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Linear Algebra: Determinant when row is added : The determinant when one matrix has a row that is the sum of the rows of other matrices (and every other term is identical in the 3 matrices)
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- 我們繼續跟行列式厮混吧
- 來看看我們能否得到一些有用的結論
- 它們現在可能看不出來有用
- 不過以後就會用到了
- 當我們在探索線代的其它部分時
- 我們說我們有某個矩陣
- 就叫矩陣X吧
- 矩陣X等於 我就從3×3的開始
- 因爲2×2的太簡單了
- 其實爲什麽我不就從2×2開始呢
- 我們說矩陣X是 [a,b；x1,x2]
- 本來可以成爲c和d的
- 不過你很快就知道爲什麽要用x1 x2來表示了
- 然後我有另一個矩陣
- 我們說矩陣Y和矩陣X是一樣的
- 除了這一行不一樣
- 那麽矩陣Y是 [a,b；y1,y2]
- 然後我們說我們有第三個矩陣Z
- 它跟前兩個矩陣是一樣的
- 第一行一樣 那麽a，b
- 但是第二行
- 實際上是X和Y中兩行的和
- 那麽就是 它的元素就是
- x1+y1 這裡這個元素是x2+y2
- 就像這樣
- 要很清楚 Z不是X+Y
- Z的所有項不是
- 所有X和Y的項的和
- 我只是專注於其中一行
- 你會不斷地看到
- 我會不斷重申這個主旨
- 上集我們看到
- 我猜在這集也有
- 行列式 或求出矩陣的行列式
- 在矩陣運算上不是線性的
- 不過如果你只對一行運算的話
- 那倒是是線性的
- 那麽在這個例子中 別的所有是不變的
- 除了這一行
- Z的第一行跟它們倆是一樣的
- 不過第二行是
- 這倆的第二行的和
- 那麽我們來探索 行列式是如何
- 把這些東東聯係起來的
- 那麽行列式――我們用X的顏色寫
- det(X)――我就這麽寫吧――是
- 等於ax2-bx1
- 你已經見過很多次了
- det(Y)等於ay2-by1
- det(Z)等於
- 等於 a(x2+y2)-b(x1+y1)
- 等於ax2+ay2
- 只是把a乘開了―― -bx1-by1
- 而如果我們整理一下這些東東 它等於。。。
- 我這麽寫吧
- 這個等於 ax2-bx1
- 這是這一項和這一項 我們換個顏色
- 那麽這是這兩個玩意
- 然後 +ay2-by1
- 那麽這個是什麽？
- 這個是 det(X)
- 這裡這個是 det(Y)
- 好的你得出了
- 如果我們有完全一樣的矩陣
- 除了一行之外
- 然後這個例子中 是一個2×2的矩陣
- 所以看起來像一般的矩陣――Z的
- 我們指的那一行不一樣的
- Z的是另外兩個那一行的和
- 然後 det(Z)等於
- 另外兩個行列式的和
- 這個是很特殊的情況
- 我要重申一下
- 它僅僅成立於這個情況：這一行
- 只有這一行是這行和這行的和
- 矩陣其余的部分是完全一樣的
- 我們看看3×3的例子
- 我想會更普遍一些
- 然後我們會擴展到n×n的矩陣
- n×n的矩陣實際上 某種程度上 是最容易做的
- 不過有點太抽象了
- 我把它留到最後講
- 那麽我們在3×3的矩陣中再來定義一下這些東西
- 我們說 X等於[a,b,c；…] 我們只是做
- 我們把第三行來
- 求行列式 [a,b,c；d,e,f；…]
- 其實不如用第二行
- 因爲我不想讓你們覺得
- 它一定要是最後一行
- 我們說是 x1,x2,x3 然後d,e,f
- 那麽det(X)是什麽？
- det(X)將等於
- 我們說沿著這一行做
- 這個是問題中的那一行
- 這個等於
- 呃 你記得棋盤圖的
- 那麽這個等於――記住
