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Linear Algebra: Determinant and area of a parallelogram : Realizing that the determinant of a 2x2 matrix is equal to the area of the parallelogram defined by the column vectors of the matrix
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- 這有一個2×2矩陣
- 它們的元素是a b c和d
- 它由兩列構成
- 我們之前做過 這個叫做第一列v1
- 這個是第二列v2
- 因此我重寫在這
- v1等於[a,c]
- v2等於[b,d]
- 它們都是r2的元素
- 爲了加深大家的印象
- 我把這兩個畫出來
- 讓我把坐標軸畫出來
- 這是縱坐標軸
- 這是橫坐標軸
- 可能v1是這樣的
- v1在坐標軸裏是這樣的
- 因此這就是v1
- 它的橫坐標是a
- 它相應的縱坐標
- 把這個看成是一個方向向量
- 或者怎麽去畫它 是c
- 這是v2
- 它在坐標軸裏是這樣的
- 它和v1是不同的向量
- 因此v2是這樣的
- v2 它的橫坐標是b
- 它的縱坐標是d
- 現在 我們這集影片要關心的是
- 由這兩個向量構成的平行四邊形
- 我的意思是
- 想象這兩個向量是方向向量
- 具體說明了平行四邊形的邊長
- 那當然 不是當然
- 但是 這個原點
- 也是平行四邊形的另一個點
- 那麽平行四邊形的最後一個點在哪
- 好了 你可以想象
- 一個平行四邊形 已經有兩條邊
- 因此另外這兩條邊也是平行的
- 一條邊是這樣的 平行於我畫的v1
- 另外一條邊是這樣的
- 這就是我們的平行四邊形
- 這個平行四邊形由v2和v1構成
- 我們現在特別關心的是
- 這個平行四邊形的面積
- 由v1和v2構成的
- 那麽我們怎麽去算出它呢？
- 一般 如果我有任何平行四邊形
- 這是一個傾斜的
- 但是如果你有任何一個平行四邊形
- 讓我把它畫在這
- 這個面積等於底
- 就是底乘以高
- 因此這等於底
- 我要大寫B因爲這有一個小寫的b
- 底乘以高
- 這就是平行四邊形的面積
- 現在這個底和高是多少呢？
- 讓我把這個寫下來
- 平行四邊形的面積等於
- 底乘以高
- 實際上 我把它寫在這
- 那麽底是什麽呢
- 這個底是
- 向量v的長度
- 因此這就是我們的底
- 因此這個就是
- 向量v1的長度
- 就是這個橙色的向量的長度
- 那麽這個平行四邊形的高
- 又是什麽呢
- 我們可以在這畫一條垂直線
- 然後這條線的長度
- 就是高
- 我們怎麽去把它算出來
- 你知道 我們知道v1
- 因此我們很容易就能算出底
- 但是怎麽算出高呢？
- 好了 現在我們可以做的一件事就是
- 如果我們可以算出這個長度
- 我們就可以用勾股定理
- 因爲這個向量的長度的平方
- 加上H2
- 等於|v2|2
- 因此讓我們看看能否做下去
- 這個數是什麽呢？
- 這個綠顏色的數是什麽呢？
- 好了如果你把它想成一條線 想成直線l
- 因此l是v1所在的一條直線
- 這就是說對v1乘以所有的數
- 就會得到這個方向上所有的向量
- 會得到這條線上的一係列點
- 這就是直線l
- 因此你對v1乘以所有的數
- 沿著這條線你就會得到每一個點
- 就像這樣
- 現在我們把l這樣定義
- 這條線就是l
- 我不知道大家是否能看清
- 讓我好好畫一下
- 它通過v1
- 然後到這
- 這個綠線是什麽呢？
- 這個我們關心的綠線
- 那麽這個投影到l上又是什麽呢
- 好了 這有條垂直線
- 你可以想象這個往下走
- 我不知道這個類比是否有用
- 但這是v2在這條線上的投影
- 因此這是v2的投影
- 也就是綠顏色的線
- 因此 如果我們想要算出H
- 我們可以用勾股定理
- 因此|H|2
- 好了我就把H看成一個長度
- 我甚至也沒有說它是一個向量
- 因此我們可以說H2 就是這條線的長度
- 加上這個向量的長度的平方
- 這個向量的長度的平方
- 也就是v2投影到l上的向量的長度
- 我用不同的顏色寫出來
- 因此這是v2投影到l上的向量的長度的平方
- 對不對
- 我們運用勾股定理
- 這個平方加上這個平方
- 等於這個平方
- 就等於|v2|2
- 這就是勾股定理
- 不是什麽很奇特的東西
- 我們怎麽去簡化它呢？
