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Linear Algebra: Coordinates with respect to orthonormal bases : Seeing that orthonormal bases make for good coordinate systems
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- 我們知道了什麽是標準正交基
- 另一個明顯的問題就是
- 它們有什麽好處？
- 對於這個問題的其中一個答案就是
- 它們可以構造很好的座標係
- 或者說是好的坐標基底
- 例如 標準基底
- 或者說是標準座標係
- 我們來寫出Rn中的標準基底
- 如果我們研究的是Rn
- 那麽Rn中的標準基底就是
- 我可以把它寫成e1 e2 所有這些
- 但是我想把這些向量寫出來
- 我們知道e1有一個1和一串0
- 這裡有n-1個0
- e2等於0 1 還有一串0
- 我們一直寫到en
- 它也有一串0
- 最後是一個1
- 我們在貫穿整個影片中研究的
- 標準基底是標準正交集合
- 是一個標準正交基底
- 顯然所有向量的長度都是1
- 如果你想對這個向量的自身做點乘
- 你會得到1<i>1</i>
- 再加上一串互相相乘的0
- 因此這個是12
- 也就是1
- 對於所有的向量都是成立的
- 顯然它們是正交的
- 你對於任意一個向量
- 和其它的某個向量做點積
- 你得到的都是1<i>0和一個1<i>0</i></i>
- 後面是一串0
- 最終的結果是0
- 顯然它們的長度都是1
- 它們是正交的
- 顯然這個一個好的座標係
- 那麽對於其它的標準正交基又怎樣呢？
- 這只是一個特殊的例子
- 我需要向你們證明所有的標準正交基
- 都可以構成好的座標係
- 假設我有一個集合
- 向量的標準正交集合
- 這是v1,v2一直到vk
- 這個是某個次空間V的標準正交基底
- 這是一個k維的次空間
- 因爲你的基底中有k個基向量
- 或者說在你的基底中有k個向量
- 我們對它來做試驗
- 我一直說
- 這是一個好的座標係
- 那麽什麽是“好”？
- 換句話說 標準基底是好 但是
- 它之所以好是因爲我們用它時
- 它看起來很好處理
- 當我在這種情形中說好時
- 我是什麽意思呢？
- 來做個試驗
- 有一個向量x 它是V中的一個元素
- 這意味著 x可以表示成
- x可以表示成這些向量的線性組合
- x可以表示成某個常數乘以v1
- 加上某個常數乘v2 一直加到
- 第i個常數乘以vi
- 繼續下去
- 一直寫到第k個常數乘以vk
- 這就是次空間中一個元素的意思
- 這個次空間時這些向量生成的
- 因此這個向量可以
- 用這些向量的線性組合來表示
- 如果我們對方程的兩邊
- 都點乘上vi會怎樣
- 取vi 在這兩邊都
- 點乘上vi
- vi點乘x 等於多少
- 它等於--
- 我們把常數提取出來
- 它等於c1<i>vi?v1</i>
- 加上c2<i>vi?v2 一直加到</i>
- ci<i>vi?vi 一直寫下去</i>
- 一直加到ck<i>vi?vk</i>
- 這是一個標準正交集合
- 也就是說 如果我們取的兩個向量
- 是在基底中不相同的兩個
- 如果你對它們點乘 結果等於0
- 它們互相正交
- 它們是在我們集合中不同的兩個向量
- 它們是正交的
- 因此這一項就等於0
- 它等於0<i>c1 因此就是0</i>
- 這一項也是0
- 假設i不等於2
- 我們就這樣假設
- 這一項 我們假設i不等於k
- 它也等於0
- 所有這些項都是0
- 除了下標是i的v向量
- 在本題中就是vi
- 除了這兩個下標是相等的項
- 不等於零
- 那麽vi?vi等於多少？
- 我們知道標準正交有兩層含義
- 它們互相正交
- 它們都是標準化的
- 或者說它們的長度是1
- vi?vi就等於1
- 這整個方程就簡化成了vi
- 它是向量中的一個
- 它是基底集合中的第i個元素
- 點乘x x是次空間中任意一個元素
- 它等於剩下的
- 唯一一項1<i>ci</i>
- 因此 它等於ci
- 爲什麽這個結果是有用的？
- 你知道我們只是在做一個試驗
- 我們得到了這個很漂亮的結論
- 就關於這個基底的座標係而言
- 爲什麽這是有用的？
- 我們來想想
- 這是一個什麽樣的座標係？
- 如果我們想表示一個向量x
- x是次空間中的一個元素
- 在關於次空間中這個基底下的座標係
- 一個次空間有很多基底
- 但是這個是我們最終選擇的基底
- 我們想把x寫成關於基底B的形式
- 應該怎麽來做？
- 它的坐標就是
- 在不同基底向量前的係數
- 這些是對以前知識的複習
- 它是c1 c2 一直到ci
- 一直到ck
- 它有k項
- 因爲這是一個k維的次空間
- 正常情況下這個向量不容易計算
- 給你一個向量x
- 我們前面見過
- 如果你有一個在B座標係中表示的x
- 用它乘以基底變換矩陣
- 你就能得到一個標準的x