- 是 + - + - +
- 你記得所有剩下的這些是怎樣排列的
- 那麽這個從-x1開始
- 乘以它的子矩陣――你擦掉這一列
- 這一行――|b,c；e,f|
- 然後你得到 +x2乘以它的子矩陣
- 擦掉這一列這一行――|a,c；d,f|
- 然後最後是 -x3
- 擦掉這一行和這列――得到|a,b；d,e|
- 現在我們定義另一個矩陣Y
- 和矩陣X一樣 除了那一行
- 那麽是 a,b,c
- 然後下來是 d,e,f
- 中間是不一樣的
- 是y1,y2,y3
- 那麽det(Y)是什麽？
- Y的行列式？
- 呃 它將等於
- X的行列式
- 因爲所有的子矩陣是一樣的
- 當你擦掉這一行和分別擦掉這些列
- 不過係數是不一樣的
- 不是x1 而是y1
- 那麽它等於 -y1 乘以
- |b,c；e,f| 加上 y2
- 乘以 |a,c；d,f|
- 減去 y3<i>|a,b；de|</i>
- 我想你知道後面是怎樣的了
- 現在我要建立另一個矩陣
- 建立新的矩陣Z 就像這樣
- 它等於――它跟前面兩個矩陣
- 第一 三行一樣[a,b,c；…；d,e,f]
- 就像這樣
- 不過這一行剛好是
- 這行和這行的和
- 當我們求它的行列式時
- 我們沿著這行
- 然後你就知道了
- 那麽這裡這行是x1+y1
- 這是第一項
- x2+y2 然後是x3+y3
- 現在 det(Z)等於什麽？
- 呃 我們可以沿著這一行
- 那麽它等於 -(x1+y1)
- 乘以它的子矩陣 擦掉這一行和這一列
- 得到 |b,c；e,f|
- 我想你肯定看出來後面是什麽了
- 加上這個係數
- 加上 (x2+y2)乘以它的子矩陣
- 擦掉那一行那一列 |a,c；d,f|
- 然後你得到負的這個東東
- x3+y3 乘以它的子矩陣
- 擦掉這一列這一行 |a,b；d,e|
- 那麽這裡得到什麽？
- 這個是det(Z)
- 這裡這個是det(Z)
- 就是這個
- 我想你馬上可以看出
- 如果你把這個加上這個
- 就得到這個了 對吧？
- 因爲你的係數是這個
- 而這個係數在這裡
- 如果你把它們加起來 得到 -(x1+y1)
- 這個東東和這個東東加起來是這個
- 然後如果我要把這個和這個加起來
- 得到那個
- 我再做一項
- 然後最後這項加這項
- 等於那一項
- 所以你馬上看出來這個行列式
- 或者希望你馬上看出來
- 這個det(X)+det(Y)
- 等於det(Z)
- 那麽我們在2×2的例子中做過了
- 然後3×3的也做了
- n×n的也要做
- 然後我們就知道它可行了
- 不過這個結論跟3×3的是一樣的
- 所以最好先記著
- 因爲3×3很直觀
- n×n的有時候有點抽象
- 那麽我們重新定義一下我的矩陣們
- 我要做的是相同的事
- 那麽我有一個矩陣X
- 不過是一個n×n的矩陣
- 那麽我這麽寫
- 我們說它是 a11 a12 一直到a1n
- 然後這裡某行 我們說
- 某第i行
- 我們稱作行i這裡
- 然後它的項是x1 x2 一直到xn
- 不過其它所有的都是常規的a
- 那麽你有a 我們成爲a21
- 一直到a2n
- 然後如果你一直往下走
- 你會得到an1 然後一直到ann
- 所以本質上你可以想象一下我們的標準矩陣
- 所有都定義爲a 不過我換掉了第i行
- 用具體的數字 可能有點不同
- 我想你會看到我要做什麽
- 現在我們定義另一個矩陣
- 我們說是矩陣Y
- 我們定義矩陣Y基本上是一樣的
- 這個是a11 一樣的a11
- 這是a12 一直到a1n
- 這是a21 一直到a2n
- 然後在第i行 同一行 這個n×n的矩陣
- 這個同樣的n×n的矩陣
- 如果這是10×10的
- 如果這是第7行 那麽這就是第7行
- 它有不同的項 和矩陣X是一樣的
- 除了第i行
- 在第i行中是y1 y2 一直到yn
- 而如果你一直往下去 當然 你會得到an1
- 一直到ann
- 很簡單吧
- 現在我們說 我們有第三個矩陣
- 我們有第三個矩陣
