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Linear Algebra: Determinant as Scaling Factor : Viewing the determinant of the transformation matrix as a scaling factor of regions
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- 讓我畫出R2上的坐標軸
- 讓我看看 讓我畫整潔點
- 我要比這個畫得還整齊
- 這是我的縱坐標
- 這是我的橫坐標
- 很好
- 在R2空間上我們有4個點
- 構成了四個方向向量
- 因此這就是R2
- 因此第一個方向向量是零向量
- 因此它就是這個點
- 是0 0點
- 第二個點
- 由向量[k1,0]規定好了
- 因此一些常數乘於0
- 讓我寫的比這個更整齊點
- 更大一點
- 因此它是[k1,0] 第二個方向向量
- 它定好了這個點
- 因此讓我把向量畫在這
- 第三個點在上面一點
- 你可以看到 我構造了一個長方形
- 它是由這個方向向量定好的
- 讓我這樣來畫這個方向向量
- 這個方向向量就是向量[k1,k2]
- 那是它的橫坐標
- 那麽k2就是它的縱坐標
- 如果我們想要在坐標軸上把它們標出來
- 這就是坐標k2
- 讓我們說這兒的最後一個點
- 它是由向量[0,k2]定好的
- 讓我們定義一個集合
- 這個集合就是這個長方形
- 這個長方形叫做R
- 讓我們把它叫做Rec
- 這個長方形就等於
- 這個集合所有的點
- 當你把這些點連接起來
- 由這些方向向量定好的這些點
- 因此這個長方形是由這些點構成的
- 這些點是由這些向量定好的
- 因此如果把這個向量叫做a 這個是b
- 這個是向量c 然後這個是向量d
- 因此長方形由這四個點構成
- 四個點a b c 和d
- 現在讓我們來看
- 現在讓我把這個長方形集合畫出來
- 它就是所有這些點的集合
- 所有這些點 所有那些點
- 然後還有所有這些點
- 包括我們的頂點
- 因此這就是我們的長方形
- 現在 這個長方形的面積是多少呢？
- 這就是這個長方形的面積
- 這個長方形的面積是多少呢？
- 好了 它就是底乘於高
- 底是k1
- 從這到這是k1 這就是k1
- 那高呢？
- 從這到這 就是k2
- 因此就是k1<i>k2</i>
- 這很簡單
- 我還沒有給大家講點有意思的東西
- 但是對這個集合做變換
- 對這個長方形做變換
- 對長方形做T變換
- 讓我選個好點的顏色來寫T
- 我們有變換T
- 它是從R2到R2的映射
- 它可以替換成
- 當你對向量x進行T變換
- 它等於矩陣[a,b;c,d]乘於x
- 就像這樣
- 現在 讓我們看看會發生什麽
- 當對這每一個點進行變換
- 我們在很久前的影片就知道
- 如果你想得到長方形在變換下的圖像
- 你就只需
- 對每一個點做變換
- 然後把這些點連接起來
- 這圖像也在R2上
- 因此我們就要找出
- 這些點映射到哪了
- 那這個變換是什麽呢？
- 我把它寫在這
- 我用這種顏色寫出來
- 零向量經過變換之後會是什麽呢？
- 對點a進行變換
- 好了 這就是a<i>0+b<i>0</i></i>
- 等於0
- 然後第二項就是
- c<i>0+d<i>0 等於0</i></i>
- 這就是向量a
- 向量b
- 如果我對向量b進行變換
- 向量b是[k1,0] 就像這樣
- 如果我進行變換
- 這就變成a<i>k</i>
- 因此變換後的向量的第一項
- 或者是變換後 在上域中
- 就是a<i>k1+b<i>0 就是ak1</i></i>
- 然後第二項就是
- c<i>k1加上d<i>0</i></i>
- 也就是ck1
- 我所做的只是把矩陣向量的
- 這個數和那個數乘起來
- 然後移動到點c
- 因此由點c構成的向量[k1,k2]變換之後就等於
- 或者是向量c進行T變換
- 大家說 等於什麽呢？
- 第一項是
- ak1加上bk2
- ak1加上bk2
- 第二項是
- ck1加上dk2
- 還剩下一個點
- 這個變換 如果我們對[0,k2]做變換
- 我們會得到什麽呢？
- 我們得到a<i>0+b<i>k2</i></i>
- 就是bk2
