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Linear Algebra: Determinant of Transpose : Proof by induction that transposing a matrix does not change its determinant
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- 讓我們看看一個矩陣的轉置陣的行列式
- 和這個矩陣的行列式有什麽關係
- 因此一個很好的開端
- 就是從2×2矩陣開始
- 因此讓我們來做這個2×2的例子
- 因此如果我們從這個矩陣開始
- 讓我算出它的行列式
- 這個矩陣是[a,b;c,d]
- 然後算出它的行列式
- 因此這就等於ad-bc
- 讓我對這個矩陣進行轉置
- 然後算出它的行列式
- 因此那就是這個的行列式
- a c這些列變成行 然後是b d
- 這些行變成列
- 它將等於什麽呢？
- 這還等於ad-bc
- 這唯一改變的就是
- 這兩行交換了
- 總而言之 還是它們相互乘以對方
- 因此這兩個是相等的
- 因此從最基本的2×2矩陣開始
- 這個矩陣的行列式等於
- 矩陣的轉置矩陣的行列式
- 現在 這是一個2×2矩陣
- 現在我要歸納出一個結論
- 或者是由數學歸納法得出的一個結論
- 這個對n×n矩陣成立 對所有的情況
- 你由歸納法得出一個結論
- 假定這個對n×n矩陣成立
- 因此假設這個適用於n×n矩陣
- 我有一個矩陣
- 叫做B
- 假設它是一個n×n矩陣
- 我們假設任何一個矩陣B的行列式
- 它是個n×n矩陣
- 等於B的轉置矩陣的行列式
- 這是開始著手證明的地方
- 利用歸納法去證明
- 那麽我們看到假定這個 假定那個
- 它對(n+1)×(n+1)矩陣也成立嗎？
- 因爲如果我們能做到 如果我們能證明
- 看 假定這個適用於n×n矩陣
- 它也將適用於
- (n+1)×(n+1)矩陣
- 然後我們就去證明因爲我們知道
- 它對最基本的2×2矩陣成立
- 你可以這樣說 這是你第一個n×n矩陣
- 因此如果它對2×2矩陣成立
- 那麽它對3×3矩陣也成立
- 因爲n只增加了1
- 但是如果它對3×3矩陣也成立
- 那麽它對4×4矩陣也成立
- 如果它對4×4矩陣也成立
- 它就會對5×5矩陣也成立
- 一直這樣下去
- 因此當你用歸納法來證明
- 你證明對最基本的情況成立
- 然後假設對n×n矩陣成立
- 或者這種情況 對n×n矩陣的行列式成立
- 如果你能證明對n×n矩陣的行列式成立
- 它將要適用於(n+1)×(n+1)矩陣的行列式
- 或者是(n+1)×(n+1)矩陣
- 然後你就去完成這個證明
- 因此讓我們看看如果這是這種情況
- 讓我們構造一個(n+1)×(n+1)矩陣
- 假定爲矩陣A
- 用我最喜歡的字母寫出來
- 我認爲這完全是線性代數最好的字母
- 用於矩陣上
- 假設它是一個(n+1)×(n+1)矩陣
- 僅僅是爲了簡化概念
- 令m=n+1
- 因此我們把它叫做m×m矩陣
- 它是怎樣的呢？
- 讓我把它所有的元素寫在這
- 我將要寫
- 比正常情況更多的元素
- a11 這是它的第一行 a12一直到a1m
- 我們有m列 等同於n+1列
- 那不是m 1列
- 這是m+1列
- 然後是第二行
- a21 a22 a23 一直到a2m
- 然後是第三行 a31 a32 a33
- 一直到a3m
- 然後一直這樣下去
- 最後是第m行
- 你也可以說是n+1行
- 因此這是第m行第一列
- 然後就是am2
- 然後是am3 一直到amm
- 很簡單吧
- 現在 讓我把A的轉置陣寫出來
- 因此這個轉置陣也是
- 一個 (n+1)×(n+1)矩陣
- 你也可以寫成m×m矩陣
- 我就是要對這個進行轉置
- 因此這個的轉置 這行變成一列
- 因此它變成a11 這個數是a12
- 它是在這的這個數
- 然後一直到a1m
- 然後這個粉紅色的行
- 變成這粉紅色的列 a21
- 我想把它做成粉紅色的
- 這有a21 a22 這有a23
- 一直到a2m
- 這有個綠顏色的行
- 它是第三行
- 因此它是a31 a32 a33一直到a3m
- 然後我們在這跳過一係列的行
- 但是到這個矩陣省略的是列
- 因此你就只要畫些點 這就是am1 am2
- 一直到這個數
- 但是這行現在就變成
- 它是最後一行
- 現在就變成了最後一列
- am3 一直到amm
- 這就是A的轉置陣
- 現在來看A的行列式
- 讓我用紫色寫出來
- 因此A的行列式
- 我們從上面第一行開始
- 它將要等於
- a11乘以它的余子式
- 這是這個余子式的行列式
- 我們把它叫做A11
- 我們之前看過這個概念
- 因此它是A11的行列式
- 然後減去a12
