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Linear Algebra: Basis of a Subspace : Understanding the definition of a basis of a subspace
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- 假設有次空間V
- 它是一個次空間
- 上節課我們學習過了相關的知識
- 它等於某些向量張成的空間
- 並且在上節課中我也說明了
- 任何向量集合張成的空間都是次空間
- 假設這個空間由v1到vn張成
- 共有n個向量
- 它們都是向量
- 並且規定這些向量
- 都是線性獨立的
- 也就是說
- v1到vn這些向量是線性獨立的
- 在我進行講解之前
- 我們先複習一下什麽是張成的空間
- 張成的空間表示
- 這個次空間可以表示出
- 所有這些向量的線性組合
- 對於不同的常數c
- 可以有不同的線性組合
- 從而有c1<i>v1+c2<i>v2</i></i>
- 一直加到cn<i>vn</i>
- 其中c是任意實數
- 如果取所有可能的組合
- 並且把那些向量都放在一個集合中
- 就得到了張成的空間
- 這也就是次空間V的定義
- 那麽線性獨立的定義是
- 對於c1<i>v1+c2<i>v2+……+cn<i>vn的</i></i></i>
- 唯一解
- 這個式子等於0的唯一解――
- 我應該在這加一個上標――
- 就是所有這些係數都爲0
- 即c1=c2=……
- 它們都等於0
- 通常我們的理解方式是
- 這些向量中的任何一個
- 都不能表示成其他向量的線性組合
- 如果這些條件成立
- 即這個向量集合張成一個空間
- 它等於次空間 或者說生成了次空間
- 或者說張成一個次空間
- 那麽這些向量就是線性獨立的
- 從我們知道這個向量集合――
- 給它命個名
- 稱其爲向量集合S
- S是v1 v2 …… vn的集合
- 它等於那個向量集合
- 下面我要說的是要點
- 即稱集合S是空間V的一組基
- 這就是我要聲明的定義
- 如果一個集合有一組基
- 就意味著那些向量……
- 如果取那些向量張成的空間
- 可以建立――
- 就可以得到次空間中任何向量
- 並且它們是線性獨立的
- 這有很多種思考方式
- 其中一個是
- 一個空間可由某些向量生成
- 比如 如果這是生成的空間V
- 那麽――
- 我再加入一個向量
- 定義另一個集合
- 定義集合T
- 它包含集合S中的向量v1到vn
- 並且還含有其他的向量
- 稱它爲vs
- 其本質上就是
- 集合S中額外加入一個向量
- 令這個額外的向量
- 等於v1+v2
- 那麽顯然這不是一個線性獨立組
- 如果我問T張成的空間是什麽
- 其實T張成的空間就是這個次空間V
- 而這裡有一個額外的向量
- 使這個集合不是線性獨立的
- 即它們是線性相關的
- 所以T是線性相關的
- 在這種情況下T就不是V的一組基
- 在這個例子中我展示了
- 用我的方式來考慮
- 基就是生成一個空間
- 所需要的最小集合
- 最小的集合―― 我要把它寫下來
- 這不是一個嚴格的定義
- 但我把基看做――
- 我換一種顏色――
- 把它看做――
- 換一個好點的顏色
- 把基看做是最小的――
- 我把它打上引號 因爲我還沒有定義它
- 生成這個空間的最小的向量集
- 就稱作這個次空間的一組基
- 在此題中 這就是最小的向量集合
- 我還沒有給出證明
- 但是你能看出
- 這裡的這個向量集
- 它張成了這個次空間
- 但它還不是最小的向量集
- 因爲在這組向量中
- 我還可以移除最後一個向量
- 將它移除――
- 然後剩下的向量
- 還能夠生成次空間V
- 所以右邊的這個向量是多余的
- 在這組基下 沒有多余的向量
- 其中的每一個向量
