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Linear Algebra: Showing that an eigenbasis makes for good coordinate systems : Showing that an eigenbasis makes for good coordinate systems
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- 我們已經討論過很多關於特征向量
- 可以很好地構造好的基或好的基向量
- 因此我們來進一步探究這一課題
- 比方說我有某個變換
- 比方說它是從Rn到Rn的一個變換
- 它可以用矩陣A表示
- 所以x的這個變換等於
- 這個n×n矩陣A乘以x
- 現在比方說我們有
- A的n個線性獨立的特征向量
- 這個不是總存在的
- 但是它經常存在
- 它確實有可能
- 我們假設
- A有n個線性獨立的特征向量
- 我將稱它們v1 v2
- 一直到vn
- 現在 Rn中的n個線性獨立的向量
- 確實可以構成Rn的一組基
- 我們已經見過很多次了
- 我想在這次影片中向你們說明的是
- 這個可以構成一組特別好的基
- 對於這個變換
- 我們來探究一下
- 這些向量中的每一個的這個變換
- 我把它寫在這
- 向量1的變換
- 等於A乘以向量1
- 而且既然向量1是A的一個特征向量 它就
- 等於某個特征值λ1乘以向量1
- 我們可以對所有這些向量都做這件事情
- 向量2的變換等於A乘以v2
- 它等於某個特征值λ2乘以v2
- 我就跳過所有這些
- 直接到第n步
- 我們有n個特征向量
- 應該更多
- 我們已經假設
- A至少有n個線性獨立的特征向量
- 一般地 你可以改變它們的大小
- 它們仍會是特征向量
- 我們看 vn的這個變換
- 將等於A乘以vn
- 因爲這些都是特征向量
- Avn就是λn
- 某個特征值乘以向量vn
- 現在這些還等於什麽
- 這個等於 這很有可能
- 對你來說很顯然
- 這個等同於
- λ1乘以v1加0乘以v2加
- 直到0乘以vn
- 這個將是0乘以v1加λ2
- 乘以v2加直到
- 0乘以所有其它向量 vn
- 這個一直下來
- 這將是0乘以v1
- 加0乘以v2加0乘以所有這些基向量
- 這些特征向量 最後λn乘以vn
- 這是很顯然的 對吧？
- 我把這個重新寫成這個加上一串零向量
- 但是我這麽寫的原因是 因爲很快
- 我們將把這個寫成一組基
- 我們將計算坐標
- 利用各自的那個基
- 這個向量的坐標就是λ1 0 0
- 因爲它是我們基向量前的係數
- 我們來做一下
- 比方說我們定義這個作爲某個基
- B等於集合 實際上
- 我完全沒有必要那樣寫
- 比方說我說那個B 我有一組基B
- 等於這個
- 我想向你們說明的是
- 當我改變這組基的時候
- 我們在之前已經看到
- 在標準座標係下或在座標係
- 用各自的標準基表示下
- 你給我Rn中的某個向量
- 我將把它乘以A
- 你就得到了它的變換後的結果
- 它也將是屬於Rn的
- 現在 我們知道我們可以改變這組基
- 換基的過程中 如果你想那麽走
- 你可以乘以C逆 就是 記住
- 基改變的過渡矩陣C
- 如果你想走這個方向
- 你就乘上C
- 改變基矩陣就是
- 一個矩陣把這些向量作爲它的列
- 很容易構建
- 但是如果你從x改變基變成新的一組基
- 你就乘以這個的逆
- 我們已經見過很多次了
- 如果它們都是正交的
- 這個等同於轉置陣
- 盡管我們不可以那樣假設
- 所以這就是x在我們新的一組基下
- 而且如果我們想找到某個變換
- 如果我們想找到某個變換矩陣對於T
- 用各自我們的新基
- 它將是某個矩陣D
- 如果你用D乘以x
- 你就會得到這個
- 但是你會得到這個的B表示
- 向量x的這個變換是B表示
- 如果我們想來回地
- 在這個向量和這個向量之間
- 如果我們想沿著這個方向
- 你就可以乘上C
- 你就會得到x的這個變換
- 如果你想沿著那個方向
- 你可以乘以
- 基過渡逆方陣
- 我們已將見過這個很多次了
- 但是我已經強調過或暗示過的是
- 如果我有一組基倍A的特征向量所定義
- 這會是很漂亮的矩陣 也就是這個會是
- 座標係你想在上面操作的
- 尤其如果你將要多次利用這個矩陣
- 如果你將要做這個變換
- 在很多不同的向量上 你將做它
- 反反複複很多遍 也許面對同樣的
- 然後它可能很值得做轉化
- 就利用這個作爲座標係
- 我們來看一下 這實際上會很好看
- 很容易計算 而且實際上還是一個對角陣
- 我們知道這個變換
- 這個變換是什麽
- 我們把這個寫成一連串不同的形式