- 我們要求出H
- 實際上 現在是要求出H2
- 因爲這樣能簡單一點
- 因此可以說H2等於這個
- 等於|v2|2
- 減去投影向量長度的平方
- 因此減去 我用紫色來寫
- 減去v2投影到l上的向量的
- 長度的平方
- 記住 這個就是這個
- 我們只是來運用勾股定理
- 因此讓我們看看能否簡化這個
- 或者寫成我們明白的那種形式
- 因此這個向量的長度的平方
- 等於 讓我這樣來寫
- 這就等於v2?v2
- 對於一個向量 它自己點乘它本身
- 就會得到這個向量模長的平方
- 這個我們在很久前的影片就知道
- 那麽這個數又等於什麽呢？
- 好了 這個投影 我畫在這
- v2到l上的投影
- 等於v2點乘這個指向向量 它是v1
- 因此這是v2? v1
- 除於這個張成向量點乘它自身
- 也就是除於v1?v1
- 這個我們前幾集影片就知道
- 當我們看這個投影時
- 這只是一個數
- 那就等於
- 乘以這個指向向量自身
- 因此乘以v1
- 這就是投影
- 因此這等於這個減去
- 投影的模長的平方
- 那麽這個投影的模長的平方是多少？
- 好了 這就是這個點乘它自身
- 讓我這樣來寫 一步一步做
- 這就等於減去
- 我想確信我在這上面也能看清楚
- 因此我就不用重寫它
- 這個投影就是
- 看起來有點複雜
- 但是希望這個能簡化點 v2?v1
- 除於v1?v1 換種顏色
- 乘以這個向量
- 這最後得到就是一個數
- 記住你是在做點乘
- 你得到一個數 乘以v1
- 我們要得到整個這些東西
- 的長度的平方
- 所有的這些等於H2
- 重覆一遍 就是勾股定理
- 這個或這個的平方 就是高的平方
- 等於斜邊的平方
- 這是斜邊的平方
- 減去一邊的平方
- 這是另一邊的平方
- 看起來一點複雜
- 但是這是這個在l上的投影
- 因此讓我們看看能否簡化點
- 我們來突破代數學
- 或者讓我們在這做下去
- 好了實際上 不是代數學 而是線性代數
- 因此這個又是什麽呢？
- 好了這個就是
- 這個點乘它自身
- 因此這個就等於
- 我們知道 我的意思是任意向量
- 如果要用這個長度的平方
- 就是這個向量點乘它自身
- 就是這樣
- 如果我們要這個向量的模長的平方
- 它就等於這個向量點乘它自身
- 讓我把所有東西再寫一遍
- 因此我們得到H2=v2?v2
- 再減去這個點乘它自身
- 因此減去v2?v2/v1?v1
- 再乘以v1
- 點乘它自身
- v2?v1 記住 這個綠色部分
- 只是一個數 除於v1?v1再乘以v1
- 那麽這個等於什麽呢？
- 讓我們簡化一下
- 這些都只是常數 我們可以看到
- 這個點乘結果就等於這個數
- 因此我們可以改變順序
- 因此這個等於
- 這個數乘以它自身
- 因此我們可以說等於v2?v1
- 讓我這樣去寫
- v2?v1 那將等於
- 分子乘以它自身 v2?v1
- 然後除於v1?v1 再乘以v1?v1
- 記住 我只是拿出這兩個
- 讓它們互乘
- 我要換個順序
- 然後我們就可以算出這些數來
- 乘以這兩個點乘的結果
- 乘以v1?v1
- 那就是我們簡化的結果
- 現在這是一個數
- 這是一個向量 但是當你做點乘時
- 你就只得到一個數
- 並且這個數和這個數是一樣的
- 因此我們可以再簡化點
- 因此把這兩項消掉
- 然後剩下的就是H2
- 它等於這個乘以它自身
- 兩次這個乘以這個
- 因此它等於 讓我在這開始
- 它等於v2?v2 減去這個數乘以它自身
- 因此(v2?v1)2
- 所有的這些除於這些其中的一個 v1?v1
- 這就是H2
- 現在我們有H2
- 如果我們想要H 我們可以開方
- 但是爲了簡單點
- 我們知道面積等於底乘以高
- 面積平方等於
- 因爲這兩個都要平方
- 因此如果面積等於底乘以高
- 我們在影片開始的時候就知道
- 面積平方
- 等於這兩個數的平方的乘積
- 它將等於
- 底的平方乘以高的平方
- 現在底的平方是什麽？
- 讓我這樣來做
- 因此底的平方 我們已經知道
- 平行四邊形的底就是|v1|
- 現在底的平方是什麽？
- 底的平方
- 就是|v1|2
- 或者用另外一種方式就是v1?v1
- 我們已經知道高的平方
- 就是這個
- 讓我寫下來
- 高的平方就在這
- 因此面積的平方是什麽
- 面積的平方
- 讓我往下寫這樣有更多的空間
- 面積的平方就等於
- 底的平方 也就是v1?v1乘以H2
- 讓我這樣來寫
- 錯了 我用錯顏色了
- 乘以這兒的這個數
- 就是v2?v2-(v2?v1)2/v1?v1