- 對於次空間V的生成都是必不可少的
- 我們做幾個例子
- 我們取一些向量
- 給出一個向量集
- 在R2中考慮
- 假設有向量[2,3]
- 還有向量[7,0]
- 首先考慮張成的空間
- 即這個向量集張成的空間
- 這是一個向量集
- S張成的空間是什麽？
- 它們所有的線性組合是什麽？
- 如果在R2中考慮
- 在R2中意味著
- 它們的線性組合――
- 我們可以用它們的線性組合
- 表示R2中的任何向量
- 如果有c1<i>[2,3]+c2<i>[7,0]</i></i>
- 如果它們能夠張成空間R2
- 那麽我們就能構建――
- 我們總能找到c1和c2
- 使得該式能夠表示R2中的任何點
- 我們來試一下
- 於是有2<i>c1+7<i>c2=x1</i></i>
- 並且3<i>c1+0<i>c2</i></i>
- 等於x2
- 取第二個等式
- 兩邊同時除以3
- 得到c1=x2/3
- 把它帶入到
- 第一個等式中
- 得到2/3 用它來替換c1
- 得到2/3x2
- 2乘以x2/3等於2/3x2
- 再加上7<i>c2 等於x1</i>
- 然後怎麽做呢？
- 將兩邊同時減去2/3x2
- 在這裡做
- 得到7<i>c2=x1-2/3x2</i>
- 兩邊同時除以7 就得到c2
- 我用黃色的寫
- 得到c2=x1/7-2/21x2
- 對於任給的x1和x2
- 其中x1和x2是實數
- 我們在考慮――
- 我們處理的內容
- 都在實數範圍內
- 對於任給的兩個實數
- 用x2除以3
- 得到c1
- 然後用x1除以7
- 再減去2/21乘以x2
- 得到c2
- 這個式子總成立
- 這裡不需要做除法
- 你不用擔心它們等於0
- 這兩個方程總成立
- 於是對於任給的x1和x2
- 總能找到c1和c2
- 使得構成的一個線性組合
- 與給出的向量相等
- 所以S張成的空間是R2
- 第二個問題是
- 這兩個向量是否是線性獨立的？
- 線性獨立意味著
- 下面方程的唯一解――
- 我換一種顏色
- 下面方程
- c1乘以第一個向量
- 加上c2乘以第二個向量 右邊等於0
- 它的唯一解
- 是它們等於0
- 我們看看這是否正確
- 我們已經解出它了
- 若x1―― 在這道題中
- x1等於0 x2等於0
- 這是一種特殊情況
- 我令它們等於0向量
- 如果要得到0向量 則c1=0/3
- 所以c1=0
- 所以c2=0
- 所以這個方程的唯一解
- 就是這些項等於0
- 故S也是一個線性獨立組
- 它張成了空間R2 它是線性獨立的
- 從而我們可以確信地說
- 集合S
- 集合S是R2的一組基
- 那麽它是R2唯一的基嗎？
- 我可以畫一個簡單的向量
- 向量的集合
- 可以這麽做
- 稱它爲T
- 定義集合T包含向量[1,0]和[0,1]
- 它們能張成R2嗎？
- 比如說要生成――
- 要得到x1和x2
- 應當怎樣構建方程呢？
- 就用x1<i>[1,0]</i>
- 加上x2<i>[1,0]</i>
- 右邊等於[x1,x2]
- 所以它能張成R2
- 它是線性獨立的嗎？
- 我來告訴你
- 如果要令其等於0向量
- 如果這個是0 這個是0
- 那麽這項也要爲0 這項也要爲0
- 這很顯然
- 你不可能
- 由一些向量的組合
- 得到其他的向量
- 在這裡不可能通過相加得到1
- 反之亦然
- 所以它是線性獨立的
- 我之所以給大家講這個
- 是要告訴大家
- 這個集合T張成空間R2
- 它也是線性獨立的
- 所以T也是R2的一組基
- 我要告訴大家
- 如果考慮一個次空間
- 那麽R2就是它自身的一個次空間
- 你可以證明它
- 如果存在一個次空間
- 它不僅僅有一個基
- 它可以由多個基
- 事實上 它通常有無限多組基
- 這種情況下 S是一組有效的基
- 且T也是R2的一組有效的基
- 實際上 你知道T是什麽
