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Linear Algebra: Cross Product Introduction : Introduction to the cross product
相關課程
- 我們已經學習了不少點積的知識了
- 但我第一次介紹它時
- 我就強調了這只是
- 一種形式的向量乘法
- 而另一種是外積
- 你們可能對它比較熟悉
- 從你們學過的向量微積分
- 或由物理課中
- 但外積相對於點積來講
- 要有限得多
- 它很有用 但非常有限
- 點積可以在任何維數的空間中定義
- 所以點積對於任何兩個R^n空間中的向量都有意義
- 你可以對向量取點積
- 即使僅有兩個分量
- 你也可以對向量取點積
- 即使有一百萬個分量
- 而外積僅僅在R3中有意義
- 而另一處不同 我想
- 主要的不同是點積
- 我們花一點兒時間來看看
- 當定義點積時
- 我沒有強調它
- 點積的結果是一個純量
- 你如果取兩個向量的點積
- 你得到的結果是一個數值
- 但要是外積的話你就會得到
- 另一個向量
- 而我們得到的這個向量
- 事實上
- 與這兩個取外積的向量
- 是正交的
- 現在我讓你們産生了一些興趣
- 首先我來定義一下
- 你們可能已經看過這個一至兩遍了
- 在你的數學生涯中
- 首先假設我們有一個向量a
- 它是在R3中 所以有3個分量
- 即a1 a2和a3
- 然後將它與向量b作外積
- 它有3個分量：b1 b2和b3
- 那麽a×b就是第三個向量
- 這個看起來有一點兒驚人
- 並且比較難於記憶
- 因爲這個就是一個定義
- 但我會告訴你們我是如何考慮它的
- 當我把它寫成行向量的形式時
- 如果你們看過課程列表的話
- 我有一堆關於外積的影片
- 我會告訴你們我是如何考慮外積的
- 當我以i j k的形式寫它時
- 但當我把它寫成這個樣子時
- 你就可以把這裡的第一項當成是
- 另一個三維向量
- 或者說是另一個R3中的向量
- 所以它有1 2 3這3項
- 對於第一項
- 你需要忽略
- 這兩個向量的第一項
- 然後看下面的這兩項
- 就是a2<i>b3-a3<i>b2</i></i>
- 我已經做過了幾個關於行列式的影片
- 雖然還沒有正式地
- 按照線性代數的講課順序講過
- 如果你們還記得代數余子式
- 如何找到代數余子式
- 當你計算行列式的時候
- 或者僅僅是計算一個2x2矩陣的行列式
- 這個應該是很熟悉的
- 所以這裡的第一項是
- 就是行列式――
- 如果不看
- 這兩個東西的第一行
- 就是a2<i>b3-a3<i>b2</i></i>
- 所以就是a2b3-a3b2
- 這個是很簡單直觀的
- 現在 別把問題搞複雜
- 當你算第2項 算中間這一項的時候
- 當你算這一項的時候 你把它去掉
- 可能你想要寫a1<i>b3-a3<i>b1</i></i>
- 這很自然
- 因爲我們在上面這個情況就是這麽做的
- 但是中間這一項的情況正好相反
- 是a3<i>b1-a1<i>b3</i></i>
- 或者你可以把它看做是
- 與所求的東西是正好相反的
- 所以是a1b3-a3b1
- 現在得到了a3b1-a1b3
- 但這只是對於中間項正確
- 然後 對於下面這一項
- 我們同樣去掉這一項
- 得到a1b2
- 就像第一項一樣
- 然後a2b1
- 減去a2b1
- 這個看起來很難――很難記住
- 這就是我爲什麽這麽寫這些東西的原因
- 就如我剛才說過的那樣
- 但這個看起來可能有一些嚇人
- 我們現在來做一些例子吧
