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Linear Algebra: Gram-Schmidt example with 3 basis vectors : Gram-Schmidt example with 3 basis vectors
相關課程
- 我們再做一個Gram-Schmidt的例子
- 比方說我有個次空間V
- 被向量張成
- 比方說我們在R4中
- 第一個向量[0；1；1；1]
- 第二個向量[0；1；1；0]
- 然後第三個向量
- 它是R4的一個三維次空間
- 它是[1；1；0；0]就像這樣
- R4的三維次空間
- 我們想做的
- 我們想找到V的一組標準正交基
- 所以我們替換這些向量
- 用三個其它的向量 它們正交於
- 彼此並且長度爲1
- 所以我們在做和之前我們做的同樣的訓練
- 我們可以說 我們稱這個向量v1 這個向量v2
- 我們稱這個向量v3
- 第一件事情我們想要做的是替換v1
- 我們只是在隨機選取這個向量
- 因爲它是左手邊的第一個向量
- 我想替換v1用v1的一個正交版本
- 我稱它u1等於
- 我只要計算v1的長度
- 我想我不需要解釋
- 太多的理論在這個時候
- 我只想再展示另外一個例子
- 所以v1的長度等於根號下
- 02加上02加上12加上12
- 就等於√2
- 我定義一個新的向量u1等於
- 1除以v1的長度 1除以√2
- 乘以v1 乘以[0；0；1；1]
- 就像這樣 v1 v2 v3張成的空間
- 等同於u1 v2和v3張成的空間
- 這是我第一件事情我已經規範化了
- 所以我可以說V現在等於
- u1 v2和v3張成的空間
- 因爲我可以用這個向量替換v1
- 因爲這個向量就是這個向量的一個倍數
- 所以我可以明確地用它替換它
- 所以我可以表示這些向量的的任意的線性組合
- 用那些向量的任意線性組合
- 現在 我們就做第一個向量
- 我們就規範化這個
- 但是我們需要替換這些其它向量用那些向量
- 正交於這些向量的向量
- 我們先做v2
- 我們替換 我們稱它y2
- 等於v2減去v2的投影
- 在由u1張成的空間上或者在 你知道
- 我可以稱它c乘以u1 或者在之前的影片中
- 我們稱那個次空間V1 而不是由u1張成的這個空間
- 那就將等於y2等於v2
- 就是[0；1；1；0] 減去
- v2投影到那個空間
- 就是一個v2的點乘 [0；1；1；0]
- 和生成那個空間的向量
- 只有一個向量 所以我們只要
- 有像這樣的一項和u1
- 所以點乘1除以
- √2乘以[0；0；1；1]
- 然後整體乘以u1
- 即1除以√2
- 乘以這個向量[0；0；1；1]
- 這就等於v2
- 就是[0；1；1；0]
- √2 我們把它提出來
- 然後你就得倒 或者再把它們結合起來
- 然後你就得到這是1除以√2乘以
- 1除以√2是-1/2
- 你乘以這兩個向量點乘是多少
- 你得到0乘以0加1乘以0 仍是0
- 加1乘以1加0乘以0
- 你就將得到乘以1乘以這個
- 是[0；0；1；1]
- 我把這個寫得再整潔一些
- 我有點粗心了
- 是1 1
- 所以這就等於[0；1；1；0]減去
- 1/2乘以0是0
- 1/2乘以0是0
- 然後有兩個1/2
- 所以y2等於
- 我們看 0減去0是0 1減去0是
- 1 1減去1/2是1/2
- 然後0減去1/2是-1/2
- 所以V 我們現在可以寫成由u1 y2和v3張成的空間
- 這就是過程
- u1是正交的 y2 抱歉 u1是標準化的
- 它長度1
- y2正交於它或者說它們
- 彼此正交
- 但是y2仍沒有被標準化
- 因此我來用它的一個標準化的結果提換y2
- y2的長度等於根號下0加
- 12 就是1 加上1/22
- 就是1/4 加上
- -1/22 也是1/4 所以加上1/4
- 這是1和1/2
- 它等於√3/2
- 我來定義另一個向量
- u2 它等於
- 1除以√3/2 或者我們
- 可以說是√2/3
- 我求了一下倒數
- 它是1除以y2的長度
- 我就算一下倒數就行了 所以它是
- √2/3乘以y2
- 乘以這個向量
- 乘以[0；1；1/2；-1/2]
- 這個空間等同於
- 由u1 u2和v3張成的空間
- 還有第二個基向量
- 我們正在做一個大工程
- 這些向量是彼此正交的
- 它們都是長度1
- 我們就得做v3了
- 我們用同樣的方法來做
- 我們來找一個向量正交於這些向量
- 而且如果我把這個向量加到
