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Linear Algebra: dim(V) + dim(orthogonoal complelent of V)=n : Showing that if V is a subspace of Rn, then dim(V) + dim(V's orthogonal complement) = n
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- 比如說我有一個Rn中的次空間記爲V
- 那麽V就是Rn中的次空間
- 假如我知道它的基
- 我們來看看這個集合
- 我有一串――
- 我把這個大括號畫得好看一點兒――
- 那麽我們說向量v1 v2
- 直到vk構成的集合 我們說這個等於――
- 這是V的基
- 提示一下 這就是說這些向量
- 張成了V 並且是線性獨立的
- 你可以發現這兒有一個極小向量集合
- 在Rn中張成V
- 所以 如果我要問你V的維數是多少
- 這就是
- 次空間的基中向量的個數
- 所以我們有1 2 數到k 共k個向量
- 所以等於k
- 現在 我們來想一想 如果我們可以算出
- V的正交補的維數
- 爲了算出這個 我們來構造一個矩陣
- 我們來構造一個矩陣 它的行向量
- 是這些基向量
- 那麽我們構造矩陣A
- 它看起來就像這樣
- 第一列是v1
- 這是第一個基向量
- 而v2是第二個 然後直到vk
- 爲了確保我們記住維數
- 我們有k個向量
- 所以有k列
- 那麽我們有多少行？
- 好 作爲Rn中的向量 這些
- 有n個分量在每個向量中
- 這兒就是n――
- 我們就有n行k列
- 這是一個n×k矩陣
- 現在 另一種表示次空間V的方法是什麽？
- 好 V的基是――
- 或V是由這些基向量張成的
- 就是這些的列
- 所以如果討論張成的空間――我寫下來――
- 次空間V就是由這些v1 v2
- 直到vk張成的空間
- 這和A的列空間相同
- 對吧？ 這些是行向量 而它們張成的空間
- 就是A的列空間
- 現在 剛才我說過 我們想要得到某種
- 和V的正交補的關係
- 好 那麽
- A的列空間的正交補是什麽？
- 矩陣A的列空間的正交補
- 我講過――我想是在2或3個影片之前――
- 矩陣A的列空間的正交補
- 等於――
- 你可以把它看作是A的轉置的零核空間
- 或稱之爲A的左零核空間
- 這就是
- 矩陣A的列空間的正交補
- 這個也就是
- 因爲這裡的這個
- 和V相同 你取它的正交補
- 這就是V的正交補
- 所以如果我們要算出
- 正交補――
- 如果我們要算出維數――
- 如果我們要算出
- V的正交補的維數
- 我們就需要算出
- 矩陣A的左零核空間的維數
- 或者是A的轉置的零核空間
- 我寫下來
- 那麽維數―― 有時有點兒結結巴巴的――
- 矩陣V的正交補的維數
- 就是A的轉置的維數
- 或者另一種考慮它的辦法是――
- 對不起 不是A轉置的維數
- 而是A的轉置的零核空間的維數
- 如果你記憶力好的話
- 我不想總用這個詞
- 這是零度――
- 這是A轉置的零度
- 零核空間的維數就是零度
- 列空間的維數是秩
- 現在來看看我們能做什麽
- 那麽我們取A的轉置
- 你可以花點兒時間想象一下A的轉置
- 我可以把它畫出來
- 這是一個看起來像這樣的k×n矩陣
- 這些列變成行
- 這是v1轉置 v2轉置
- 直到vk轉置
- 這些現在都是行向量
- 所以我們知道一件事情
- 我們知道任何矩陣的秩
- 和零度之間的關係
- 我們知道它們等於
- 行向量的個數
- 我們知道A轉置的秩
- 加上A轉置的零度等於
- 矩陣A轉置的列數
- 我們有n列
- 每個都有n個分量
- 這個等於n
- 我們剛才看過這個
- 而如果你要一點兒提示的話
- 關於它怎麽得出來的 當你取一個――
- 如果我將A轉置寫成一串行向量
- 我可以 或者可能我取某個其它的向量B
- 因爲我要提醒你這個
- 爲什麽這個成立
- 如果我取某個矩陣B
- 它有一串行向量
- 即b1 b2直到bn
- 我將它化爲行簡化階梯形
- 你就有一些
- 主列和一些非主列
- 那麽我們就說這是一個主列
- 你知道 我有一個1和一串0
- 這是其中之一
- 然後一個接一個地寫出來
- 這兒是0 下面是一個1
- 其它所有的都是非主列
- 我在上一個影片裏講過了
- 列空間的基數是
- 主列的個數
- 所以這些就是主列
- 對應的行向量
- 形成了列空間的基
- 我在上一個影片裏講過了
- 所以 如果你想要知道
- 列空間的維數
- 你僅需數一數這些東西
- 你僅需數一數這些東西就行了
- 這個等於 好
- 對於這個B B的秩等於
- 主列的個數
- 現在零度是零核空間的維數
- 我們已經作過許多這種問題了
- 通過這些問題 我們找到了矩陣的零核空間
- 而每次 維數 這很明顯
- 我實際上證明了這個
- 它和自由列的個數有關
- 或是說非主列
- 所以 如果你沒有主列 那麽你――
- 如果所有的列都是主列
- 而且沒有自由變量
- 或是與自由變量有關
- 那麽你的零核空間就是平凡的
- 就是0向量
- 而自由變量越多
- 零核空間的維數就越大
- 所以自由列就對應於零核空間
- 而它們形成了零核空間的基
- 因爲這一點
- 零核空間的基
- 加上列空間的基
- 就是總共的列數
- 我以前提過這一點
- 但提醒我們一下
- 怎麽得出這個的是有益的
- 但這只是一方面
- 這兒還有一個B
- 提醒一下自己
- 這個的出處
- 現在 在上一個影片裏
- 我講了A轉置的秩
- 和A的秩相同
- 這個等於 這個部分
- 和A的秩相同
- 我在上一個影片裏講過了
- 你將一個矩陣轉置 它的秩不變
- 或者它的列空間的維數不變
- 將這個結論重寫成 這裡
- 爲A的秩加上A的轉置的零度
- 是n
- 而A的秩就是
- 矩陣A的列空間的維數
- 然後A轉置的零度就是
- 矩陣A的零核空間的維數――
- 這就是零度的定義――
- 它們等於n
- 現在維數――A的列空間是什麽？
- 矩陣A的列空間
- 就是由這些向量張成的空間
- 就是V的基
- 所以這個就是V的維數
- 矩陣A的列空間的維數就是
- 次空間V的維數
- 這一點我在上一個影片裏說過
- 那麽A轉置的零核空間是什麽？
- 矩陣A轉置的零核空間 我們已經知道了
- 是V的正交補
- 所以我可以將它寫成加上
- 次空間V的正交補的維數等於n
- 這就是我們想要得到的結果
- 如果V是Rn的次空間
- 這個n就是這個n
- 那麽次空間V的維數加上
- 次空間V的正交補的維數
- 就等於n