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Linear Alg: Rowspace Solution to Ax=b example : Visualizing the rowspace solution to Ax=b
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- 已知2×2矩陣A
- 已知R2中的向量b
- 我們來研究一下
- 關於這個矩陣和向量的
- 所有有趣的內容
- 第一件有趣的事情是
- 這會幫我們
- 從直觀上理解
- 上節課的內容
- 即A的零核空間
- 爲了求出A的零核空間
- 我們知道A的零核空間
- 等於A的行簡化階梯形的
- 零核空間
- 於是我們來求出A的行簡化階梯形
- 保持第一行不變
- 得到3和-2
- 然後用第二行減去2倍的第一行
- 來替代原來的第二行
- 於是6+(-2)<i>3=0</i>
- 並且-4+(-2)<i>(-1)=0</i>
- 然後用第一行除以3
- 替代原來的第一行
- 於是有1和-2/3
- 而第二行還是0
- 這就是A的行簡化階梯形
- 我們要求出其零核空間
- 我們要求出所有的向量
- 滿足當它乘以這些向量時
- 這是向量[x1,x2]
- 結果等於R2中的0向量
- 第二行沒有爲我們提供信息
- 0<i>x1+0<i>x2結果是0</i></i>
- 沒有什麽信息
- 所以限制條件全在第一行
- 1<i>x1―― 我寫在這――</i>
- 從而有1<i>x1加上――</i>
- 我這麽來寫――
- 加上-2/3<i>x2等於0</i>
- 等於這裡這個0
- 或者可以寫成x1=2/3<i>x2</i>
- 如果要求出A的零核空間――
- 在我寫出之前
- 我來化簡一下
- 並且指出x2不是一個固定的值
- 假設x2=t
- 其中t是實數
- 從而有x1=2/3<i>t</i>
- 於是矩陣A的零核空間
- 就等於向量[x1,x2]的集合
- 其中它等於t乘以某個向量
- x2=t<i>1 並且x1=2/3<i>t</i></i>
- 就是向量[2/3,1]
- 就像這樣
- 這是零核空間
- 向量[2/3,1]的所有倍數
- 爲了化得更簡單一些
- 我可以取c 應該取t 抱歉
- 取t=3c
- 然後得到什麽？
- 這項等於3c
- 如果用3乘以這項
- 我們可以將它改寫爲
- 向量[x1,x2]
- 等於純量c乘以
- 它是其他一些實數
- 乘以 3<i>2/3=2 3<i>1=3</i></i>
- 我這麽做的原因
- 就是要用簡單的基向量
- 寫出零核空間
- 就是用不含分數形式的向量寫出來
- 或者也可以
- 將零核空間寫成向量張成的空間
- 即向量[2,3]張成的空間
- 所有這些敘述是等價的
- 這樣我們就求出了零核空間
- 另一個有趣的事是
- 如果我們要將它
- 與上節課的內容聯係起來
- 那麽就是找出
- 方程Ax=b的解集
- 爲了求出它 我們就要建立增廣矩陣
- 建立增廣矩陣[3,-2;6,-4]
- 增廣的部分是[9;18]
- 然後我們把左邊的部分
- 化成行簡化階梯形
- 於是得到―― 保持第一行不變――
- 得到3 -2和9
- 再用第二行減去2倍的第一行
- 替代原來的第二行
- 得到 6-2<i>3=0</i>
- 以及-4-2<i>(-2)=0</i>
- 就是-4+4
- 而18-2<i>9 就是18-18 等於0</i>
- 差不多了
- 現在用第一行除以3
- 來代替原來的第一行
- 第二行不變
- 第一行就是1 -2/3
- 這裡是3
- 如果要把它寫成一個方程
- 就可以寫成矩陣[1,-2/3;0,0]
- 乘以解集中的向量[x1,x2]
- 等於向量[3,0]
- 或者換種方式
- 其實第二行沒有給出實質上的限制條件
- 我們可以不用管它
- 第一行表明
- x1-2/3<i>x2等於3</i>
- 或者寫成x1=3+2/3<i>x2</i>
- 我們來做相同的工作
- 如果假設x2=t
- 那麽x1=3+2/3<i>t</i>
- 或者說方程Ax=b的解集
- 等於[x1,x2]的集合