- 我畫在這裡
- 那麽你有Z Z等於
- 我想你可以詳細那個這是什麽了
- Z跟著兩個東東比除了第i行外都是一樣的
- 那麽我寫下來
- 那麽Z長這樣
- 你有a11 a12 一直到a1n
- 然後往下到第i行 剛好是
- 矩陣X和Y第i行的和
- 那麽x1+y1 x2+y2
- 一直到xn+yn
- 然後你繼續往下
- 所有的都是一樣的 an1一直到ann
- 那麽這些矩陣都是相同的除了
- 矩陣X和矩陣Y的第i行不一樣
- 然後矩陣Z也是相同的 除了第i行是
- 這個第i行和這個第i行的和
- 那麽這個是很特殊的情況
- 不過我們可以求出它們的行列式是什麽
- 那麽它們的行列式是什麽？
- det(X) X的行列式
- 希望你們有點習慣了
- 寫這個求和符號
- 因爲我們在上個矩陣中用過
- 我們可以用這行來做
- 對於這些每一個 我們可以說
- 這個行列式會等於它們的和
- 我們說從j=1開始
- j代表列
- 那麽我們把
- 這些所有項從j=1到n都加起來
- 然後記得我們的棋盤圖
- 那麽我們不知道這是正的還是負的
- 我們可以算出來
- 用 (-1)^(i+j)
- 記得 我們說的這個是第i行
- 乘以xj――xj是係數 x下標j
- 乘以這個xj的子矩陣
- 如果你消掉這個東東的行
- 和它的列 剩下什麽？
- 我們可以說
- 跟這個子矩陣是一樣的
- 我們稱這個東東――我這麽寫吧
- 如果我們消掉這個東東的行列
- 如果我們只剩標準的矩陣
- 沒有替換過的
- 如果我們這裡就是ai1 ai2
- 它的子矩陣就都是一樣的
- 因爲我們擦掉了這一行和這一列
- 那麽這就是所有這些東西 和所有
- 下面的這些東西
- 那麽這個就是子矩陣了
- 這是個 (n-1)×(n-1)的矩陣
- 這是aij的子矩陣
- 這個是第一項――不好意思 是這個行列式
- 不要丟掉這個行列式
- 乘以aij的子矩陣的行列式
- 而那麽這個是第一項
- 然後你把它加到第二項上
- 然後一直這麽做下去
- 這就是求和符號的意義
- 然後這就是det(X)
- 那麽det(Y)是什麽？
- det(Y)等於
- 我們做的是同樣的事
- j=1到n (-1)^(i+j)
- 我們要沿著這一行做 第i行
- 那麽我們有 y下標j
- 對的 我們從y1開始
- 然後 +y2乘以它的子矩陣的行列式
- 跟這個子矩陣行列式是一樣的
- 那麽你消掉了那一行和那一列
- 對於這裡每一個東東
- 矩陣的其它部分都是一樣的 那麽是aij
- 矩陣Aij
- 現在 det(Z)是什麽？
- 我很確定你們很清楚這意味著什麽
- 這個行列式 這裡應該是大寫Y
- det(Z)等於
- 求和 j=1到n (-1)^(i+j)
- 我們沿著這一行
- 不過現在係數是xj
- 這個是我們指出的 xj+yj
- 然後乘以它的子矩陣
- 跟這些子矩陣是一樣的
- 那麽Aij 你可能馬上就看出
- 是這兩個東東的和
- 如果我 對於每一個j 我只是把這些加起來
- 你就得到兩個係數
- 你得到這個係數和那個係數
- 在aij項上
- 然後把它加起來
- 然後把這個東東提出來
- 然後就得到這個了
- 那麽你的出了det(X)
- 加上det(Y)等於
- Z的行列式
- 那麽希望這個給你們展現了普遍情況
- 不過我要說清楚
- 這個只是一個很特殊的情況
- 其中矩陣們都是一樣的
- 除了某一行以外
- 而其中一個矩陣的那一行
- 剛好是另兩個矩陣的
- 那一行的和
- 其它全部都是相同的
- 只有這個時候det(Z)
- 不是只有這個時候 不過
- 這個是唯一的時刻 我們可以得出一般結論
- 其中det(Z)等於
- det(X)加det(Y)
- 這個不是――我寫下來什麽不是
- 這個不是Z=X+Y
- 這個不是 det(Z)
- 一定要等於det(X)加上
- Y的行列式
- 你不能假設它
- 行列式變換在矩陣加法上不是線性的
- 它們是線性的 僅當某一行滿足上述條件
- 無論如何 希望你能覺得這有用