- 只有這樣你才能理解
- 這個R3中的外積的定義
- 如果我們有向量――
- 例如我要算這兩個向量的外積
- 我有向量[1,-7,1]
- 然後與向量[5,2,4]作外積
- 這個等於第三個向量
- 多留出些空間來寫式子
- 所以對於向量的第一個分量
- 第一個分量
- 我們忽略這兩個向量的第一個分量
- 就是-7<i>4-1<i>2</i></i>
- 這些就是普通的乘法
- 不是取點積
- 這些就是一般的數值
- 然後對於中間這一項
- 我們忽略這裡的中間項
- 然後取相反數
- 得到1<i>5-1<i>4</i></i>
- 記住 可能你們會不自覺地
- 寫成是1<i>4-1<i>5</i></i>
- 因爲我們就是這麽算這個
- 在第一項時的情況
- 但中間這一項結果是相反的
- 最後 再忽略第三項
- 這裡的第三項
- 就像第一項的情形
- 從左上方開始
- 是1<i>2-7</i>
- 把它放在括號裏
- 減去-7<i>5</i>
- 所以結果等於――來看看 結果是什麽？
- 這裡-7<i>4</i>
- 我不想在這裡犯錯誤
- 是-28
- 減去2
- 第一項就是-30
- 這個是5-4
- 結果是1
- 然後2減去-35
- 所以2減去-35
- 就是2+35
- 就是37
- 這就是結果啦
- 幸運的是你們懂得了
- 外積的機制
- 下一個我要介紹的東西是 好
- 我可以算出兩個向量的外積
- 但那有什麽用？
- 它究竟對我來說有什麽用？
- 答案是 這裡的第三個向量
- 取決於我是以抽象的形式
- 或以數值的形式 這個與
- 這兩個作外積的向量是正交的
- 所以這個向量與a和b正交
- 這個結果很美妙
- 如果你們思考一下上一個影片的內容
- 當我們討論一個平面的法向量時
- 我們定義一個向量由――
- 我們可以由兩個向量來定義平面
- 如果我們定義一個平面――
- 例如這裡有一個向量a
- 任何還有一個向量b
- 讓我來這樣處理向量b
- 這就在R3中定義了一個平面
- 來定義一個平面
- 這兩個東西的所有的線性組合
- 就是一個平面
- 你可以把它看作是
- 在R3中形成的一個次空間
- 這就形成了一個平面
- 如果計算a和b的外積 就得到第三個向量
- 這個向量與這兩個是正交的
- 所以a×b就像這樣射出來
- 它與這兩個正交 看起來就像這樣
- 這個向量就是a×b
- 你可能會問 可汗 你怎麽知道――我是說
- 有許多向量與它們正交
- 明顯地 向量的長度
- 我沒有強調這點
- 但它可以像這樣射出來
- 那麽你怎麽知道
- 你也可以很簡單地
- 像這樣從下方射出
- 這也是與a和b正交的
- 而由a×b的定義
- 你可以看出其方向
- 是由所謂的右手法則給出的
- 我考慮它的方法是你先伸出你的右手
- 我看看我能不能形象地畫出右手
- 將食指指向a的方向
- 那麽如果你的食指指向了方向a
- 然後將中指指向b的方向
- 中指 在這裡
- 就是像這樣
- 我的中指就像這樣
- 不需要用到其它手指
- 那麽拇指指向就是a×b的方向
- 你可以看出來這一點
- 我的拇指指向就是a×b的方向
- 假如你和我的身體結構是一樣的
- 你就會得到相同的結果
- 我把它全畫下來
- 這是向量a
- 向量b是這個方向
- 幸運的是你的拇指不是指向下面
- 在這裡a×b就指向上方
- 並且它與這兩個向量正交
- 再稍微多講一點兒
- 這個向量正交
- 或這個向量與這兩個正交
- 我們運用它
- 在這裡就是這個樣子
- 那麽什麽是正交？
- 在這門課裏 正交的定義是什麽？
- 正交向量
- 如果a和b是正交的