- 其中該向量等於―― 我們一起看看
- x1=3+2/3<i>x2 從而有t乘以2/3</i>
- 我們這麽寫
- 加上這項
- 並且x2=t
- 所以這裡就是1<i>t加上</i>
- 加上0
- 這就是方程的解集
- 你可能馬上就意識到
- 它是一個特解
- 加上零核空間的
- 常數倍
- 這就是解集
- 我可以做
- 與這裡相同的替換
- 用3c代替t
- 從而可以改寫成――
- 我們寫的簡潔一些――
- [x1,x2]等於――
- 沒有空間了――
- 等於[3,0]加上c乘以――
- 向右移動一下――
- 加上c乘以向量
- 3<i>2/3等於2 3<i>1等於3</i></i>
- 所以等於向量[3,0]
- 加上零核空間中的某個向量 對嗎？
- 零核空間就是[2,3]張成的空間
- 或者說是零核空間的常數倍
- 其中c是任意的實數
- 這就是解集
- 這是零核空間
- 還有一個有趣的事情
- 因爲它是零核空間的
- 正交補
- 這與上次課的內容有關
- 就是A的行空間是多少
- A的行空間
- 就是A轉置的列空間
- 這是行空間
- 這是A的行空間
- 它等於什麽？
- 它等於A的行向量所張成的空間
- 從而有[3,-2] 以及[6,-4]
- 而這個向量就等於2倍的第一個向量
- 我們可以省略它
- 所以這就是向量[3,-2]張成的空間
- 我畫出它們的圖像
- 我們有行空間
- 還有解集以及零核空間
- 我們試著來畫出它們的圖像
- 我們可以做出它們的圖像
- 這是豎直的坐標軸
- 這是水平的坐標軸
- 零核空間是什麽樣的？
- 它是[2,3]的所有倍數
- 向右2個單位
- 然後向上3個單位
- 從而向量[2,3]的標準位置就像這樣
- 並且零核空間是所有這一項的倍數
- 它的所有倍數
- 如果取其所有的倍數
- 就會得到這樣的一條直線
- 如果取那個向量的所有倍數
- 得到指向這條綠色直線上所有點的
- 一堆向量
- 這就表示A的零核空間
- 那麽解集是什麽樣的呢？
- 解集是向量[3,0]……
- 對於向量[3,0] 向右3個單位
- 這就是向量[3,0]
- 加上零核空間中的向量
- 如果取任何一個――
- 如果加上[2,3]――
- [2,3]就像這樣
- 加上[2,3]的任何倍數
- 如果加上[2,3]的不同倍數
- 就得到這條直線
- 它是由原直線沿[3,0]的方向平移得到的
- 所以這條直線就代表解集
- 即Ax=b的解集
- 這就是解集
- 行空間是多少呢？
- 行空間就是
- 向量[3,-2]的所有倍數
- [3,-2]是什麽樣的？
- 對於向量[3,-2] 向右3個單位
- 向下2個單位
- 就像這樣
- 它就像這樣
- 如果將它畫出來 就會發現
- 它就像這樣――
- 我想處理的相對簡潔一些――
- 它就像這樣
- 我換一種顏色
- 它就像這樣――
- 畫得有些不太直
- 很糟糕
- 右下角的一些東西――
- 這次畫得還可以
- 這就是行空間
- 因爲如果取[3,-2]
- 就得到這一點
- 然後取這個向量的
- 所有的倍數
- 對於[3,-2] 如果將它乘以-1
- 就得到向量[-3,2]
- 它就像這樣
- 這就是[-3,2]
- 它就像這樣 向左3個單位 向上2個單位
- 就像這樣
- 這就是向量的所有的倍數
- 這是列空間
- 注意―― 抱歉 這應該是行空間――
- 注意這個行空間
- 與零核空間正交
- 這就是所有的
- 關於矩陣的
- 圖像
- 關於矩陣A的圖像
- 在上次課中
- 我們得到了一個有趣的結果
- 我們得到一個有趣的結構
- 假如已知向量b――
- 我換一種顏色――
- 我們發現如果已知向量b
- 它屬於A的列空間
- 那麽其長度最短的解
- 或者說是最小的解
- 或者說是Ax=b的最小的解
- 是A的行空間中的唯一的元素
- 我們一起來看
- 這是上次課中的重要結論
- 它似乎有些
- 不太容易想象
- 但現在我們把圖像作出來了
- 我們可以直接參照圖像
- 這條藍色的線是解集
- 行空間是這條線
- 它與解集垂直
- 注意 其上的一個向量
- 它指向某個東西
- 指向解集上的一點
- 並且它還在行空間中
- 對於這個向量
- 即用綠色加粗的這個向量
- 就是這個向量
- 我稱之爲r
