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Linear Algebra: Deriving a method for determining inverses : Determining a method for constructing inverse transformation matrices
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- 這裡我有一個矩陣A
- 我想把它變成行簡化階梯形
- 這個我們做過很多次了
- 就是用一連串的行變換
- 但是在這一集裏我要教你們的是
- 那些行變換與
- 矩陣A行向量的線性變換是等價的
- 我來舉個例子
- 如果我們要把矩陣A
- 變爲行簡化階梯形
- 我們要做的第一步
- 如果要把這些元素變爲0的話
- 就是 我在這裡寫
- 就是要保證第一個元素是一樣的
- 所以對於這裡每一個行向量
- 我們要保持第一個元素是一樣的
- 所以它們是 1,-1,-1
- 實際上 讓我同時
- 進行這些變換
- 我是說 我將要做的那些行變換
- 與行向量上的線性變換
- 是等價的
- 所以這是一個變換
- 用一些行向量 a1, a2, a3
- 要用到這裡的每一個（行向量）
- 然後對它們做一些變換
- 對它們做一些線性變換
- 這些就是線性變換
- 所以我們要保證
- 行向量的第一個元素是一樣的
- 所以這個是a1
- 這裡畫一條線
- 這個是a1
- 現在 我們要怎麽做
- 如果要把它變成行簡化階梯形？
- 我們要把這個變成0
- 所以我們要把第二行換成
- 第二行與第一行的和
- 因爲到時這些東西會變成0
- 我來寫一下這個變換
- 我們把第二行換成
- 第二行加上第一行的和
- 我在這裡寫下來
- -1+1等於0
- 2+(-1)等於1
- 3+(-1)等於2
- 現在 這裡我們也要得到0
- 所以我們把第三行換成
- 第三行減去第一行的差
- 所以我們把第三行換成
- 第三行減第一行的差
- 那麽 1-1=0
- 1-(-1)等於2
- 4-(-1)=5 就像這樣
- 所以你看 這個就是一個線性變換
- 任意一個線性變換
- 你都可以用矩陣乘積來表示
- 比如說這個變換
- 我可以這樣表示
- 來求這個變換矩陣是什麽
- 如果說T(x)等於
- 我也不知道 就叫它矩陣S乘x吧
- 在矩陣A裏 我們已經用過了
- 所以用別的字母表示
- 那麽怎麽求矩陣S？
- 呃 我們只用把這個變換應用到
- 所有的行向量上
- 或者用到單位方陣的標準基向量上
- 我們試一試
- 那麽這個單位方陣
- 這裡我要畫的很小
- 單位方陣是這樣：
- 就是 [1,0,0；0,1,0；0,0,1]
- 這就是單位方陣
- 要求出所需的矩陣
- 我們只用把這個應用到
- 這個的每一個行向量
- 我們得到什麽？
- 這個畫大一點
- 我們把它用在每一個行向量上
- 我們看到 第一行總是一樣的
- 所以第一行總是一樣的東西
- 是 1, 0, 0
- 基本上我同時把它應用在
- 這裡每一個行向量上
- 就是說 看
- 當你變動這些行向量的時候
- 它們的第一個元素總是不變的
- 而第二個元素
- 就變成第二個元素加上第一個元素的和
- 所以 0+1=1
- 1+0等於1
- 0+0等於0
- 然後第三個元素就變成
- 第三個元素減去第一個元素的差
- 那麽 0-1=-1
- 0-0等於0
- 1-0等於1
- 現在注意了
- 當我把這個變換應用在
- 我們單位方陣的行向量上
- 本質上 我只是
- 用跟剛才的行變換一樣的東西
- 我用的完全是一樣的行變換
- 在這個單位方陣上
- 但是我們知道
- 這個正好是我們要的變換矩陣
- 如果我們用每一個行向量來乘它
- 或者用這裡每一個行向量
- 我們就會得到這些行向量
- 你可以這麽理解
- 這裡這個 這個是等於矩陣S的
- 這是我們要的變換矩陣
- 所以我們可以說
- 如果我們建立一個新的矩陣
- 它的列是S乘這個行向量
- S乘[1,-1,1]
- 然後下一列是S乘...
