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Linear Algebra: Determinant when row multiplied by scalar : The determinant when a row is multiplied by a scalar
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- 我們來探索一下行列式
- 當你用一個純量乘它的時候會發生什麽
- 那麽我們說 我們想要求出這個矩陣的行列式
- 矩陣 [a,b；c,d]
- 根據這裡的行列式的定義
- 它等於 ad-bc
- 或者 cb 隨便一種 ad-bc
- 這個是它的行列式
- 現在 如果我們要用其中一行
- 乘一個係數呢？
- 我們說 我們用k來乘
- 那麽我們有 a和b
- 我們把第二行乘以k
- 就得到 kc 和 kd
- 那麽它的行列式是什麽？
- 我們得到 a<i>kd</i>
- 或者我們就寫成 kad-kc<i>b</i>
- 或者可以寫成kbc
- 如果我們提出k
- 我們得到 k<i>(ad-bc)</i>
- 那麽你馬上可以看到 這個東西
- 跟這個是一樣的
- 那麽這個等於k倍的
- 行列式 |a,b；c,d|
- 那麽當你只是用一行乘以一個係數
- 僅僅一行 不是整個矩陣
- 當你僅僅用一行來乘上一個係數
- 得到的行列式是
- 原來的的行列式乘以那個係數
- 現在你可能說 呃 那如果
- 我把整個矩陣乘以那個係數會發生什麽？
- 呃 這個等價於把一個係數乘兩次
- 我們說有一個矩陣A
- 然後矩陣A等於[a,b；c,d]
- 如果我想要得到矩陣kA
- 那麽我就不僅僅是乘以一行了
- 我要用係數乘以整個矩陣
- 這個等於 [ka,kb；kc,kd]
- 當你要求它的行列式時
- det(kA)等於
- 行列式 |ka,kb；kc,kd|
- 這裡你馬上會得到
- k平方項
- 你會得到 k2<i>ad</i>
- 這個等於
- k2<i>ad 減 k2<i>bc</i></i>
- 或者 k2<i>(ad-bc)</i>
- 或者 k2<i>det(A)</i>
- 這裡你要很小心
- 這個僅適用於2×2的矩陣
- 你會發現 如果這是n×n的矩陣的話
- 那麽就是 k的n次方了
- 那麽有用的是 唯一你能說
- 這個將等於某個係數乘以
- 你原始的行列式 的時候是
- 僅當你用係數乘以其中一行的時候
- 而不是乘以整個矩陣
- 我們看看擴展到3×3的矩陣裏是什麽情況
- 你可能說 嘿Sal 你只挑了第二行
- 如果是第一行也行得通嗎？
- 我把這個問題留給你們 不過它的確行得通
- 它的確行得通
- 這個跟乘哪一行是沒有關係的
- 我們看看3×3的例子
- 我們說 有一個矩陣
- 還叫它矩陣A吧
- 重新定義一下矩陣A
- 它等於[a,b,c；d,e,f；g,h,i]
- 然後你用它的行列式
- det(A)等於――
- 我們可以用很多不同的方式做
- 不過我就隨便選一個吧
- 因爲這一行是我們要
- 用係數乘的
- 所以我們就用這一行吧
- 記得加減號的規律
- 記得 + - + - + - +
- - + 那個棋盤圖的規律
- 那麽d是-號
- 那麽這個等於-d乘以
- 它的子矩陣的行列式
- 那麽你擦掉這一列和這一行
- 就剩下 [b,c；h,i]
- 這個等於 +e 乘子矩陣 [a,c；g,i]
- 這個等於-f乘以――
- 你忽略掉那一行和那一列――
- |d,e；g,h| 行列式|d,e；g,h|
- 這個就是det(A)
- 現在如果我們定義一個新的矩陣呢？
- 我們叫它A'
- 我們把它卷下來一點點
- 我們在這定義A'
- A' 我們只是把這一行乘上一個係數
- 這個等於[a,b,c；kd,ke,kf；…]
- 我沒有乘整個矩陣
- 所以我們不能說它是kA
- 我只是乘了其中一行
- 然後我們有g，h和i
- 那麽det(A')是什麽？
- 我把A'放在這
- 那麽這個和A不同 不過它是A衍生出來的
- 我只是用A的一行成了這個係數
- 呃 我可以沿著跟上面這裡同樣的一行來做
- 我可以沿著同一行
- 唯一的不同是這裡不是d
- 而現在是kd
- 這裡不是e 而是ke
- 這裡不是d 我們這裡是kd
- 這裡不是e 而是ke
- 那麽它是這個完全一樣的東西
- 但是我可以替換掉這個東東 這個 和這個
- 然後用k來乘
- 那麽這個等於-kd乘以
- 子矩陣[b,c；h,i]的行列式――
- 我甚至沒有仔細看這裡 因爲
- 這個是跟上面這裡一樣的
- 加上ke<i>|a,c；g,i|</i>
- 加上 -kf<i>|d,e；g,h|</i>
- 它等於什麽？
- 這個等於 如果你把k提出來
- 這個等於k乘以這個
- 那麽這個等於 k<i>det(A)</i>
