就像這樣
- 它是這樣的
- 這就是向量x-v
- 如果取v+x-v
- 就得到x
- 我要證明這個距離
- 即a的長度
- 它是x與其投影之間的距離
- 總是少於
- x與次空間中其他任何向量之間的距離
- 這是x-v
- 我們看看如何證明
- 對這個距離取平方
- x的平方―― 我來做一下
- 我這麽來寫
- 我們關心的是
- x-v的距離的平方
- 其中x是R3中的向量
- v是R3中的向量
- 並且還屬於次空間
- 它在這個平面上
- 那麽這項的平方是多少呢？
- x-v等於這個向量
- 我畫一個新的向量
- 它等於這項――
- 我用黃色來畫
- 它等於這個向量
- 它的等於這個黃色的向量加上a
- 對嗎？ x-v等於――
- 這個紫紅色的向量從這裡出發到這裡爲止――
- 顯然就等於這個黃色的向量
- 加上這個橘黃色的向量
- 我稱這個黃色的向量爲b
- b等於多少呢？
- b等於這個向量
- 這個綠色的向量 也就是x在V上的投影
- 減去這個紫色的向量
- 減去這個淡紫色的向量
- 減去v
- 這就是b
- 從而有x-v等於
- 向量b與向量a之和
- 所以x-v=b+a
- 如果取x-v的長度的平方
- 就相當於取b+a的長度的平方
- 就等於(b+a)・(b+a)
- 就等於b・b
- 我寫得簡潔一些
- 我寫在這
- 它等於
- 我換種顏色 這是b・b
- b・b加上b・a加上a・b
- 也就是加上2a・b 再加上a・a
- 顯然a與b是正交的
- b是次空間中這兩個向量之差
- 這個次空間對加法和減法是封閉的
- 所以b屬於次空間
- a與次空間中的任何向量都正交
- 這是由定義得到的
- 既然a與b正交 那麽a就是――
- 由定義―― 它就屬於
- 次空間的正交補
- 這項就等於0
- 從而就等於
- b的長度的平方
- 而這裡這項
- 就是a的長度的平方
- 我們得到了
- x與次空間中任意向量的距離的平方
- 這就等於b的長度的平方
- 加上a的長度的平方
- a等於
- 向量x與其投影之間的距離
- 這是根據a的定義
- a就等於
- x與投影之間的距離
- 從而這個值
- 就是大於等於0的
- 從而這一項
- 就大於等於a的平方
- 或者說
- x與v之間的距離的平方
- 一定大於等於
- a的平方
- 或者x與v之間的距離――
- 這仍然是個正值
- 長度總是正的――
- 它大於等於向量a的長度
- 那麽a的長度是多少呢？
- a是這個向量
- 我把結論寫出來
- x-v的長度
- 或者說
- x與其在次空間中投影的距離
- 總是大於等於
- a的長度
- 也就是x與x在次空間中的投影
- 之間的距離
- 這就是結果
- 我們證明了 從原始的圖像中多少也能看出來
- x在V中的投影
- 是次空間中距離x最近的向量
- 它比V中的其他任何向量到x的距離都近
- 其中x是R3中的任意向量
- 以上就是整個證明過程