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Linear Algebra: Coordinates with Respect to a Basis : Understanding alternate coordinate systems
相關課程
- 已知Rn中的一個次空間
- 假設V是Rn的一個次空間
- 假設集合B―― 我用藍色的來寫――
- 假設B是V的一組基底
- 其中含有一些向量
- 假設它們是v1,v2,...,vk
- 也就是有k個向量
- 所以V是一個k維次空間
- 這表明如果有某個向量a――
- 假設已知某個向量a
- 它在次空間中――
- 這表明可以將a表成
- 這些向量的線性組合
- 所以可以將a寫成
- 某個常數乘以第一個基向量
- 加上某個常數
- 乘以第二個基向量
- 然後一直做下去
- 直到第k個常數乘以第k個基向量
- 我們過去對“坐標”這個術語的使用
- 是很寬松的
- 我們現在要給它一個更精確的定義
- 我稱這些常數爲c1 c2
- 直到ck
- 稱它們爲――
- 我換種顏色――
- a在基底B下的坐標
- 是關於基底B的
- 我們也可以這樣寫
- 已知向量a
- 已知向量a
- 如果我要將向量a的坐標
- 在基底B下表示出來
- 我就應該這樣寫
- 給它加上括號
- 把基底標注在這裡
- 這表示我寫的是
- 在這個基底下的坐標
- 我一會就這樣寫
- 我把權重寫在這
- 也就是常數項
- 它是線性組合中的常數項
- 常數項與基向量相乘就得到向量a
- 這是c1 c2 直到ck
- 有一個有意思的事情
- 我要指出來
- V是Rn的基
- 所以V中的任何向量都在Rn中
- 但是V有k個基向量
- 它的維數是k
- k可以大到與n相等
- 的也有可能小一些
- 也許有R3中的兩個基向量
- 這樣的話V就是R3中的平面
- 我們可以將它抽象到高維空間中
- 但是當具體指水輪發電機定次空間的某個向量時
- 將它用基向量來表示
- 注意你需要有――
- 次空間的維數――
- 它可以有很多種坐標
- 盡管a屬於Rn
- 我只需要給出k個坐標
- 因爲本質上你已經給出其位置……
- 假如這是一個平面
- 選取的次空間在平面中
- 我們說的具體一些
- 我來舉個例子
- 假設有一個次空間
- 我來說清楚
- 假設有兩個向量
- 假設v1=[2,1]
- 並且v2=[1,2]
- 你馬上能夠看出
- v1和v2是R2的一組基
- 這意味著R2中的任何向量
- 都可以表示成二者的線性組合
- 我們也可以從圖像上看出來
- 我們還知道R2是一個二維空間
- 並且已知這兩個基向量
- 它們是線性獨立的
- 你可以證明出來
- 事實上 最簡單的證明方式是
- 取[2,1;1,2]
- 然後將它化成行簡化階梯形
- 就會得到一個2階單位方陣
- 即[1,0;0,1]
- 這表明
- 這兩個向量都是基向量
- 以上都是複習
- 我們之前學過
- 我們從直觀上來考慮
- 我們從圖像上來看
- 如果用通常的方式
- 來畫出這些向量
- [2,1]是什麽樣的呢？
- 我畫出坐標軸
- 我畫出來
- 我換一種顏色
- 假設這是豎直的坐標軸
- 這是水平坐標軸
- 向量[2,1]就像這樣
- 向右2個單位
- 向上1個單位
- 這就是第一個向量
- 即向量[2,1]
- 而向量[1,2]就像這樣
- 它就像這樣
- 如果把它畫在標準位置
- 向量兩個單位
- 就像這樣
- 但我們討論
- 在這組基底下的坐標時
- 我取R2中的某個向量
- 我自己設定一個向量
- 從而能輕易地求出其線性組合
- 取3v1+2v2
- 它等於多少？
- 它就等於一個向量
- 即3<i>2=6 加上2<i>1</i></i>
- 第一個分量就是8
- 然後是
- 3v1加上2v2
- 就得到[8,7]
- 3+2<i>2就等於7</i>
- 如果用通常的方式畫出[8,7]
- 向右8個單位
- 向上7個單位
- 從而就得到向量
- 我不畫出來
- 但這個向量是指向這個點的
- 就是這個點
- 如果把它看成坐標
- 它就是點(8,7)
- 我寫成這樣
- 就是點(8,7)
- 如果把向量畫在標準位置
- 那麽這個向量的終點就在這裡
- 我們已知基底B
- 它包含兩個向量
- 即v1和v2
- 我們要做的是表示出這個向量
- 稱這個向量爲――
- 稱之爲a――
- 向量a就是[8,7]
- 我們知道如果要將a表成
- 基向量的線性組合
- 則有3v1+2v2
- 根據前期的課程中
- 我們所學到的知識
- 我們可以將向量a
- 用基底B中的向量來表示――
- 我用與基底相同的顏色――
- 這是關於基底B的
- 首先是這些基向量的權重
- 就是[3,2]
- 我們看看它從直觀上講
- 有什麽意義
- 我講過在新的座標係統中
- 這個向量可以表示成[3,2]――
- 你考慮新的座標係統的方式是
- 在舊的座標係統中
- 我們將橫坐標以1爲單位分割