- 就是這個
- 稱之爲標準基
- 這個是標準基
- 這就是你在微積分和物理課上
- 經常使用的東西
- 如果你還記的物理課上的內容
- 這個是單位向量i
- 這個是單位向量j
- 這就是二維笛卡爾空間中的
- 標準基
- 基的有用之處在於你總可以――
- 這不僅僅適用於標準基
- 用處在於可以用它表示次空間中的任意向量
- 可以用基中的向量的線性組合
- 表示次空間中的任意向量
- 我詳細說明一下
- 假設已知向量集合v1 v2 知道vn
- 假設它是一組基――
- 比如說是次空間U的基
- 這是一個次空間
- 這意味著它們是線性獨立的
- 也表明它們張成的空間
- 或者說這些向量的所有線性組合
- 包含所有的向量
- 包含所有可能的部分
- 包含U中所有的成員
- 現在我要講的是U中的每個成員
- 僅能由唯一的集合定義――
- 由唯一的這些向量的線性組合
- 我來講解一下
- 假設a是次空間U中的一個成員
- 它可以由
- 這些向量的線性組合表出
- 這些向量張成了U
- 這表明向量a
- 可以表示爲c1<i>v1+c2<i>v2</i></i>
- 這些是向量
- 一直加到cn<i>vn</i>
- 我要說明這是唯一的組合
- 我要用反證法來證明
- 假設存在另一個組合
- 就是說a也可以
- 由另一個組合表出
- 即d1<i>v1+d2<i>v2</i></i>
- 一直加到dn<i>vn</i>
- 如果用a減去a得到什麽？
- 得到0向量
- 將兩式相減
- 用a減去a
- 結果是0向量
- 顯然是0向量
- 將右邊的項相減
- 得到什麽
- 我換一種顏色
- 得到(c1-d1)<i>v1+(c2-v2)<i>v2</i></i>
- 直到―― 已經到寫字板的邊緣了
- 後邊寫不下了
- 一直到―― 你應該看不見了
- 直到cn-vn
- 我寫在上面
- cn減去―― 有些亂
- 我在左邊重寫一下
- 這樣就不會亂了
- 0向量 我這麽寫
- 等於(c1-d1)<i>v1</i>
- 一直加到(cn-dn)<i>vn</i>
- 就是將向量相減
- 我們已知它們是基
- 這兩組向量―― 當它們是基時
- 表示它們張成的空間構成次空間
- 或者說它們張成的空間就是次空間
- 這還表明
- 它們是線性獨立的
- 所以如果它們是線性獨立的
- 這個方程的唯一解――
- 這就是一個常數乘以v1
- 加上另一個常數乘以v2
- 一直到一個常數乘以vn
- 這個方程的唯一解
- 是這些常數都等於0
- 所以這些常數都得爲0
- 爲了避免弄亂 這項等於0
- 這項等於0
- 這是線性獨立的一個定義
- 我們知道他是一個線性獨立組
- 如果所有那些常數都等於0
- 那麽我們知道――
- 如果它等於0 那麽有c1=d1
- 且c2=d2
- 直到cn=dn
- 由於它們是線性獨立的
- 所有的這些――
- 每一個常數都得相等
- 這就是反證法
- 先假設它們不相等
- 但是由線性獨立得出它們相等
- 所以如果有次空間的一組基
- 那麽次空間中的任何成員
- 都由唯一的一組向量的線性組合確定
- 還是強調一下
- 已知這是R2的一組基
- 下個問題是
- 我只是想回顧一下
- 如果在這添加一個向量
- 假設加入向量[1,0]
- 那麽S還是R2的基嗎？
- 答案是否定的 雖然它們能張成R2
- 但是這個向量是多余的
- 它就在R2中
- 我已經告訴過你
- 這兩個向量足以張成R2
- R2中的任何向量
- 都能有這兩個向量的線性組合表出
- 這個向量顯然在R2中
- 所以它能由
- 這兩個向量的線性組合表出
- 因此這不是一個線性獨立組
- 它們是線性相關的
- 因爲它們是線性相關的
- 所以我有額外的信息
- 從而這組向量不在是一組基
- 爲了使之成爲一組基
- 我要構建一個能夠張成整個空間的
- 最小的向量集合
- 或者說能張成R2的
- 最有效的集合