- 那麽我們的結果對於3×3的矩陣也成立
- 我只是剛好選擇了中間這行
- 不過我鼓勵你們試試別的行
- 看看會發生什麽
- 那麽我們來看一看一般情況
- 因爲我一直都在給你們具體的例子
- 然後現在我要給你們看看普遍性的證明
- 況且這個證明不難
- 那麽我們說 我有一個n×n的矩陣
- 我們說有一個矩陣A
- 我們說A是n×n的矩陣
- 你可以這麽寫
- 這個是第一行
- 這個第一列 a11 a12 一直到a1n
- 我要在這隨便挑一行
- 來乘以一個係數
- 那麽我們可以從這裡開始
- 我們說 ai行 那麽這是ai1 ai2
- 一直到ain
- 這個是我要用的某一行
- 來算行列式
- 記住 我們可以用任意一行來算行列式
- 最後你繼續這麽走下去
- 你得到an1 an2 一直到ann
- 這個是n×n矩陣中你能設立的最一般的情況了
- 現在 我們來求它的行列式
- 那麽 det(A)
- 我沿著這一行下去
- 那麽det(A)等於什麽？
- 呃 我們要牢記棋盤圖
- 我不知道我們在棋盤圖的哪個位置
- 因爲我只是隨意挑了一行
- 但是我們可以用一般公式 其中
- 符號是由(-1)^i――
- 我不知道i是偶數還是奇數――
- 那麽這個情況下就是(i+1)次方
- 符號就是這個
- 這個是根據棋盤圖來的
- 我說清楚一點
- 這個看起來很複雜 其實就是棋盤圖罷了
- 乘以這一項 那麽就是乘以ai
- 那麽就是係數ai1
- 然後乘以這個東東的子矩陣
- 你記得子矩陣是什麽的
- 你消掉這一行和這一列 然後剩下
- 所有的就是了
- 那麽乘以ai1的子矩陣
- 然後這個加上――我們保持這麽做――
- 加上(-1)^(i+2)<i>ai2</i>
- 它的子矩陣――一直到 你一直這麽做
- 加上 (-1)^(i+n)<i>ai</i>
- 到了第n列 然後是它的子矩陣
- 這個是 (n-1)×(n-1)矩陣
- 所有的都是
- 就像這樣 這個就是det(A)
- 我們實際上可以用求和符號來寫
- 會簡化一點點
- 那麽 det(A)可以寫成
- 求和從――j=1到j
- 我這裡分開寫
- j=n 的 (-1)^(i+j)<i>aij</i>
- 然後每個子矩陣 Aij
- 這個東東只是
- 這個東東的另一種寫法
- 我只是說這個求和
- 你使 j=1 放在這裡
- 然後得到這一項
- 然後j=2 加上去
- 就得到這一項
- 一直這麽做
- 你就得到j=n
- 然後把那一項放在這裡
- 那麽這兩個東東就一樣了
- 那麽對新矩陣會發生什麽
- 我把現在的矩陣複製粘貼一下
- 複製粘貼一下
- 實際上 我複製粘貼所有的
- 這樣講起來比較快
- 我複製好了
- 然後粘貼到這裡這樣
- 讓我重新定義一下矩陣A'
- 這個仍舊是n×n的矩陣
- 不過我只是剛好挑到這一行
- 來算行列式
- 我要用它乘以係數k
- 那就有 kai1 kai2 kain 像這樣
- 那麽det(A')是什麽？
- 呃 我們就再沿著這行走
- 不過現在就不僅是ai1了 而是kai1
- 不是ai2 是kai2
- 不是ain 是kain
- 那麽行列式就是跟這個一樣的
- 不過不是用aij
- 而是全部換成kaij
- 那麽這個就是det(A')了
- 我們可以提出這個常數
- 它不含i或j
- 尤其是我這個沒有j
- 那麽就把它拎出來
- 那麽 這個等於k乘以 求和從
- j=1 到
- j=n (-1)^(i+j)<i>aij</i>
- 這個是係數
- 這個是這些係數的子矩陣
- 係數aij們
- 這裡這個一個矩陣
- 一個(n-1)×(n-1)的矩陣
- 然後你會想到――
- 我想你知道這個是什麽了――
- 這裡這個就是det(A)
- 那麽我們得到了結果 det(A')
- 等於k<i>det(A)</i>
- 我們剛展示了一般情況
- 如果你有一個n×n的矩陣
- 如果你僅僅乘了一行
- 而不是整個矩陣
- 僅僅用一行乘以一個係數k
- 得到的行列式是
- k倍的原始行列式
- 現在我在原來的影片裏提到了這個
- det(kA)是什麽？
- 那麽我們用k乘每一行
- 或者另一種說法是
- 你用n行來乘k
- 那麽你就等於說把以上步驟重覆了n次
- 那麽如果你用k乘自己n次
- 得到什麽？
- 你得到k^n
- 那麽這個就等於k^n
- 乘以det(A)
- 如果你只做一次
- 你就得到k<i>det(A)</i>
- 現在如果你用另一行再做一次 你會得到
- k<i>k<i>det(A)</i></i>
- 如果你再用一行做一次 你會得到
- k^3<i>det(A)</i>
- 第四行 k^4
- 行列式A
- 如果你把所有的行都乘了 你最後
- 就得到k^n<i>det(A)</i>
- 無論如何 希望你覺得它有趣
- 我鼓勵你們用別的方法去嘗試
- 試試沿著一列來算會發生什麽