- 就是說a?b=0
- 記住 正交與
- 垂直的區別在於正交
- 也可以應用到0向量
- 所以這些也可以是0向量
- 注意到我並沒有說
- 這裡的任何一個要是非零的
- 好 再講一下向量夾角
- 這裡就要假定向量非零了
- 但如果你算出來外積
- 你也就可以算出――
- 沒有什麽理由說明這些數不能是0
- 但讓我來說明一下a×b就是
- 與a和b都正交的
- 我想這應該可以使你們感到滿足了
- 讓我來複製一下a×b
- 我不想再寫一遍了
- 好
- 粘貼一下
- 好 再把其它東西也弄到一起
- 取點積
- 這個向量和向量a的
- 就是[a1, a2, a3]
- 點積是什麽樣子的呢？
- 這項乘以這個 就是a1――
- 先騰出一些地方來
- 就是a1a2b3減去a1乘以這個
- 減去a1a3b2
- 再加上這個乘以這個
- 加上a2a3
- 加上a2a3b1
- 再減去a2a1b3
- 最後 加上――
- 繼續在下面寫
- 加上a3a1b2減去a3a2b1
- 我做的就是算出
- 這兩個的點積
- 我算出了這裡面的每一個
- 這個乘以這個等於這兩項
- 這個乘以這個等於下兩項
- 等於這兩項
- 然後這個乘以這個
- 等於這兩項
- 如果這些真是正交的
- 那麽這個應該等於0
- 我們來看看究竟是不是這樣
- 所以這是a1a2b3 一個正項
- 消去這裡的相同項
- 這也是a1a2b3
- 但是負的
- 這兩項就消去了
- 來看看 還有什麽？
- 有一個-a1a3b2
- 這裡有一個a1a3b2
- 這兩項也消去了
- 這下就明顯了
- 由一個正項的a2a3b1
- 這裡有一個-a2a3b1
- 這兩項也消去
- 現在 我證明了這個與a是正交的
- 再來證明它與b是正交的
- 這是另一個我的――
- 兩個向量的外積
- 或許應該向下滾動一些
- 再回來
- 將這個乘以向量b
- 就是[b1,b2,b3]
- 我要在這裡計算因爲這裡有足夠的空間
- 那麽b1乘以這個東西
- 就是b1a2b3減去b1乘以這個
- 減去b1a3b2
- 改變一下顏色
- 然後b2乘以這個就是b2――
- 這是加法
- 都是一種表示方法
- 我分多行寫出這個式子
- 這不是一個向量
- 記住 當你取兩個向量的點積的時候
- 你得到的結果是純量
- 加上b2乘以這個東西
- 就是b2a3b1減去b2a1b3
- 最後 b3乘以這個
- 加上b3a1b2減去b3a2b1
- 所以如果這兩個東西是正交的
- 結果就應該是0
- 我們來看看結果是不是這樣
- 我們有一項是b1a2b3
- 所以b1和一個b3
- b1a2b3 這是正項
- 這是負項
- 這裡還有一項b3a2b1
- 所以這個和這個消去了
- 這裡有一個-b1a3b2
- 所以有一個b1和b2
- 是減去b1a3b2
- 這裡是加上一個相同的東西
- 只是改變了乘法的順序
- 但這兩項是相同的
- 它們互爲相反數
- 所以它們消去了
- 最後 剩下b2a1b3
- 這項是負的
- 這裡有一項相同的正項
- 這兩個東西消去了
- 所以這個結果也是0
- 所以幸運地知道了
- 這裡的這個向量
- 與a和b正交
- 這是因爲外積就是這麽定義的
- 這是一個定義
- 你可以做一些代數運算
- 你可以不需要我
- 獨立地解釋這個定義
- 你實際上可以
- 自己推導出這個定義
- 但很顯然地 這個定義
- 還有其它的一些有趣的性質
- 我會在接下來的一些影片裏講解
- 幸運的是 你們明白了外積是很有用的
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