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Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenspaces for a 3x3 matrix : Eigenvectors and eigenspaces for a 3x3 matrix
相關課程
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- 上次影片中
- 我們開始著手計算特征值
- 對於這個3×3矩陣A
- 我們說過 看 特征值是任意值
- λ 滿足這個等式
- 如果v是一個非零向量
- 那就是說 任意值 λ 滿足
- 對於任意非零v這個等式成立
- 然後我們就做了一些工作 我想我們可以稱它
- 向量代數上面我們給出的
- 你也可以再複習一下那個影片
- 然後我們確定 看 唯一的方法使得這個
- 有一個非零解就是如果這個矩陣有
- 一個非平凡的零核空間
- 只有非可逆的矩陣才有
- 一個非平凡的零核空間
- 或者 只有行列式爲0的矩陣
- 才有非平凡的零核空間
- 所以你那樣做 你得到特征多項式
- 我們能夠解它
- 我們得到特征值λ=3
- 和λ=-3
- 現在 我們來做
- 我認爲是更有意思的部分
- 是計算出特征向量或者特征空間
- 我們可以回到這個等式
- 對於任意的特征值這個一定成立
- 這個也一定成立但是這個好求
- 所以 這個矩陣乘以特征向量一定
- 等於0對任意給定的特征值
- 這個矩陣
- 我已經從上面拷貝和粘貼了
- 我把它按照Sarrus法則標記 因此你可以忽略
- 那些線 就是這個矩陣
- 對於任意的λ
- λ乘以單位陣減A
- 結果就是這個
- 因此我們來取這個矩陣的每一個λ
- 然後去解它們對應的特征向量或特征空間
- 我們以λ=3爲例先做一下
- 如果λ=3
- 這個矩陣就變成λ+1是4
- λ-2是1 λ-2是1
- 然後所有其它項保持不變 -2
- 有-2 -2 1 -2 1
- 然後這時候向量v
- 或者我們的特征向量 等於0
- 或者我們可以說對於特征值爲3的特征空間
- 是這個矩陣的零核空間
- 不是這個矩陣
- 是λ乘以單位陣減A
- 因此這個矩陣的零核空間是特征空間
- 因此所有的值滿足這個組成
- 特征向量組成的特征空間
- 在λ=3時
- 我們來解一下這個
- 這個矩陣的零核空間 我們可以就寫
- 成行簡化階梯形 這個矩陣的零核空間
- 等同於這個矩陣的
- 行簡化階梯形的零核空間
- 因此我們來把它寫成行簡化階梯形
- 首先我想要做的
- 我再往下點
- 我來 我現在保持第一行不變
- 有4 -2 -2
- 我們替換第二行用第二行
- 乘以2加第一行
- -2乘以2加1是0
- 1乘以2加-2是0
- 1乘以2加-2是0
- 這一行等同於這一行
- 我將做同樣的事情
- -2乘以2加4是0
- 1乘以2加2是0
- 然後1乘以2加上-2是0
- 這個等式的解等同於
- 這個等式的解
- 我這麽寫
- 我不把它寫成向量v
- 我把它具體寫出來
- 即[v1；v2；v3] 將等於0向量
- 是0 0
- 就是把它寫得有點不同罷了
- 所以這兩行 或者這兩個等式
- 沒給我們任何信息
- 唯一的信息就是這一行 它告訴我們
- 4v1-2v2 實際上這個還不是
- 完整的行簡化階梯形但是已經足夠
- 它已經達到了簡化的目的 4v1-2
- v2-2v3等於0
- 整體除以4
- 我本應該在這就除以4
- 可能就多走一步
- 除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3
- 等於0
- 或者v1=1/2v2+1/2v3
- 只要在等式兩邊都加上這個就行了
- 或者我們可以說 比方說v2等於
- 我不知道
- 我將寫某個隨機數
- a v3=b 然後我們可以說
- v1將等於1/2a+1/2b
- 我們可以說λ=3的特征空間
- 是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合
- 滿足等於a倍的 v2=a 對吧？
- 所以v2等於a乘1
- v3沒有a
- 它是a乘以0
- 加b乘以 v2就是a了
- v2沒有b
- 所以它是0
- v3是1倍的 0倍的a加1倍的b
- 然後v1=1/2a+1/2b
- 對於任意的a和b 使得a和b是
- 實數
- 正式一些
- 它就是 任意的向量
- 滿足這個是一個特征向量
- 它們是特征向量
- 對應於特征值λ=3
- 因此如果你把這個矩陣變換作用到
- 任意的這些向量
- 你就將把它擴大3倍
- 我這麽寫
- λ=3的特征空間
- 等於空間
- 所有可能的線性組合 這個向量
- 和這個向量
- 即[1/2；1；0]
- 和[1/2；0；1]
- 它只是其中一個特征空間
- 它是那個特征空間
- 對應於λ=3的
- 我們來做一下那個特征空間
- 對應於特征值λ=-3
- 如果λ=-3 我在上面做
- 我想我有足夠的空間
- λ等於-3
- 這個矩陣就變成 我做一下對角
- -3加1是-2
- -3減2是-5
- -3減2是-5
- 所有其它不變
- 是-2 -2 1
- 是-2 -2 1
- 然後乘以特征空間內的向量
- 對應於λ=-3