- 現在這個能簡化一下嗎？
- 好了 這只是一個數
- 它們都只是數
- 如果我要相乘 如果我把這個分開
- 這個又等於什麽呢？
- 這個乘以這個等於v1
- 讓我用顏色給它標出來
- v1?v1乘以這個 再乘以v2?v2
- 當我把這個數和這個數相乘時
- 會發生什麽？
- 好了這個數是分子
- 這個數是分母 因此它們可以消掉
- 因此就剩下-(v2?v1)2
- 現在提醒自己 這兩個向量是什麽
- v1是向量[a;c] v2是[b;d]
- 讓我重寫在這 我們就從它們開始
- 因此v1等於向量[a;c]
- v2等於向量[b;d]
- 那麽v1?v1是什麽
- 那就等於a?a a乘以a
- a2加上c2
- 就是這個 在這
- 那個又是什麽呢？ v2?v2
- 因此我們將讓那個乘以v2?v2
- v2?v2是b2+d2
- 然後就是-(v2?v1)2
- 那麽v2?v1是什麽
- 它是ba+dc 或者是ab加上
- 我們只是點乘這兩個
- 因此這是ab+cd 然後再對它平方
- 讓我們看看這個怎麽簡化
- 希望能做簡化吧
- 讓我換種顏色
- 如果我們把這個乘出來 讓我寫在這
- 面積的平方等於a2b2
- a2d2加上c2b2
- 加上c2d2
- 然後再減去這個數的平方
- 那等於什麽？
- (ab)2是a2 b2
- 然後我就要
- 乘以這些數兩次
- 因此那就是加上2abcd
- 然後就是a+c2
- 這是d2
- 我把這個去掉
- 這是思考這個問題的最好的方法
- 然後 如果我把這個負號分配進去
- 會得到什麽呢？
- 讓我這些都重寫一下
- 它等於a2b2+a2d2
- 加上c2b2 加上c2d2
- 減去a2b2 減去2abcd
- 減去c2 d2
- 我要做的就是 把負號分配開
- 現在看起來相當簡潔
- 現在記住
- 所有的這些等於面積的平方
- 我們有(ab)2 -(ab)2
- 它們消掉了
- 我們有(cd)2-(cd)2
- 因此它們也消掉了
- 因此剩下的就是
- 平行四邊形的面積
- 等於a2d2-2abcd
- 加上c2b2
- 現在這個看起來有點奇怪
- 但是如果你在這做個替換
- 假設x=ad
- 假設y=cb
- 那這個變成什麽了？
- 這就等於x2-2xy
- 加上y2
- 對不？
- 希望你明白
- 這就是(x-y)2
- 因此 如果這就是我們的替換
- 我這樣做
- 是爲了大家更好的理解
- 因此面積的平方
- 等於(x-y)2
- 或者是ad-cb 讓我寫下來 (bc)2
- 這就是平行四邊形的面積
- 如果你不太明白我這所做的
- 我就做些替換
- 這樣就能稍微好理解點
- 但是你要明白
- 這兩個是一樣的
- 如果你想要 可以把這個乘出去
- 然後就得到這個
- 但是這個又是什麽呢？
- 這兒的這個又是什麽呢？
- 它是行列式
- 這是原矩陣的行列式
- 好了 我們叫矩陣A
- 然後我們用A來表示面積
- 因此讓我這樣來寫
- 面積的平方 讓我這樣來寫
- 面積的平方等於(ad-bc)2
- 因此這就是面積 這就是由A構成的面積
- 但是這個是什麽？
- 這是矩陣的行列式
- 那是A的行列式
- 一開始處理問題時候的原矩陣
- 它等於[a,b;c,d]的行列式
- 對不？
- 這個的行列式等於ad-bc 根據定義
- 因此這個面積 很有意思吧
- 因此這個平行四邊形的面積等於
- 矩陣的行列式
- 它的行向量構造了這個平行四邊形
- 面積平方等於矩陣的行列式的平方
- 或者是對兩邊開方
- 就得到面積
- 等於|A|的絕對值
- 這是一個相當巧妙的結果
- 特別是從代數學的角度來看
- 我們還得想想
- 讓我們回到這
- 回到這畫的地方
- 因此如果你想要算出
- 這個平行四邊形的面積
- 這個定義好的 或者是構造好的
- 由這個矩陣的兩個行向量
- 我們只要機械的算出矩陣的行列式
- 這個的面積等於
- |A|的絕對值
- 你需要做這個
- 因爲這個可能是負的
- 想象一下如果你交換這些
- 如果你交換這些行
- 這個數就會是負的
- 但是你不可能有一個負的面積
- 並且它也不會真的改變定義
- 也不會改變生成的四邊形
- 如果你交換v1和v2
- 你還是生成同樣的平行四邊形
- 你可能得到負的行列式
- 但是那真是一個巧妙的結果
- 你知道
- 當你在學校剛開始學行列式時
- 我的意思是 剛開始學習行列式的動機
- 是爲了求2×2逆方陣
- 它會出現在分子中
- 我們稱之爲行列式
- 這裡我們接觸到了它的另一含義
- 實際上 它還是以矩陣列構成的
- 平行四邊形的面積