- 然後是c<i>0+d<i>k2</i></i>
- 就是dk2 就像這樣
- 因此讓我們這個圖形畫出來
- 長方形在變換作用下的圖像
- 因此讓我重新畫坐標軸
- 因此這是縱坐標軸
- 這是橫坐標軸
- 因此a映射到這的零向量
- 這就是變換後[0,0] 就像這樣
- 現在 T(b)又是什麽呢？
- T(b)就是[ak1,ck1]
- 因此讓我這樣來畫
- 向量b經過變換之後
- 變成了這樣
- 變成了這個向量
- 因此這就是[k1,0]變換後的向量
- 它等於[ak1,ck1]
- 我們已經看過這個了
- 現在 這個黃顏色的向量變換之後又是什麽呢？
- 讓我們先做這個藍色的
- 因此藍色的向量進行T變換
- 讓我在這完成
- 因此如果我們往下看
- 這就是ak1
- 如果我們往左邊這樣看 這就是ck1
- 我們就這樣來畫
- 現在這個最後的向量 這個藍色的
- 可能就是這樣的
- 這就是這個向量經過變換
- 通過線性變換
- [0,k2]變成了[bk2,dk2]
- 因此這個點就是bk2
- 然後這個坐標就是dk2
- 現在是最後一個 這個黃色的點
- 對它進行變換
- 得到什麽呢？
- 得到ak1+bk2 因此到這就是ak1+bk2
- 那就是它的x坐標
- 然後它的y坐標是ck1+dk2
- 是ck1
- 然後我還得加上一些才能到這
- 才能到這個點
- 因此我要加上這段距離
- 才能等於整個這個長度
- 這樣我就能得到上面的點
- 就能到這一個點
- 因此這個向量就是這樣的
- 這就是T([k1,k2])
- 這就是這個向量變換之後得到的向量
- 然後把這些點連接起來 記住
- 這個長方形集合的映射
- 或者說長方形在變換後的圖像
- 我們只是把每個點
- 定義長方形的
- 然後再連接起來這些點
- 片刻前我們就看到這個了
- 因此讓我這樣來畫
- 由那兩個點連接起來的這條線
- 變換成這條線
- 由這兩個點連接起來
- 這條線
- 我要用不同的顏色來做
- 連接那兩點的這條線變換成
- 由這兩點連接起來的這條線
- 然後連接那兩點的這條線
- 會變換成這條線
- 由這兩點連接起來的
- 最後
- 連接這兩點的這條線
- 會變換成這條線
- 由這兩點連接起來
- 現在 出乎我們意料 是什麽。。。
- 讓我這樣來寫
- 因此這個長方形映射成這個圖像
- 我們可以寫成T(Rec)
- 或者是用文字來寫
- 這就等於長方形映射下的圖像
- 在變換T作用下
- 現在長方形變換後的圖像的面積是多少呢 ？
- 在變換T作用下
- 這個的面積是多少呢？
- 這個面積等於多少？
- 好了 我們可以把這個平行四邊形看成是
- 由這個向量和那個向量構成的平行四邊形
- 或者我們想要用另一種方式來寫
- 如果我們有一個矩陣 有一些矩陣
- 它的行向量是這個和那個
- 因此這樣來看它的第一個行向量是這個
- 因此[ak1,ck1] 這個在這
- 它是T([k1,0])
- 然後是第二列
- 就是這個
- 是[bk2,dk2]
- 這個平行四邊形是一個平行四邊形
- 由這兩個行向量構成的
- 這就是變換
- 這就是T([0,k2]) 對不對
- 在上集影片 我們知道
- 這個平行四邊形的面積等於
- 讓我立刻寫在這
- 因此這個平行四邊形的面積
- 和長方形變換後的圖像的面積是一樣的
- 在變換T作用下
- 這個平行四邊形的面積等於絕對值
- 讓我把它叫做行列式
- 把這個圖像叫做I
- 因此它等於
- 這個矩陣的行列式的絕對值
- 這個矩陣的行向量構造了平行四邊形
- 因此它會等於
- 這個行列式
- I的行列式的絕對值
- 我們上集影片就知道
- 那就是這個圖形的面積
- 好了 這個行列式是多少呢？
- 好了 它等於
- 我們還得加絕對值號
- 因此這個的行列式就是ak1<i>dk2</i>
- 因此可以把這個寫做 讓我換種顏色
- 我們寫成k1k2ad
- 我所做的就是這個乘於這個
- 減去這個乘於那個
- 因此減去k1k2bc
- 這就是定義好的
- 2×2矩陣的行列式
- 這個我們在上集影片就知道
- 沒有什麽新東西
- 或者可能相對有點新奇
- 如果你看了上集影片
- 但是我所說的是 看
- 如果想要算出這個平行四邊形的面積
- 這是一個平行四邊形
- 有這個向量和那個向量構造好的
- 如果我們說這兩個
- 是這個矩陣的行向量
