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Linear Algebra: Finding Eigenvectors and Eigenspaces example : Finding the eigenvectors and eigenspaces of a 2x2 matrix
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- 上次影片中 從一個2×2的矩陣A入手
- 等於[1,2；3,4]
- 而且我們利用事實 λ是A的特征值
- 若且唯若
- 行列式乘以單位方陣λ
- 在這裡是一個2×2單位陣
- 減A等於0
- 這個給我們了一個特征多項式
- 我們解出它就說
- A的特征值是λ
- 等於5 和λ=-1
- 這些是我們在上次影片中見過的
- 我們說如果你想嘗試著解
- A乘以某個特征向量等於
- λ乘以那個特征向量
- 那兩個λ 可以使等式成立
- 就是λ是5和-1
- 假設特征向量非0
- 所以我們得到特征值
- 但是我不敢說我們已經完成了問題的一半
- 我們實際上是想得到
- 特征向量和特征值
- 我們來看看我們是否可以做到
- 如果改一下這個等式
- 我們已經在之前改過這個式子 實際上
- 我們已經在上面提出這種形式
- 我們可以把上面這個重新寫在這 寫成0向量等於
- λ乘以特征向量減A乘以特征向量
- 我就在兩邊都減去Av
- 我們知道λ乘以某個特征向量等同於
- λ乘以單位方陣
- 乘以那個特征向量
- 所有我重新寫的就像這樣
- 你乘以這個單位方陣乘以一個特征向量
- 或者乘以任意的向量
- 你就會得到那個向量
- 所以這二者是等價的
- 減Av
- 仍將等於0向量
- 目前我所做的就是改一下這個式子
- 這就是我們如何得到上面這些式子的
- 你提出v 因爲我們知道
- 矩陣向量乘積有分配律
- 我們得到λ乘以單位方陣減A乘以
- 特征向量必須等於0
- 或者換一種說法 對於任意的λ特征值
- 我們寫對於任意的特征向量λ
- 特征向量對應那個特征值
- 我們可以稱它爲λ所對應的特征空間
- 它是一個新詞 特征空間
- 特征空間意思就是所有的特征向量
- 對應某個特征值
- 對於某個特定特征值所對應的特征空間
- 將等於這樣的向量構成的集合
- 滿足這個等式的向量
- 滿足這個等式的向量的集合就是
- 那個的零核空間
- 所以它等於
- 這個矩陣的零核空間
- 零核空間λ乘以單位方陣
- 再減去A
- 我把所有的都寫在這了 這是成立的
- 這是一般情況
- 但是現在我們可以應用這個概念到
- 這個矩陣A上
- 我們知道5是一個特征值
- 比方說對於λ=5 特征空間
- 對應於5等於零核空間
- 5乘以單位方陣是什麽
- 它是一個2×2的單位方陣
- 5乘以單位方陣就是[5,0；0,5]-A
- 那就是[1,2；4,3]
- 所以那就等於這個矩陣的零核空間
- 5減1是4
- 0減2是-2
- 0減4是-4
- 然後 5減3是2
- 所以這個矩陣的零核空間
- 這個矩陣就是一個實際的
- 這個矩陣的數字表示
- 這個矩陣的零核空間是
- 所有這些向量組成的集合
- 這些向量滿足這個或者是所有的特征向量
- 對應於這個特征值
- 或者是特征空間對應於
- 這個特征值5
- 這些全是等價描述
- 所以我們只需要計算出
- 這個矩陣的零核空間是
- 所有滿足這個等式的向量
- [4,-2；-4,2]乘以某個特征向量
- 等於0向量
- 一個矩陣的零核空間等於
- 這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
- 那麽這個矩陣的行簡化階梯形是什麽
- 我認爲一個好的切入點
- 就是保持第一行不變 4 -2
- 我來替換第二行
- 用第二行加上第一行
- 即-4加4是0
- 2加-2是0
- 現在 我們把第一行除以4
- 得到1 -1/2
- 然後是0 0
- 那麽這個矩陣的零核空間是什麽
- 這個對應於v
- 這個乘以[v1；v2]
- 那就是特征向量另一種寫法
- 必須等於0向量
- 換句話說它是第一分量v1
- 對應於這個中心點列
- 加上或者減去1/2乘以第二分量必須
- 等於0
- 或者v1=1/2v2
- 所以如果我想寫出所有這個特征向量
- 滿足這個 我可以這麽寫
- 我的特征空間對應於λ=5
- 那個對應於特征值5等於
- 所有這樣向量組成的集合 [v1；v2]
- 等於某個倍數因子
- 比方說它等於t乘以什麽
- 如果我們說v2等於t
- 那麽v2就等於t乘以1
- 然後 v1就等於
- 1/2乘以v2或者1/2乘以t
- 就像那樣
- 對於任意t屬於一個實數
- 如果我們需要 我們可以擴大這個
- 我們可以說任意實數乘以[1；2]
