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Linear Alg: Visualizing a projection onto a plane : Visualizing a projection onto a plane. Showing that the old and new definitions of projections aren't that different.
相關課程
- 我還要利用一個影片的時間
- 來介紹投影的
- 新舊兩個定義
- 關於向量x在直線L上的
- 投影的舊定義是
- 它是L中的向量
- 或者說它屬於L
- 使得x減去這個向量
- 即減去x在L上的投影 結果正交於L
- 從直觀上來看
- 如果有這樣的一條直線L
- 這是直線L
- 並有某個向量x
- 我們取其在L上的投影
- 這是x
- x在L上的投影在這裡
- 它是L中的一個向量
- 它滿足當我取
- x和這個向量之差時
- 結果與L正交
- 這個投影是L中的向量
- 這是關於直線上投影的
- 舊的定義
- L中的某個向量
- 也許在這裡
- 如果取二者之差
- 則結果的出的向量
- 正交與L中的任何向量
- 就像這樣
- 這就是做差後得到的向量
- 即x減去x在L上的投影
- 當然 對於這個向量
- 就是我們定義的這個向量
- 它是x在L上的投影
- 我們還有什麽方法
- 來描述它呢？
- 我們可以寫出相同的定義
- 我們可以說它是L中的向量 滿足――
- 我用紫色的來寫
- 就是L中的向量v 滿足――
- 我這麽來寫――
- 使得x-v滿足……
- 即x減去L上的投影 結果等於w
- 它與L中的任何向量正交
- 正交於L意味著
- 正交於L中的任何向量
- 我只是換了種寫法
- 不再寫成是x在L中的投影
- 而寫成L中的某個向量v
- 滿足x-v等於某個向量w
- 這個w正交於L中的任何向量
- 我們也可以把這個敘述改寫爲
- x等於v+w
- 從而就有x在L上的投影
- 是L中唯一的向量v
- 使得x=v+w
- 其中w是唯一的向量――
- 我的意思是 它將會是唯一的向量――
- 在L的正交補中
- 對嗎？
- 它正交於L中的所有向量
- 所以它就屬於
- L的正交補
- 所以說這個定義與用次空間來描述的定義
- 是完全一致的
- 我們可以將其擴展到任意次空間中
- 而不僅僅限於直線
- 我幫助大家從直觀上理解
- 比如說我們在R3中處理問題
- 已知R3中的一個次空間
- 假設這個次空間是一個平面
- 我將它確定爲平面
- 從而我們就清楚了
- 我們不是一定取直線上的投影
- 這是次空間V
- 我來畫出其正交補
- 假設它的正交補
- 就像這樣
- 假設這是一條直線
- 它延伸到―― 它與平面較於這一點
- 然後延伸到背面
- 當然
- 它必與0向量相交
- 這是唯一的一點
- 滿足次空間與其正交補疊置
- 它延伸到背面 你又能看見它了
- 事實上你不會再看見它
- 因爲這個平面是向各個方向延伸的
- 我想你明白我的意思
- 這條直線就是
- V的正交補空間
- 現在我們來取R3中的任意的向量
- 假設有這樣一個向量
- 假設它爲x
- 那麽關於x在V上的投影的新定義
- 它就等於唯一的向量v
- 這是向量v
- 這是次空間V
- 這個唯一的向量v 它屬於V
- 使得x=v+w
- 其中w屬於
- V的正交補
- 這就是新定義
- 如果說x等於V中的向量
- 加上V的正交補中的向量――
- 我們可以從直觀上來理解
- 它將等於…… 這是在V上的向量
- 它等於這個向量
- 然後 在V的正交補中
- 加上這個向量
- 如果將它平移
- 就會得到那個向量 就像這樣
- 這個是向量v
- 這個是向量v
- 這是一個向上的向量
- 它在平面外 與平面垂直 這就是w
- 如果取v+w
- 就得到向量x
- 你可以看出
- v就是次空間V上的投影――
- 這是向量v――
- 它是向量x在次空間V上的投影
- 它是向量x在次空間V上的投影
- 所以這個類似於影子的投影仍然成立
- 如果想象有一個光源
- 投射到次空間上
- 垂直投射到次空間上
- 那麽在次空間上的投影
- 就是向量x的影子
- 希望這能幫助你更好地理解
- 我們要做的是
- 將它總結歸納
- 影片開始時我介紹了直線上的投影
- 而這裡是平面上的投影
- 我們可以將其概括爲任意次空間上的投影
- 這是在R3中
- 我們可以推廣到Rn R100中
- 這就是空間的維數
- 這個例子我們能從直觀上來考慮
- 但是對於更高維數的空間
- 我們就難以從直觀上理解了
- 事實上 還有一點
- 我要說明這個新的定義
- 與我們做的關於直線上投影的定義是一致的
- 這個一致性是說
- x在次空間上的投影等於
- V中唯一的向量 滿足x減去x在V中的投影
- 結果正交於V中的任何向量
- 因爲這個敘述聲稱
- 任何正交於
- V中任意向量的向量
- 屬於V的正交補
- 所以這個敘述可以寫成
- x減去x在V上的投影
- 屬於V的正交補
- 或者稱之爲w
- 如果令這個向量爲v
- 稱這個向量爲w
- 就得到了這個定義
- 從而有w=x-v
- 如果兩邊加上v
- 就得到w+v=x
- 我們將v定義爲――
- x在V上的投影
- w屬於V的正交補
- 我不想使大家感到疑惑
- 向量v是
- x在次空間V上的投影
- 也許我應該用不同的記號
- 而不是用小寫的v和大寫的V
- 這說起來容易産生混亂
- 我只是利用這節課的時間
- 使大家從直觀上來理解
- 除直線以外的次空間上的投影
- 並講解了舊的定義
- 我是通過直線上的投影來講解的
- 實際上就是一個線性變換
- 這個舊的定義與新定義是等價的
- 在下次課中 我會爲大家講解
- 這一項對於任意次空間都是一個線性變換
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