- 我把這個向下拖動一下
- 如果我想寫
- v1的這個變換在B表示下
- 它會是什麽？
- 它就會等於
- 這些是基向量 對吧
- 它是在這些基向量前面的係數
- 它將等於λ1
- 然後有一串0
- 它是λ1乘以v1加0乘以v2加0乘以v3
- 直到0乘以vn
- 這就是它等於什麽
- 但是它也等於D 我們可以像這樣寫D
- D也是Rn和Rn之間的一個變換
- 只不過在不同的座標係下
- D將是一係列行向量d1
- d2 直到dn
- 這個等同於D乘以
- 向量v1的B表示
- 但是向量v1的B表示是什麽？
- 這個向量
- v1就是1乘以v1加0乘以v2加
- 0乘以v3直到0乘以vn
- v1是一個基向量
- 那就是1乘以它本身加0乘以其他所有的
- 所以這是它的表示
- 在B座標係下
- 現在 這個會等於什麽
- 我們之前已經看過這個了
- 這寫都是一點複習
- 我可能讓你無聊了
- 這就等於1乘以d1加0乘以d2加0
- 乘以其它所有列
- 這就等於d1
- 就像這樣
- 我們有矩陣D的第一列
- 我們可以繼續這樣做
- 我會做很多遍
- v2的這個變換在我們新的座標係下
- 用各自新的基將等於
- 我們知道v2的這個變換是什麽
- 它是0乘以v1加λ2乘以v2
- 然後加0乘以剩余部分
- 它和D是一樣的 d1 d2直到
- dn乘以向量2的B表示
- 向量2是其中一個基向量
- 它就是0乘以v1加1乘以v2加0乘以v3
- 直到 剩余是0
- 那麽這將等於什麽？
- 這是0乘以d1加1乘以d2
- 和0乘以剩余部分 它等於d2
- 我想你明白了大概的思想
- 我會再做一遍
- 就是強調一下多重點
- 第n個基向量的這個變換
- 它也是我們矩陣A的一個特征向量
- 或我們變換在標準坐標下的特征向量
- 在B坐標下 將等於什麽？
- 我們剛才在上面寫過了
- 它會是一串0
- 它是0乘以所有這些加上λn乘以vn
- 這就是這個d1 d2
- 直到dn
- 乘以第n個基向量的B表示
- 就是0乘以v1
- 0乘以v2和0乘以所有這些
- 除了1乘以vn
- 所以這將等於0乘以d1加0
- 乘以d2加0乘以所有這些
- 直到1乘以dn
- 它就等於dn
- 就像這樣
- 我們知道 我們的變換矩陣
- 將會是什麽樣在各自新的基下
- 其中這個基被定義或者被組成爲
- n個線性獨立的特征向量
- 原始矩陣A的
- 那麽D是什麽樣？
- 我們的矩陣將會是
- 它的第一列在這
- 我們把那個算出來
- λ1 然後我們就有一串0
- 它的第二列在這
- d2等於這個
- 它是0 λ2 然後一串0
- 然後一般就是這樣
- 第n列將會是一個0
- 其它所有位置除了對角
- 對角是λn
- 它將是特征值
- 對應於第n個特征向量
- 所以對角線將是 看 你將
- 有λ3直到λn
- 我們的第n列是λn
- 和這一串0
- 所以D 當我們選取的時候 這是一個很好的結果
- 如果A有n個線性獨立的特征向量
- 這個不是總成立
- 但是我們可以算出那些特征向量 然後說 嘿
- 我可以找到一串n個這些向量
- 是線性獨立的
- 然後那些會是Rn的一組基
- n個線性獨立向量在Rn中是Rn的一組基
- 但是當你用那組基時 當你用
- A的線性獨立的特征向量作爲一組基時
- 我們稱這個爲一組特征基
- 這個變換矩陣對應各自的那些特征基
- 它變成一個非常非常漂亮的矩陣
- 這個很好相乘
- 它很好轉置
- 它很好算行列式
- 我們已經見過很多次了
- 它有大量好的性質
- 它是一組很好處理的基
- 它是一個很重要的結論
- 在所有線性代數中 我們做過所有這些
- 用空間和向量和所有那些 但是一般地
- 向量是現實世界的抽象表示
- 你可以用一個向量表示股票收益
- 或者表示天氣
- 在某個國家特定區域
- 你可以構建這些空間
- 基於大小尺寸數和所有這些
- 然後你將有一些變換
- 有時候 像我們學習Markov鏈的時候
- 你的變換在本質上是
- 在一次增長後
- 某種狀態變化成其他狀態的機率
- 然後你會想應用這個矩陣
- 很多很多次去看看
- 很多情況的穩定狀態是什麽樣的
- 我知道我不能很好地把這個解釋清楚
- 但是我想告訴你所有線性代數
- 確實是非常普遍的方式
- 去解決很大部分的問題
- 這個有用的就是你可以有
- 變換矩陣來定義這些函數
- 本質上在這些數據集上
- 我們現在已經學過的是
- 當你們看到特征向量和特征值
- 你可以改變你的基以致於
- 你可以一更簡單的方法解決你的問題
- 我知道現在看起來它是很抽象的
- 但是你們現在有這個工具 你們還有時間
- 你們一定要弄清楚怎樣應用這個工具到
- 特定問題比方說機率、統計、金融
- 或者天氣係統的建模 以及其他