- 我們在上集影片就知道
- 平行四邊形的面積等於
- 這個矩陣的行列式的絕對值
- 現在 它等於什麽呢？
- 它等於 我們可以把k1k2提出來
- 因此它是k1k2(ad-bc)的絕對值
- 現在這個等於什麽呢？
- 好了 ad-bc
- 這是變換矩陣的行列式
- 因此如果是T(x) 如果把這個向量
- 或者是變換矩陣
- 如果把這個叫做矩陣A 叫做A
- 這個就等於k1k2|A|
- 這是一個很有意思的結論
- 這告訴大家
- 看 如果我有一個區域
- 在這個例子 剛好是這個長方形
- 但是如果在整個域中我有一個區域
- 我對它進行變換
- 假定這個區域有一定的面積
- 假設在這個例子裏它的面積是A
- 讓我把這個寫做面積
- 這是原始面積 對不對
- 然後對它進行變換
- 這個變換等於
- 矩陣A乘於域中的任何元素
- 我對它進行變換
- 就得到一個新的區域
- 我得到變換後新的集合的圖像
- 新面積等於
- 這個的絕對值
- 這個就是矩陣的行列式
- 那就是變換矩陣的行列式
- 這就是變換矩陣
- 因此它等於變換矩陣的行列式
- 乘於在這個例子中的原始長方形的面積
- 對不對？
- 這就是原始的長方形
- 加個絕對值 因爲有時候
- 你交換這些向量時 可能會變號
- 因此加個絕對值
- 但這真是一個巧妙的想法
- 變換矩陣的行列式
- 本質上是一個比例
- 這個面積比上原始面積
- 現在 我不打算證明這個
- 但是你可以想象一下
- 假設我有 現在讓我抽象一點
- 我在R2上有一個區域
- 讓我做的更好
- 讓我弄個你可能認識的形狀
- 假設我有個這樣的區域
- 假設它是個橢圓 對不對
- 這是我們的域
- 它是R2
- 大家來看這個面積
- 這個區域的面積 等於A
- 因此面積等於A
- 我有變換T
- 它是從R2到R2映射
- 並且T是定義好的
- 因此在域中T(x)等於
- 好了 我已經用過A了
- 因此它等於
- 矩陣B乘於域中的任意向量
- 這是這個區域在變換T下的圖像
- 這是我們的定義域
- 讓我們在上域裏面做
- 這是在變換矩陣B作用下的圖像
- 它看起來 或者是在T作用下的圖像
- 它看起來是這樣的
- 我不知道它具體什麽樣
- 但是假設它就是這樣
- 假設它就是這樣
- 也就是這兒的這個圖形
- 如果我們把它叫做集合
- 讓我把它叫做橢圓E
- 這就是整個東西
- 這是這個橢圓
- 這是橢圓變換後的圖像
- 在變換T作用下
- 如果對這個橢圓的每一個點
- 我要構造這個
- 或者我猜可能是
- 保持這個類比對這個例子有效
- 這個橢圓只是
- 這個邊界的集合
- 但是實際上它也可以進行變換
- 如果你把整個區域填滿
- 因此這個邊界
- 投影到這兒的這個邊界
- 但是這樣同樣有效
- 如果我們把這個區域填滿
- 因爲我也沒有嚴格地給大家證明
- 大家就“豎鍛地”接受一下吧
- 因此這就是這個邊界在變換下的圖像
- 在變換T作用下
- 如果這個區域由這個邊界圍繞
- 或者如果這個區域的面積是A
- 然後這個面積
- 橢圓變換後的圖像的面積等於
- 在變換T作用下
- 等於這個面積
- 原始面積 乘於
- 變換矩陣的行列式後的絕對值
- 如果你覺得豎鍛有點大
- 從一個任意的長方形
- 變換到這些更一般的形狀
- 你可以想象
- 因此T就是從這到這
- 畫這個箭頭總是很簡單
- 但是如果你覺得這個豎鍛有點大
- 從長方形到曲線
- 你可以想象這個形狀
- 是由一係列任意的長方形構成的
- 因此本質上你可以填滿這個空間
- 用一係列這樣的任意的長方形
- 你可以讓它們無限小
- 這樣你就能完全填滿這個空間
- 你可以完全用長方形填滿這個空間
- 如果你去映射
- 這每一個長方形 通過T變換
- 每一個這些長方形
- 可能是這樣的
- 可能它們看起來是這樣的
- 但是我不知道它們到底是什麽樣的
- 它們看起來是一係列平行四邊形
- 可能它們看起來是那樣的
- 我畫的不能那麽精準
- 它們是一係列平行四邊形
- 本質上它們可以填滿這個空間
- 因此這是一個辦法
- 你可以想象
- 從這些任意的長方形
- 到這些任意的曲線或者形狀或者區域
- 但是這是一個很巧妙的結果
- 這是了解行列式的一個很有趣的方法
- 變換矩陣的行列式
- 本質上是一個面積比例
- 從一個區域映射到另一個區域
- 或者是我們從一個區域
- 到這個區域變換後的圖像