- 是等於0的
- 我們正在應用這個等式
- 我們就從這個等式中得到的
- 因此 特征空間對應於
- λ=-3 是零核空間
- 這個矩陣的
- 是所有的向量滿足這個等式
- 這個矩陣的零核空間等同於
- 這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
- 我們把它寫成行簡化階梯形
- 首先我想做的
- 保持第一行不變
- 我寫得小一點
- 因爲我怕寫不開
- 是-2 -2 -2
- 我來這麽做
- 我會跳過幾步
- 我們就把第一行除以-2
- 我們得到1 1 1
- 然後我們來替換第二行用第二行
- 加上這個第一行
- 這個加上那個是0減5加-
- 或者我這麽說
- 我替換它用第一行
- 減第二行
- -2減-2是0
- -2減-5是+3
- 然後-2減1是-3
- 然後我來做最後一行
- 用不同的顏色
- 我會做同樣的事情
- 我用這一行減這一行
- -2減-2是0
- -2加2
- -2減1是-3
- 然後我們有-2減-5
- 就是-2加5
- 是3
- 現在我替換 我分兩步來做
- 這是1 1 1
- 我把它保持不變像這樣
- 實際上 我會保持它不變
- 然後我來替換第三行用第三行
- 加上第二行
- 就變成0了
- 如果你加上這些項 這些全變成0
- 這一項就被消掉了
- 我把第二行再除以3
- 這就變成了0 1 -1
- 再差一點了
- 我用橘色筆
- 我替換第一行用第一行
- 減去第二行
- 這就變成1 0 然後1減-1就是2
- 1減-1是2
- 然後第二行是0 1 -1
- 最後一行0 0 0
- 因此任意v滿足這個等式同樣
- 滿足這個等式
- 這個矩陣的零核空間將會是
- 這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
- [v1；v2；v3] 等於[0；0；0]
- 我移一下這個
- 因爲我已經正式地沒地方了
- 我把這個往下移一點
- 這有點地方
- 我把它移到這
- 這個對應於λ=-3
- 這是λ=-3 就使得
- 它和這些沒有關係
- 那麽所有[v1；v2；v3]滿足這個的是什麽
- 如果我們說v3=t
- 如果v3=t 然後我們有什麽
- 我們有 這個告訴我們v2-v3=0
- 那就是告訴我們v2-v3
- 0乘以v1加v2減v3等於0
- 或者v2=v3 就等於t
- 這就是第二個等式告訴我們的
- 然後第三個等式告訴我們
- 或者上面的等式告訴我們 v1乘以1
- v1加0乘以v2加2乘以v3等於0
- 或者v1等於-2v3等於-2t
- 所以特征空間對應於λ=
- -3就是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合
- 其中 它等於t倍的 v3就是t
- v3就是t
- v2結果也是t
- 1倍的t
- v1是-2t
- 對於t是任意實數
- 或者換一句話說它是特征空間對於
- λ=-3就是空間
- 我寫得有點亂
- λ=-3就是
- 向量[-2；1；1]張成的空間
- 就像這樣
- 它看起來挺有意思
- 因爲如果你取這個向量把它點乘
- 這兩個向量任意一個 我想都會是0
- 這確實是事實嗎？
- 算-2乘以1/2 得到1
- 然後有個加1
- 這是0
- 然後-2乘以1/2
- 對吧
- 你點乘任意一個向量都是0
- 所以這條線正交於那個平面
- 很有意思
- 我們來把它畫出來 這樣我們就有
- 很好的直觀印象 我們到底在做什麽
- 我們有那個3<i>3矩陣A</i>
- 它表示R3中的某個變換
- 它有兩個特征值
- 每一個特征值對應一個特征空間
- 特征空間對應於
- 特征值3是一個R3中的平面
- 這個特征空間對應λ=3
- 它是這兩個向量張成的
- 如果我畫它們 它們可能是這樣
- 就像這樣
- 然後特征空間對於λ=-3
- 是一條線
- 它是一條垂直於這個平面的線
- 它是一條直線像這樣
- 它是由這個向量張成的
- 可能如果我畫那個向量
- 向量看起來像這樣
- 它就是那個向量張成的空間
- 這個告訴我們 這是特征空間
- 對於λ=-3
- 那個告訴我們 爲了確保我們
- 解釋特征值和特征空間是準確的
- 就是 看 你給我任意的特征向量
- 你給我任意的向量屬於這個集合
- 你給我任意向量在這
- 比方說那是向量x
- 如果我應用這個變換 把它乘以A
- 我就會得到3倍的這個向量
- 因爲它是特征空間滿足λ=3
- 所以如果我想用A乘以x Ax會是
- 3倍的x
- 那是Ax
- 那就是它想告訴我們的
- 這個是成立的對於任意的這些向量
- 如果這是x 你算A乘以x 它會是
- 3倍那麽長
- 現在上面的這些向量 如果你有某個向量
- 在這個特征空間內對應於
- λ等於3
- 你應用這個變換
- 比方說這是x
- 如果你計算x的這個變換 它將會
- 沿著反方向變成原來的3倍
- 它仍會在這條直線上
- 它會像這樣往下走
- 那就是Ax
- 它會是一樣的 它是3倍的這個長度
- 但是是反方向
- 因爲它對應於λ=-3
- 無論怎樣 我們已經 我想 做出很大的成果了
- 我們不僅算出了
- 一個3×3矩陣的特征值
- 我們現在還算出了所有的特征向量
- 特征向量有無限多個
- 但是它們表示成兩個特征空間
- 對應於那兩個特征值 或者-3和3
- 下次影片見