- 我用另一種顏色寫
- S乘這個: [-1, 2, 1]
- 然後第三列就是
- S 乘這個第三個行向量 [-1, 3, 4]
- 現在知道 我們在應用這個變換
- 這個是S 乘上這裡每一個行向量
- 這就是表達這個變換的矩陣
- 這裡這個東西
- 這個會變成這邊這個
- 我在這下面寫吧
- 給你們看個東西
- 我這裡上面寫的
- 呃 我只是畫了一個箭頭
- 這可能是最簡單的了
- 這裡這個矩陣會變成 那裏那個矩陣
- 所以你可以把它寫成另一種形式
- 這個和哪個是一樣的？
- 它和哪個是等價的？
- 當你拿到一個矩陣
- 然後你把它乘上它的每一個行向量
- 當你把
- 每一個行向量都用這個矩陣乘了
- 這就是矩陣與矩陣乘積的定義
- 它就相當於我們的矩陣S――我用粉紅色寫
- 這個等於我們的矩陣S
- 就是 [1,0,0；1,1,0；-1,0,1]
- 乘上我們的矩陣A
- 乘 [1,-1,-1；-1,2,3；1,1,4]
- 要把這個弄得很清楚
- 這個是我們的變換矩陣S
- 這個是我們的矩陣A
- 當你用到這個乘積的時候
- 就會得到這個東西
- 我就複製粘貼一下
- 編輯 複製 然後粘貼
- 你會得到這個 就是這樣
- 我這麽做的原因是
- 只是爲了提醒你
- 當我們做這些行變換的時候
- 我們只是在做乘法
- 我們在做一個線性變換
- 對這裡每一個行向量\N【做同樣的線性變換】
- 然後這個跟 僅僅用某個矩陣
- S乘這個東西是完全一樣的
- 這個情況下
- 有點麻煩的是
- 求矩陣S是什麽
- 但是我們在這裡 進行過的任何一個行變換
- 你總是可以用一個矩陣乘法來表示
- 這就産生了一個有趣的問題
- 當你把一個東西變成了行簡化階梯形
- 讓我在這裡寫
- 我們先把開始的這個東西寫完
- 先把這個變成行簡化階梯形
- 那麽這個 我們說過了
- 這個等於――
- 我先把它稱爲第一個S
- 叫它S1吧
- 所以這裡這個東西等於
- 第一個S1乘上A
- 我們已經證明過是對的了
- 現在我們來做另一個變換
- 我們來做另一個行變換
- 把它變成行簡化階梯形
- 所以先保持中間那行不變 0, 1, 2
- 然後換掉第一行
- 變成第一行加上第二行的和
- 因爲我要把這個變成0
- 那麽 1+0=1
- 我用另一種顏色寫
- -1+1等於0
- -1+2等於1
- 現在我要把第三行換掉 我們說
- 變成第三行減去2倍第一行
- 那就是 0-2<i>0=0</i>
- 2-2<i>1等於0</i>
- 5-2<i>2等於1</i>
- 就是 5-4=1
- 快了快了
- 我們只用把這些歸零就好了
- 我們看看
- 這個能不能變成行簡化階梯形
- 那麽這個是什麽？
- 我剛剛做了另一個線性變換
- 實際上 讓我寫下來
- 我們說 如果這是我們第一個線性變換
- 我剛剛做的是
- 我做了另一個線性變換 T2
- 我用另一個符號來表示
- 給我一些向量
- 一些行向量 x1, x2, x3
- 剛剛我做的是什麽？
- 我剛剛做的變換是什麽？
- 這些新的向量
- 我讓最上面一行
- 等於第一行加上中間那行
- 那麽這是 x1+x2
- 保持第二行不變
- 然後第三行 我把第三行變成
- 第三行減去2倍第二行
- 我剛剛做的是一個線性變換
- 然後我們可以
- 把這個線性變換表示成――
- 我們說 把T2應用到一些向量x上 等價於
- 一些用於變換的向量S2 乘上我們的向量x
- 現在我們呢可以說 這個等於
- 因爲如果把這個變換矩陣應用到
- 這裡每一列
- 就等於說是把這個東西
- 乘以這個變換矩陣
- 所以你可以說 這裡這個東西
- 我們還沒求出這個是什麽
- 不過我想你知道方法了
- 這裡這個矩陣會等於這個
- 它會等於S2乘以這個東西
- 那這裡這個是什麽?
- 呃 這個等於S1乘以A
- 這個是 S2×S1×A
- 很好
- 所以這個就是 S2×S1×A
- 其實本來可以直接到這一步
- 如果你用 S2×S1
- 這個可以是別的矩陣
- 如果你只是用A乘
- 本來就是直接從這裡到這裡
- 很好
- 我們還沒有把這個變成
- 行簡化階梯形
- 我們試試
- 這個下面沒有位置寫了
- 那就寫上面吧
- 我們往上移
- 往上 就像這樣
- 現在我要做的是
- 保持第三行不變 0, 0, 1
- 我們把第二行換成
- 第二行減去2倍第三行
- 然後我們得到0 我們得到 1-2<i>0</i>
- 然後得到 2-2<i>1</i>
- 所以那是0
- 然後我們把第一行
- 變成第一行減去第三行
- 那麽 1-0=1
- 0-0 等於 0
- 1-1=0 就像這樣
- 實際上只是把原本的變換寫下來了
- 我們用T3表示吧
- 我用紫色寫
- T3是一些向量x的變換
- 我這麽寫吧――
