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Linear Algebra: Duplicate Row Determinant : Determinant of a matrix with duplicate rows
相關課程
- 這有一個n×n的矩陣a
- 它看起來是這樣的
- 你之前也看過 a11 a12
- 一直到a1n
- 當你往下一行看時 你會得到a21
- 一直到a2n
- 一直到這一行 我們把它叫做第i行
- 它對應的就是ai1 一直到ain
- 接著到另外這一行 叫做第j行
- 對應的元素是從aj1一直到ajn
- 最後到第n行
- 其對應的元素從an1一直到ann
- 這只是一個n×n矩陣 你可以看到
- 這樣寫起來就已經有點麻煩了
- 必須把這的第i行和第j行都寫出來
- 我現在想把它稍微簡化一下
- 讓我來用些符號去定義這些東西
- 如果你喜歡的話 你可以把它們看成行向量
- 但是我還沒有正式的去定義行向量
- 因此我們沒必要去那樣做
- 但是我們可以定義向量ri
- 讓ri等於
- ai1 ai2 一直到ain
- 如果你喜歡的話
- 可以寫成一個行向量
- 實際上我們還沒有那樣處理過行向量
- 但是我想大家應該明白
- 我們可以把這個替換成r1
- 這個替換成r2 一直到rn
- 讓我們這樣來做
- 在以後的影片中 我們都這樣來做
- 因爲這樣做起來很簡單
- 並且我認爲這樣更加方便我們理解
- 因此我來重寫這個矩陣
- 這個n×n矩陣a
- 我可以把它寫成ri這種形式
- 實際上 這樣看起來像一個向量
- 它只是一個行向量
- 讓我們把它寫成這個向量一樣
- 這裡我可以簡寫了
- 因爲所有向量都被定義成行向量
- 但是我認爲大家應該明白
- 因此我們把這個叫做r1 下一行是r2
- 一直這樣做下去
- 你這樣做下去 到了第i行
- 我們把這行就叫做ri
- 繼續做下去 你會得到rj
- 一直到rn
- 並且它們每個都有n個元素
- 因爲你有n列
- 這是另外一種
- 寫這個n×n矩陣的方法
- 現在我要做的就是
- 創造一個新矩陣
- 就叫做交換矩陣\N【譯者注：基本矩陣的一種】
- 把原矩陣的i j行互換後的矩陣
- 因此我要交換第i行和第j行 這兩行
- 那麽交換之後矩陣變成什麽樣了
- 其它行都不變
- 我們有第一行
- 假設i和j都不等於1
- 那接下來就是
- 第2行 一直做下去
- 現在除了第i行和第j行 你做下去
- 除了第j行你在這還有第i行
- 一直這樣 最後你會得到rn
- 我們應該怎麽做呢？
- 我們只是換了那兩行
- 這就是交換後的矩陣
- 我想我們在上一集影片
- 或者是在之前的影片裏
- 就知道如果你交換任意一個n×n矩陣的兩行
- 這個變換後的矩陣的行列式
- 等於負的原矩陣的行列式
- 因此我們得到S的行列式
- 交換第i行和第j行後
- 矩陣的行列式等於
- 負的a的行列式
- 現在 讓我來問大家一個有趣的問題
- 如果那兩行是相同的結果又怎樣呢？
- 倘若ri=rj 結果又怎樣呢
- 如果我們回到這個矩陣上
- 如果那行等於這行
- 那也就是說這個等於那個
- 第二列
- 這一行的第二列一直到第n列上的數
- 都是等於那一行對應的數
- 這就是我說這兩列相等的
- 具體意思
- 好了 如果那兩行彼此相等
- 那麽這個矩陣和這個矩陣就沒有任何區別
- 盡管我們交換了其中兩行
- 如果你交整流等的兩行
- 那麽你得到的將會是相同的兩個矩陣
- 因此 讓我寫在這
- 如果第i行等於第j行 那麽這個S
- 交換兩行後的矩陣 就會等於矩陣A
- 它們是相等的
- 你交換的是相等的兩行
- 這就是說交換後的矩陣的行列式
- 等於原矩陣a的行列式
- 但是我們剛才說過 如果這個交換矩陣
- 如果交換矩陣的兩行
- 交換後的矩陣的行列式等於負的a的行列式
- 因此這個就告訴大家這個它也等於
- 負的a的行列式
- 那麽這個究竟是什麽意思呢？
- 這告訴我們
- 如果矩陣a有相等的兩行
- 交換這兩行
- 我們知道新矩陣行列式等於-|A|
- 但是如果這兩行是相等的
- 我們又知道交換後的矩陣和原矩陣是相同的
- 因此a如果有相等的兩行
- 假設第i行等於第j行
- 那麽a的行列式
- 等於-|a|
- 我們知道因爲|a|
- 或者因爲交整流同兩行後的新矩陣和a相同
- 並且交換後的矩陣的行列式等於-|a|
- 因此這倆個必須相等
- 那麽什麽數
- 等於負的這個數呢？
- 如果我告訴你x=-x
- 那麽x等於什麽？
- 這只有一個數
- 滿足這個條件
- X必須等於0
- 因此這個結論就是
- 如果一個矩陣有相同的兩行
- 你也可以擴展到3行或者4行都是相同的
- 你會得到這樣的結果
- 這個矩陣的行列式爲0
- 真的不要驚訝
- 因爲如果一個矩陣有相同的行
- 回憶我們很久前學過的知識
- 我們知道一個矩陣是可逆的
- 若且唯若進行行變換簡化後的矩陣
- 等於單位方陣
- 我們知道這個
- 但是如果一個矩陣有相同的兩行
- 假設這兩個互相相等
- 你可以進行一個行變換
- 就是把這一行減去那一行
- 最後這行的元素就都爲0
- 如果你有一行全爲0
- 那麽這個矩陣就不可能化成單位方陣
- 因此我們就知道一個矩陣有相同的行
- 那麽這個矩陣不可能通過行變換化成單位方陣
- 或者說有相同行的矩陣是不可逆的
- 並且我們也知道如果一個矩陣不可逆
- 若且唯若它的行列式等於0
- 現在用兩種不同的方法得到相同的結果
- 一種 我們用我們學過的一些東西
- 當你交換兩行時
- 行列式變號
- 但是如果你交整流同的兩行
- 並不改變矩陣
- 因此矩陣的行列式
- 也不改變
- 因此如果一個矩陣有相同的行
- 那麽它的行列式爲0
- 另外一種方法不是這樣的
- 不是通過矩陣行之間的互換這種技巧來
- 而從可逆的條件下手
- 去得到結果
- 我想這是5 6個影片前的內容
- 但是我就是想把這個東西再說一下
- 如果一個矩陣有相同的行
- 或者說有相同的列
- 我讓大家思考一下
- 如果一個矩陣有相同的行或者是相同的列
- 或者甚至某些行是
- 其它一些行的線性組合
- 我在這沒有告訴大家結果
- 大家也應該知道這個矩陣的行列式等於0
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