- 乘以它的余子式
- 去掉這一行和這一列
- 因此這個就等於A12
- 一直做下去
- 我不知道這個數前面的符號是什麽
- 因此就叫做(-1)^(1+m)
- 這就是根據棋盤圖
- 得出的符號
- 乘以這個數的子矩陣的行列式
- 這個是a1m 去掉這個數所在這一行
- 所在的這一列
- 你就只剩下這些數
- 很簡單哈
- 現在 讓我們看看這個轉置陣的行列式
- 我們之前就學過了
- 你不需要從第一行開始
- 或者甚至不用從行開始
- 你可以從一列開始
- 讓我講清楚點
- 求解A的行列式
- 我們從這行開始
- 我們的余子式
- 這是第一個余子式
- 第二個余子式 你知道它的樣子
- 去掉第二列和那一行
- 不管剩下的是什麽
- 都是第二個余子式的元素
- 一直下去 等等
- 但是求解A的轉置陣的行列式
- 讓我們從第一列開始
- 得到這樣的余子式
- 因此它將等於
- 讓我們來看第一個元素
- a11乘以它的余子式
- 那麽這個子矩陣的行列式等於多少呢？\N【譯者注：請仔細體會“子矩陣”和“余子式”】
- 它將等於 它的余子式
- 你去掉這行和這列
- 就是剩下的這些數構成的矩陣
- 現在一個有趣的問題是
- 那麽這個方形的矩陣
- 這個數的余子式
- 和這個數的余子式有什麽關係
- 好了如果你仔細看 這行從a22到a2m
- 現在變成一列 從a22到a2m
- 這是下一行
- 從a32到a3m
- 現在變成一列 從a32到a3m
- 如果你做到最後一行
- 它就變成了這一列
- 因此這個數的子矩陣
- 或者是這個的子矩陣
- 等於這個的轉置
- 因此這個等於A11的轉置
- 如果你做下去 我們要減去這個數
- 減去a12它的子矩陣的行列式
- 如果我們去掉這個數所在的這行
- 和所在的這列
- 會是什麽樣子？
- 它的余子式就是這樣的
- 余子式就在這
- 余子式就在這
- 它對比A12有什麽不同
- A12是去掉這行和這列
- 剩下這些數
- 再說一遍 你知道
- 這行和這列是相同的
- 這行和這列是相同的
- 那行和那列是相同的
- 再說一遍 這個要求解行列式的
- 子矩陣等於
- 這個的轉置陣
- 因此它等於A12的轉置
- 這個 我用暗一點的顏色寫出來
- 等於這個的轉置
- 等於在這兒的這個矩陣的轉置
- 因此 一般來說
- 這行每個元素的子矩陣
- 等於這列每個元素的子矩陣的轉置
- 繼續做下去
- 加1減1 然後一直下去
- 一直到(-1)^(1+m)
- 乘以這個的行列式
- 它就是這個的轉置
- 甚至你也可以做
- 如果你一直做下去
- 如果去掉那行和那一列
- 剩下這些元素在這個矩陣上
- 它等於這個的轉置
- 如果去掉這行和那列
- 這行變成那列
- 那一行變成那一列
- 我想大家看到了規律
- 我不想這麽機械的做下去
- 因此那將等於A1m的轉置
- 記住 現在進行歸納法證明
- 或者根據歸納法來證明 假設
- 記住 這是一個(n+1)×(n+1)矩陣
- 但是大家來看這
- 假設這個對n×n矩陣成立
- B的行列式等於
- B的轉置的行列式
- 好了 這些
- 它們都是n×n矩陣 對不對
- 這個是(n+1)×(n+1)矩陣
- 這個也一樣
- 但是這些是n×n矩陣
- 因此如果這個對於n×n矩陣成立
- 一個n×n矩陣的行列式
- 等於它的轉置陣的行列式
- 這是這個矩陣的行列式
- 這是它轉置的行列式
- 這兩個相等
- 因此我們可以說
- A的轉置的行列式
- 等於a11乘以這個
- 但是這個等於這個
- 記住
- 我們是要證明(n+1)×(n+1)矩陣
- 但是這些余子式
- 在每個方向上都小一維
- 它行數少一 列數少一
- 因此這兩個相等
- 不去這樣寫 我這樣來寫
- 因此乘以|A11|
- 然後繼續下去
- 減去a12乘以這個行列式
- 不去寫這個
- 我可以寫那個因爲它們是相等的
- A12的行列式
- 加1減1一直到(-1)^(1+m)
- 乘以這個的行列式
- 這兩個是相等的
- 這個等於這個
- 這就是我們的假設
- 在歸納法下 A1m
- 然後你看這個 當然
- 這條線 這條藍線
- 等於這兒的這條藍線
- 因此我們得到A的行列式
- 是一個(n+1)×(n+1)矩陣
- 因此這個是(n+1)×(n+1)矩陣
- 得到A的行列式等於
- A的轉置的行列式
- 我們得到這個也適用
- 讓我寫下來
- 假設對n×n矩陣成立
- 然後我們做下去
- 現在我們證明了這個適用於一般的方陣
- 因爲我們證明了最基本的情況
- 我們證明了對2×2矩陣適用
- 然後我們假設對n×n矩陣適用
- 它也會對(n+1)×(n+1)矩陣適用
- 如果它對2階方陣適用
- 它也會對3×3矩陣適用
- 如果對3×3矩陣適用
- 那麽也會對4×4矩陣適用
- 一直下去 等等
- 但是這個結論很巧妙
- 你可以對一個矩陣轉置
- 它的行列式不會改變