- 因爲這個向量
- 屬於行空間
- 它指向―― 如果將它寫作位置向量
- 它指向代表行空間的
- 那條直線
- 行空間中的所有點
- 都指向這條直線
- 但是同時 它也指向
- 在解集中的這個點
- 注意 它是行空間中
- 唯一指向這一點的向量
- 它屬於解集
- 如果從幾何的觀點
- 來考慮
- 所有其他的解
- 指向那條線上所有其他的點
- 所以這是一個解
- 這是一個解
- 這也是一個解
- 對於所有指向
- 這條線的向量
- 它們都是解
- 但是其中最短的是這個綠色的向量
- 這個綠色的向量與之正交
- 因爲它是行空間中的元素
- 它與零核空間有相同的斜率
- 它是正交的
- 它是達到解集的
- 最短路徑
- 對於這個例子來說
- 我們可以指出最短的向量r是多少
- 就是這個向量[3,0] 對嗎？
- 向量[3,0]就是這個向量
- 如果取[3,0]減去向量――
- 假設爲r
- 我這麽寫
- 向量r就是這個最短的解
- 它是列空間中的元素
- 列空間是由[3,-2]張成的
- 它等於
- [3,-2]的常數倍
- 我們知道[3,0]指向
- 解集中的另一個解
- 但是如果
- 取兩個向量之差――
- 如果取向量[3,0]
- 然後減去向量r 會得到什麽？
- 會得到這個向量
- 我換一種顏色
- 會得到這個粉色的向量
- 這個粉色的向量不處在標準位置
- 但是這個粉色向量
- 屬於零核空間
- 這個粉色向量屬於零核空間
- 如果取[3,0]
- 減去向量r 即減去c[3,-2]
- 它是這個粉色的向量
- 如果做點積
- 對這個向量―― 我要說清楚
- 這個向量是粉色的這個向量――
- 這是零核空間
- 我可以將它平移
- 它沒有處在標準位置
- 我們把它移動到標準位置
- 它指向表示零核空間的指向上的某個點
- 這是零核空間
- 如果將它點乘行空間中的任意向量
- 結果都是0
- 行空間是零核空間的
- 正交補
- 我來用行空間中的向量
- 做點積
- 不妨取行空間中的基向量
- 它屬於行空間
- 將它做點積―― 抱歉
- 我不應該寫成分數――
- 這是向量[3,-2]
- 如果點乘向量[3,-2]
- 結果是0
- 我們看看能夠解出c
- 我們來解這個式子
- 對於括號裏的項
- 即這個紫色的向量
- 我們可以得到3-3c
- 然後是0-(-2c)
- 就是2c
- 從而這一項就化簡成這一項
- 我就是處理了乘法
- 然後做了個減法
- 如果用它點乘
- 行空間的基向量[3,-2]
- 結果應當是0
- 我們能得到什麽？
- 得到3<i>3=9 減去――</i>
- 3乘以3――
- 減去3 或者說減去3c<i>(-2)――</i>
- 我這麽來寫―― 加上――
- 我這麽寫吧
- 這應該是最簡單的方法了
- 抱歉 我做錯了
- 這是第一項
- 我們有(3-3c)<i>3 對嗎？</i>
- 3減去3c――
- 第一項乘以第一項――
- 加上2c<i>(-2) 等於0</i>
- 這個點乘做得有些奇怪
- 我被這兩項弄得
- 有些措手不及
- 但無論如何 這個第一項乘以這個第一項
- 加上第二項乘以第二項
- 這就是點積
- 這不是個矩陣
- 這是第一項和第二項
- 然後能得到什麽呢？
- 我們有3<i>3=9 減去9c 減去4c</i>
- 等於0
- 這就是9-13c=0
- 或者說9=13c
- 或者c=9/13
- 從而我們就解出了固定向量r
- 如果取向量[3,0]
- 然後求它與r的差
- 就會得到這裡的某個向量
- 這是零核空間
- 如果用行空間中的某個向量
- 與之做點積
- 就會得到0
- 並且這個點積就是這項乘以這一項
- 加上這項乘以這項
- 於是得到c=9/13
- 對於固定向量r
- 方程Ax=0的
- 唯一的最小的解
- 等於9/13乘以這個向量
- 即乘以基向量[3,-2]
- 或這寫成27/13
- 然後是――
- 然後是2<i>9 這是-18/23</i>
- 從而這個向量就是滿足這個方程的
- 行空間中的最小的向量
- 我寫得更好一些
- 它是行空間中的唯一的向量
- 並且是滿足方程Ax=b的
- 最小的解
- 這就是我們上個影片中討論內容的
- 一個例子
- 希望你能明白它的原理