- 如果你有一個標準形式的x 你想求出[x]B
- 如果C是可逆的 你就可以利用這個方程
- 它不總成立
- 這有當C是可逆的才可以
- 然而C並不總是可逆的
- 如果C不是一個方陣
- 那麽我們就不可以利用這個公式
- 這是一個給出x
- 求[x]B的一種方法
- 如果C不是可逆的
- 你就必須求解這個方程
- 你需要知道
- 右手邊的這一項
- 你需要一個基底變換矩陣
- 然後你需要求解這個方程
- 我們知道對於任給的一個基底
- 求解方程的過程都是相當的痛苦
- 但是這裡已經得到了什麽結論？
- 關於求解不同座標係中的x
- 我們有一個很簡單的結論
- 它等價於--
- c1就等於
- v1點乘x
- ci等於第i個基底向量點乘x
- 因此c1就等於
- 第一個基底向量點乘x
- c2就等於第二個基底向量點乘x
- 一直到ck
- ck等於第k個基底向量點乘x
- 我來給你們展示我們這樣做更簡單
- 我們來做一個具體的例子
- 把這個結果放這兒
- 假設我們有兩個向量
- v1等於3/5…
- 我來這樣寫
- 假設它等於[3/5 4/5]
- v2等於[-4/5 3/5]
- 設集合B等於
- 它是由這兩個向量v1和v2組成的
- 我需要聲明一下
- 這是一個標準正交集合
- 來證明一下
- v1的長度的平方是多少？
- v1點乘它自身
- 等於(3/5)2 也就是9/25
- 加上(4/5)2 也就是16/25
- 也就是25/25=1
- 這個向量的長度顯然是1
- v2長度的平方是多少？
- 它應該這個的平方
- (-4/5)2等於9/25
- 抱歉 (-4/5)2是等於16/25
- 而(3/5)2是等於9/25
- 因此這個向量長度的平方也是1
- 或者說這個向量長度是1
- 這兩個向量的長度顯然都是1
- 我們只需證明
- 它們倆是互相正交的
- v1?v2等於多少？
- 它等於3/5<i>(-4/5)</i>
- 結果就是-12/25 再加上4/5<i>3/5</i>
- 也就是12/25 最終的結果等於0
- 因此這兩個向量
- 一定是互相正交的
- 它們的長度都是1
- 因此這個集合顯然是標準正交集合
- 這個結論也告訴我們 它們是線性獨立的
- 假設
- 集合B是某個次空間V的基底
- 實際上這個集合不是V
- 我們不需要假設
- 它就是R2的基底
- 是R2的一個基底
- 我們是怎麽知道它是R2的一個基底？
- 在基底中我們有兩個線性獨立的向量
- 它張成一個二維空間R2
- 因此它是R2中的一個基底
- 考慮到我們已經知道的
- 我們隨機在二維空間中選取一個元素
- 隨機選取一個二維元素
- 令x等於
- 隨意選擇兩個數字
- 9和-2
- 如果我們不知道這是一個標準正交基
- 我們想計算出[x]B的話
- 我們所必須要做的是
- 構造基底變換矩陣
- 因此基底變換矩陣就等於3…
- 我這樣寫出來
- 它等於[3/5 4/5;-4/5 3/5]
- 我們會說
- 用這個矩陣乘[x]B
- 結果等於正尋常表現的x
- 或者說是在標準座標係中的x
- 我需要求解這個2×2的矩陣
- 在這個2×2的例子中 計算還不算複雜
- 但是我們有關於標準正交集合的這個簡潔的結論
- 或者說是標準正交基底
- 我們不去求解這個方程
- 我們可以說
- [x]B等於
- 把它往下滾動一點
- 它等於v1
- 就是這裡的這個向量點乘x
- 結果就是v1<i>x</i>
- 而這一項
- 就等於v2<i>x</i>
- 之所以可以這麽做
- 是因爲這是一個標準正交基
- 它等於多少？
- x等於[9 -2]
- 用它點乘v1 9<i>(3/5)</i>
- 也就是27/5 對吧
- 9<i>3/5等於27/5</i>
- 加上-2<i>4/5</i>
- 等於-8/5 對吧
- -2<i>4/5等於-8/5</i>
- 第二項就等於v2<i>x</i>
- 因此v2<i>x等於…</i>
- 9乘以---往上滾動一點
- 9<i>(-4/5)等於-36/5</i>
- 加上-2<i>3/5</i>
- 加上-2乘3/5就等於-6/5
- 因此[x]B
- 可以利用這裡標準正交基的結論
- 它等於--這個是多少？
- 27-8等於19 結果就是19/5
- -36-6等於-42 結果就是-42/5
- 這個結果不怎麽好看
- 但是我們用其它方法求解出的
- 也是這個結果
- 但是希望你們能看到
- 當你遇到標準正交基時
- 求解關於這個基底的坐標
- 就會變得簡單很多
- 這個是R2中的一個例子
- 你們可以想象
- 當你研究的是一個R4甚至是R100時
- 它會有多麽困難
- 求解這個矩陣不是很簡單
- 但是做點乘還是相對簡單的
- 因此 我們在這段影片的前部分說過
- 標準正交基 它們有哪些好處？
- 我們說過標準基底是好的
- 這些是好的座標係
- 我們以前用過
- 我沒有準確的告訴你們
- 這裡的好到底指的是什麽
- 但是我們現在看到了一個能證明它好的例子
- 在標準正交基中求坐標
- 或者說是關於標準正交基底中
- 求坐標是很容易的