- 這是第一個坐標
- 並且將縱坐標也以1爲單位分割
- 這是第二個坐標
- 在新的座標係統中 第一個坐標是多少呢？
- 第一個坐標是v1的倍數
- 這是v1 這是v1 這是v1的倍數
- 這是1倍的v1
- 如果用2乘以v1 就得到……
- 2倍的v1是多少呢？
- 2倍的v1就是[4,2]
- 3倍的v1就是[6,3]
- 我來標明坐標值
- 這就是[6,3] 就像這樣
- 4倍的v1就是[8,4]
- 你可以想象到我畫的是什麽
- 這是一種坐標軸
- 是由v1生成的第一分量的坐標軸
- 我可以畫出它――
- 我用藍色來畫――
- 你可以這麽考慮
- 這是一條直線 像這樣
- 由坐標可以得知
- 有多少個v1
- 我將這個座標係統這樣來分割
- 我們不以1爲增量
- 而是以v1爲單位作爲增量
- 我這麽來寫
- 如果這裡到10個單位
- 那麽這裡就到5個單位
- 就像這樣
- 第二個分量的增量爲v2
- 這是v2的第一個增量
- 第二個增量就到了4
- 就是[4,2]
- 就像這樣
- 然後是[6,3]
- 就像這樣
- 這是[6,3]
- 就像這樣
- 如果你把它看成……
- 你應當把它看做是一個座標係統
- 可以使用這個歪斜的坐標紙
- 其中的任何點
- 都可以由v1的方向
- 和v2方向的組合來指定
- 我畫在坐標紙上
- 我可以作出另一種v2 就像這樣
- 就是v2的所有倍數
- 我可以將它們平移這樣過來
- 作出另一種v2
- 我可以在作一個
- 這個有些不夠簡潔
- 我可以這樣做
- 我可以―― 我想你已經有想法了
- 我做得簡潔一些
- 如果用其他工具這可能會很有用處
- 從而我就能作出所有v1的倍數
- 我在做的是一張坐標紙
- 它看起來像這樣
- 就像這樣
- 就像這樣
- 這樣你應該能想象出這個傾斜的坐標紙
- 如果我用綠色和藍色的直線
- 把空間填滿的話
- 在新的座標係統中
- 我們考慮[3,2]
- 這說明3是第一個方向
- 就是v1的方向
- 它不再是水平的
- 這是v1的方向
- 我們行進3個單位
- 然後沿著v2的方向行進2個單位
- 就是沿著v2的方向行進2個單位
- 最後得到的點就在這裡
- 這可以想象它是這麽走的
- 沿著v1的發現行進3個單位
- 然後沿著v2的方向行進2個單位
- 就得到這個點
- 也可以先沿著v2的方向走
- 再沿著v1的方向走
- 任意一種方式
- 都可以得到這個點
- 所以這個向量
- 或者說由向量[8,7]決定的位置
- 可以簡單地由
- 新座標係統中的[3,2]表示
- 因爲我講過
- 對於3v1
- 它是沿著這個方向的
- 沿著v1的方向行進3個單位
- 然後沿著v2方向行進2個單位
- 這就是稱之爲坐標的原因
- 逐個地數
- 沿著v1方向行進了多少單位
- 以及沿著v2方向行進了多少單位
- 這可能會使你
- 將問題理解得更透徹
- 爲什麽我們之前沒有使用這種座標係？
- 正如我一直說的
- 我一直都在強調
- 假設有某個向量b
- 它等於
- 假設它等於――
- 我在R2中處理
- 因爲直觀容易畫出來――
- 假設它等於[3,-1]
- 如果將其畫出來
- 它就像這樣
- 向右3個單位 向下1個單位
- 就像這樣
- 它確定了這一點
- 但是我們爲什麽稱其坐標爲[3,-1]？
- 我什麽要稱其坐標爲[3,-1]？
- 在學習線性代數之前
- 我們一直都是這麽做的
- 自從我們第一次學習作圖開始
- 我們就稱之爲坐標
- 我們爲什麽要這麽叫這些坐標呢？
- 這些坐標又是如何
- 通過這組基於這些坐標聯係在一起的呢？
- 這些是在這組基下的坐標
- 這些實際上是
- 在標準基下的坐標
- 你可以想象
- R2中的標準基就像這樣
- 即e1=[1,0]
- 以及e2=[0,1]
- 這只是R2中的標準基的習慣寫法
- 我們令S是e1 e2的集合
- 於是我們稱S是R2的標準基
- 它是一組標準基
- 因爲這兩個向量是正交的
- 這是水平方向上的1
- 這是豎直方向上的1
- R2中的任何向量――
- 假設有R2中的向量x和y
- 它等於xe1+ye2
- 從而如果要表示某個向量[x,y]
- 如果你要用
- 這個標準基來表示
- 由前面講的
- 關於基向量的定義
- 這就等於這個坐標
- 或者說是e1和e2的權重
- 所以這就等於
- 這項的權重是x 這項的權重是y
- 這些坐標就是我們開始時所討論的
- 它們就是坐標
- 這與影片中
- 關於坐標的定義是一致的
- 我們可以做得更精確一些
- 我們可以稱之爲
- 在標準基下的坐標
- 或者稱其爲
- 我們可以稱其爲標準坐標
- 我想指明這一點
- 這相當簡單
- 但我還要說明
- 過去的關於“坐標”的說法
- 與這個新定義的坐標是一致的
- 它表示基向量的權重
- 因爲在舊的坐標中
- 以及我們使用的方式
- 它們都表示基向量的權重
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