- 那也會是張成的這個空間
- 我來具體做一下
- 它就會變得更清楚
- 實際上 我不是必須做這步
- 我們可以寫對於特征值5的特征空間
- 等於向量[1/2；1]張成的空間
- 它是R2中的一條線
- 那些是所有的特征向量滿足
- 使那個等式成立
- 其中特征值是5
- 現在特征值
- 等於1會怎樣
- 我們來做那種情況
- 當λ=-1 那麽我們有
- 它將是零核空間
- 所以λ=-1的特征空間
- 將是零核空間
- λ乘以單位方陣
- 就是[-1,0；0,-1]
- 就是-1乘上[1,0；0,1]
- 就是這的-1
- 減去A
- 即減去[1,2；4,3]
- 這個等於零核空間
- -1減1是-2
- 0減2是-2
- 0減4是-4 -1減3是-4
- 那將等於
- 這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
- 所以我們可以做一些行運算
- 我來把它寫成行簡化階梯形
- 如果我替換第二行 第二行
- 加2乘以第一行 我保持第一行不變
- 然後第二行
- 我替換它用2乘以
- 我替換它用它加2乘以第一行
- 或者更好一點
- 我將替換它
- 用它加-2乘以第一行
- 即-4加4是0
- 然後如果我把第一行除以-2
- 這個矩陣的行簡化階梯形
- 或者這個矩陣就是[1,1；0,0]
- 所以這個特征空間
- 對於這個特征值-1
- 等於這個矩陣的零核空間
- 它是這些向量組成的集合
- 滿足這個等式[1,1；0,0]
- 然後你就有[v1；v2]等於0
- 或者得到v1加上 這些不是向量
- 這些就是值
- 因爲0就等於這個東西
- 所以1乘以v1加1乘以v2就
- 等於0
- 或者我可以寫v1等於-v2
- 或者如果我說v2=t
- 我們可以說v1=-t
- 或者我們可以說
- 特征值-1的特征空間
- 等於所有這些向量 滿足[v1；v2]等於
- 某個倍數t乘以v1是-t v2是+t
- 或者你可以說這個等於
- 向量[-1；1]張成的空間
- 我們來把這個畫出來
- 理解一下我們做過的這件事
- 我們能夠找到這個矩陣的兩個特征值
- 5和-1
- 我們能夠找到這些向量
- 本質上
- 或者說 我們能夠找到這些向量的集合
- 滿足它是特征向量
- 對應於各自的這些特征值
- 我們把它們畫下來
- 如果我們畫R2 畫一下軸線
- 這是縱軸
- 這是橫軸
- 所以所有對應於λ=5的向量
- 都沿著直線[1/2；1]
- 或者[1/2；1]張成的空間
- 即那是1
- 那是1
- [1/2,1]就是這樣
- 這就是那個向量 展成空間的向量
- 但是任何沿著這個空間的向量
- 所有這個向量的倍數
- 都是有效的特征向量
- 所以所有沿著這條線的向量
- 所有當你們在標準位置畫它們的時候
- 只需要在那條線上點一個點
- 所有這些向量
- 任意向量在上面都是
- 一個有效的特征向量 對應的特征值
- 就等於5
- 所以你給我這個向量
- 當你應用這個變換
- 它就是5倍的這個向量
- 如果這個向量是x T(x)就是
- 5倍的這個向量
- 無論你在這條線上給定什麽向量
- 那個向量的這個變換
- 這個變換是線性的
- 把它乘以矩陣A
- 矩陣A在哪？
- 矩陣A在這
- 你實際上就是把這個向量大小擴大5倍
- 在這兩個方向上
- 這是針對λ=5
- 對於λ=-1 它是這個向量張成的空間
- 就是[-1；1]
- 看起來就是這樣
- 這個向量看起來像這樣
- 我們關心它張成的空間
- 任意的向量當你在標準位置上畫它的時候
- 在或者點上 點在這條線上
- 就會是特征值-1對應的特征向量
- λ等於-1
- 比方說你取展成空間的向量在這
- 你應用這個變換
- 你就得到-1乘以它
- 所以如果這是x x的這個變換
- 就會在那
- 同樣的長度 就是方向相反
- 如果你有個向量在這
- 應用這個變換
- 它就會在同一條生成線上像這樣
- 所以這個矩陣的兩個特征值
- 我在哪寫過
- 我想它是1 2 3 [1,2；4,3]
- 兩個特征值是5和-1
- 然後它有無限多個特征向量
- 它們實際上構建了兩個特征空間
- 每一個特征空間對應於一個特征值
- 這些線表示那兩個特征空間
- 你給我任意向量屬於這兩個集合
- 它們都會是一個特征向量
- 我用了太多向量這個詞了
- 你給我任意向量屬於這兩個集合
- 它們就會是矩陣A的特征向量
- 然後 決定它在哪條線上
- 我們知道它們變換之後的結果在哪
- 如果它在這條線上
- 我們做變換
- 結果向量會是5倍的這個向量
- 如果取這些向量中的一個特征向量
- 你對它做變換
- 變換結果向量就會是
- -1倍的那個向量
- 無論怎樣 我們現在知道
- 特征值、特征向量、特征空間到底是什麽
- 更好的是 我們知道如何去計算它們