- 這些向量的某個線性組合上
- 就得倒v3
- 我就稱那個向量y3
- y3等於v3減去v3的投影
- 在由u1和u2張成的次空間上
- 所以我可以稱那個次空間
- 我把它寫在這
- u1和u2張成的空間 符號上
- 我稱它爲V2
- 所以它是v3 實際上
- 我甚至不需要這麽寫
- 減去v3在那上面的投影
- 它會是什麽？
- 它會是v3?u1乘以u1
- 乘以向量u1
- 實際上我就
- 加v3?u2乘以向量u2
- 既然這是一個標準正交基
- 這個在它上的投影
- 你就做v2的點乘積
- 和每一個它們的正交基向量
- 把它們乘以這些正交基向量
- 我們在幾個影片前看到過
- 那是關於標準正交基其中一個很有用的結論
- 那麽這將會等於什麽？
- 這需要算一下
- y3等於v3 就是上面這個
- 那是v3
- v3看起來就是這樣
- 它是[1；1；0；0]減v3?u1
- 所以這是-v3 [1；1；0；0] 點乘u1
- 它是點乘1除以√2乘以[0；0；1；1]
- 那是u1 就是那個部分 乘以u1
- 所以乘以1除以√2乘以[0；0；1；1]
- 這片就是那片
- 然後我們可以結合這個負號
- 就是+
- 你知道 我們有一個+
- 但是這上面有個-
- 所以我們寫一個-v3
- 我換一個顏色
- -v3 就是[1；1；0；0]
- 點乘u2
- 點乘√2/3
- 乘以[0；1；1/2；-1/2]乘以u2
- 乘以向量u2 乘以√2/3
- 乘以向量[0；1；1/2；-1/2]
- 我們得到什麽
- 我們來算一下這個
- 所以我們可以算 這將等於
- 向量[1；1；0；0]減去 即1除以
- √2 1除以√2
- 乘以它們
- 就得到1/2
- 然後你把這兩個做點乘積
- 1乘以0 我們來看一下
- 這實際上就是全部
- 如果你把所有這些點乘積都算的話
- 那麽它實際上得0 對吧
- 所以這個向量 v3 實際上已經正交於u1
- 這直接就是0 很完美
- 我們不需要再在那有一項
- 我計算點乘積1乘以0加上1乘以0加上0
- 乘以1加上0乘以1 所有得到0
- 所以整個這項被約掉了
- 我們可以忽略它 這樣可以讓我們的計算簡單一些
- 然後在上面我們有-√2/3
- 乘以√2/3就是2/3乘以
- 這兩個向量點乘積
- 那是1乘以0
- 是0 加上1乘以1 是1
- 加上0乘以1/2 是0 加上0乘以-1/2
- 是0 我們得到1
- 乘以向量[0；1；1/2；-1/2]
- 然後我們得到什麽？
- 我們得到 這是收尾工作
- [1；1；0；0]減去2/3乘以所有這些向量
- 即2/3乘以0是0
- 2/3乘以1是2/3
- 2/3乘以1/2是1/3
- 然後2/3乘以-1/2是-1/3
- 然後這將等於1減0是
- 1 1減2/3是1/3 0減1/3是-1/3
- 然後0減-1/3是+1/3
- 這個向量y3是正交於
- 這兩個其它的向量
- 很完美 但是它仍然還沒有標準化
- 所以我們最後標準化這個向量
- 然後我們就做完了
- 然後我們就有了一組標準正交基
- 我們有u1 u2 現在我們又找到了u3
- 向量y的長度 實際上
- 我們來做一些更好的事情
- 它會簡化一些
- 不這樣寫成一個y
- 我可以給y乘以一個倍數 對吧
- 我想要的就是一個向量正交於
- 其它兩個向量而且還張成同樣的空間
- 所以我可以給這個乘以一個倍數
- 我可以說 我不知道 我稱它爲y3
- 我稱它爲y3一撇
- 我這樣做只是減少計算量
- 我可以給這個乘以一個倍數 乘以3
- 我得到什麽
- 我完全可以乘以另外一個倍數
- 是[3；1；-1；1]
- 我可以用這個替換y3
- 然後我可以標準化這個向量
- 它就變得簡單了
- y3'的長度
- 我剛定義的等於
- 根號下32
- 是9 加上12
- 加上-12加上12 等於
- √12 是什麽
- 就是2√3
- 那是2√3 對吧？
- √4乘以√3
- 就是2√3
- 現在我可以得到u3等於y3乘以1除以
- y3的長度
- 它等於1除以2√3
- 乘以向量[3；1；-1；1]
- 然後我們做完了
- 如果我們有一組基
- 一個標準正交基會是這個向量
- 我來把其它的向量移下來
- 這些向量
- 所有這些形式 我把它給移下來
- 如果我有這三個向量
- 現在我就有了V的一組標準正交基
- 這三個
- 那個集合就是一組標準正交基
- 對於原來次空間V
- 我開始時候做的
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