- 對向量x1, x2, x3（的變換）
- 這個原來等於――我做了什麽
- 我們把第一行變成
- 第一行減第三行 x1-x3
- 我們把第二行換成
- 第二行減2倍第三行
- 那麽是 x2-2<i>x3</i>
- 然後第三行就一樣了
- 顯然 這個也可以被表示
- T3(x) 可以等於
- 可以等於另外的變換矩陣 S3×x
- 那麽 這個變換
- 如果你把它乘到每一列上
- 就等於
- 把這個東西乘上這個變換矩陣
- 不過還沒求出這個矩陣是什麽
- 我們可以寫出來
- 所以這個等於
- S3乘這裡這個矩陣 就是S2×S1×A
- 然後我們得到什麽
- 得到的是單位方陣
- 我們把它變成了行簡化階梯形
- 得到的是單位方陣
- 從前面的課我們已經知道
- 某個東西的行簡化階梯形
- 就是單位方陣
- 我們是用可逆變換來做的
- 或者說是可逆方陣
- 因爲顯然這個可以成爲
- 一些變換的變換
- 我們把它叫作變換
- 我不知道 就叫T吧
- T我用過了麽？
- 我們就用To
- 來表示一些對向量x的變換
- 這個可能等於Ax
- 已知它是可逆的
- 那麽我們把它變爲行簡化階梯形
- 我們把它的變換矩陣
- 變成行簡化階梯形
- 然後我們得到單位方陣
- 這個證明它可逆
- 而更有趣的是
- 我們做到這一步用的是行變換
- 然後我們說
- 那些行變換完全等價於
- 把這個東西乘上
- 用我們最初的那個變換矩陣
- 是用一連串的變換矩陣得到的
- 用（那串變換矩陣）表示行變換
- 當把所有這些都乘起來的時候
- 它就變成單位方陣了
- 那麽 上一集我們說了 對於逆矩陣
- 如果這個是To
- 那麽To的逆矩陣可以表示爲
- ――它也是線性變換
- 它可以用一些逆矩陣來表示
- 比如剛才說的 A的逆矩陣乘上x
- 我們看見 逆變換乘上
- 我們的變換矩陣
- 等於單位方陣
- 上節課我們看過了
- 我們也證明過了
- 那麽 有趣的事來了
- 我們有一串矩陣乘積乘上這個東西
- 乘上這個東西 得到的也是單位方陣
- 那麽這個東西 這一串矩陣乘積
- 必須等於逆矩陣
- 等於逆變換矩陣
- 想的話還可以算出來
- 就像剛才做的 實際上我們已經求出S1了
- 我們在這裡做
- 我們可以用相似的方法做
- 來求出S2和S3 然後再把它們全都乘起來
- 然後我們就構造了A的逆矩陣
- 我想 更有趣的是
- 如果不這麽做的話 如果我們一開始
- 如果我們把相同的矩陣乘積
- 應用在單位方陣上的話會怎麽樣？
- 我們前面做的所有
- 開始做的行變換
- 然後這個 矩陣A
- 我們說右邊是一個單位方陣
- 叫它I 就是這個
- 那麽 我們做的第一個線性變換
- 在這裡看到――這個等於
- S1乘A
- 這個是第一組行變換
- 然後得到這個
- 如果我們用相同的行變換
- 對單位方陣再做一次 那得到什麽？
- 我們會得到矩陣S1
- S1乘單位方陣等於S1
- 所有的列
- 任何東西乘上單位方陣
- 乘上標準基向量
- 等於它本身
- 我們就得到這個S1
- 或者說是 S1×I
- 就是S1而已
- 好了
- 然後 如果我們做下一組行變換
- 然後得到 S2×S1×A
- 現在如果你做相同的行變換
- 在這個東西上（做相同的行變換） 得到什麽？
- 你會得到 S2×S1×I
- 現在 最後一組行變換
- 我們用S3的矩陣乘積來表示
- 我們用變換矩陣S3來乘它
- 這樣的話 你就得到 S3×S2×S1×A
- 如果你把完全相同的行變換應用在
- 這裡這個東西上的話
- 就得到 S3×S2×S1×I
- 做到這一步以後
- 當你在這做這些行變換時
- 這個得到了單位方陣
- 那麽這些得到的又是什麽？
- 當你完成
- 和用在A上的完全一樣的行變換
- 來把這個變成單位方陣時
- 如果你把完全相同的行變換
- 用在單位方陣上 你會得到什麽？
- 得到的是這個
- 所有東西乘單位方陣
- 就是它本身
- 那這個是什麽？
- 這個是A的逆矩陣
- 這就是A的逆矩陣
- 那麽我們有了一個通用方法
- 來求變換逆方陣矩陣
- 我可以做的是
- 我們說我有一個變換矩陣A
- 我可以構造一個增廣矩陣
- 把單位方陣放在裏面
- 就像這樣
- 然後我做了一係列的行變換
- 你可以用矩陣乘積來表示
- 不過你把一係列的行變換
- 用在所有這些上面
- 你對A做的行變換
- 和對單位方陣做的行變換是一樣的
- 當你把A變爲單位方陣的時候
- 你就把A變爲行簡化階梯形了
- 當A是行簡化階梯形後 你的單位方陣――
- 當做完完全一樣的行變換以後――
- 它就變成A的逆矩陣了
- 這是一個求逆矩陣很有用的方法
- 那麽我已經用理論解釋了 爲什麽可以這麽做
- 那麽在下節課 我們就來實際解決一下
- 或許我會舉個例子
- 就用這節課開始的這個矩陣