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Linear Algebra: Eigenvalues of a 3x3 matrix : Determining the eigenvalues of a 3x3 matrix
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- 我們計算出了一個2×2矩陣的特征值
- 來看一下是否可以算出一個3×3矩陣的
- 特征值
- 我想我們做的這個問題有點
- 複雜就因爲數學問題變長了
- λ是A的一個特征值
- 根據定義 若且唯若 我把它這麽寫
- 若且唯若A乘以某個非零向量v等於
- λ乘以那個非零向量v
- 我來寫它 對於某個非零
- 我可以稱它特征向量v 但是我就稱它
- 對於某個非零向量v或者某個非零v
- 現在這個是成立的若且唯若這個導致
- 我這麽寫
- 這個成立若且唯若
- 這是一點點複習
- 但是我想複習一下它
- 就因爲當你在10年後再做這個問題
- 我不奢望你能記住公式
- 我希望你能記住做這個問題的邏輯方法
- 所以這是成立的若且唯若
- 我們就在兩邊減去Av
- 0向量等於λ
- 不寫成λv
- 我將寫成λ乘以
- 單位方陣乘以v
- 這是一樣的
- 單位陣乘以v還是v
- 減去Av
- 我就在兩邊都減去Av
- 重新把v寫成單位方陣乘以v
- 這個成立若且唯若0向量
- 等於λ
- 乘以單位方陣減Av
- 我提取向量v
- 從右手邊這兩項中
- 就剩下某個矩陣乘上v
- 這個成立 我在這上面寫
- 這個等式所處的形式你可以識別出來
- λ乘以單位陣乘以A
- 這就是某個向量
- 這個向量乘以v必須等於0
- 對於某個非零向量
- 那就意味著這個矩陣的零核空間
- 必須是非平凡的
- 換個思路 它是
- 它的列不是線性獨立的
- 再換個思路它不是可逆的
- 或者它的行列式是0
- 所以λ是A的特征值 若且唯若
- 各自的這些步都成立
- 這是成立的若且唯若
- 對於某個非零向量
- 若且唯若 行列式λ乘以
- 單位陣減去A等於0
- 這是一個很重要的結論
- 我想是兩三次影片之前的結論
- 我們現在把它應用到3×3矩陣A上
- 我們將用3<i>3矩陣</i>
- 因此我們想要關心
- λ乘以單位陣就將是
- 乘以3×3單位陣就將是
- 這是 我把這個寫下來
- 這是λ乘以單位陣在R3中
- 因此它將是λ λ λ
- 其它地方都是0
- 單位陣對角上都是1
- 因此對角就會是非零的
- 當你把它乘上λ
- 其它位置就是0
- 這就是單位陣乘以λ
- 因此λ乘以單位陣減A
- 就等於
- 它實際上很直接
- 所有沿著對角線上的分量
- 就是λ減去
- 我們就這麽做
- λ減-1 我們做對角
- λ減-1就是λ加1
- 然後0減2 我用不同顏色表示
- 0減2是-2
- 0減2是-2
- 0減2是-2
- 我們再做這個
- 0減是-2
- 0加或者減-1 即0加1 就是1
- 我們再做這個
- 0減-1
- 就是1
- 我完成一下對角
- 然後就有λ-2
- 然後就有λ-2
- 因此λ是A的特征值若且唯若
- 這個矩陣的行列式等於0
- 我們來算一下它的行列式
- 最簡單的方法 至少我會做的方法
- 是利用Sarrus法則
- 我們用Sarrus法則來計算這個行列式
- 我就重寫一下這些列
- 我就做簡單的複製粘貼
- 我就去那兩行
- 然後我把它粘在這
- 它離這個有點近了
- 我想你們已經明白了
- 現在Sarrus法則我就做這個乘積加上
- 這個乘積加上這個乘積 然後我減掉
- 這個乘積乘這個乘積乘這個乘積
- 我們再往下做
- 這個乘積是λ+1
- 乘以λ=2乘以λ-2
- 就是這一條線
- 然後加上 我們看一下 -2乘以-2
- 就是+4
- 然後我們有-2乘以-2加上4乘以1
- 又是+4
- 然後減去這一列乘上這一列再乘去這一列
- 減去這一列減去這一列然後
- 我不應該說列 應該說對角
- 我們說-2乘-2
- 我這樣寫
- -2乘-2是4
- 乘以λ-2
- 就是這個對角
- 然後我們有減去 這是什麽
- 就是-1乘λ+1
- 就是-(λ+1)
- 然後再走這個對角
- -2乘以-2是4
- 因此它是4乘以λ-2
- 我們在減
- -4乘以λ-2
- 我們來看看能不能把這個簡化
- 這個藍色的部分 我們看看
- 這些就是8 然後這個是
- 這個就是λ+1
- 乘上 如果我把這兩項乘開
- λ2減4λ
- -2λ和-2λ
- 就是-4λ
- 加上4
- 然後加8
- 然後我有 我們來看看
- 我有-4λ
- 我把所有這些都乘開
- 所以我有-4λ+8-λ
- -1-4λ 加8
- 然後我把它進一步簡化
- 這一項 我們來看看
- 常量項 有一個8 一個-1
- 一個8 一個8
- 就是24-1
- 就是23
- 然後λ項有一個-4λ
- 一個-λ 一個-4λ
- 它是-8 -1
- 就是-9λ
- 加上23
- 現在我把這個簡化出來
- 首先我可以算λ 把它
- 乘以這個整體
- 就是λ3
- -4λ2 加4λ
- 然後我可以算這個
- 把它乘上這一項
- 即加上λ2
- -4λ+4
- 現在當然 我們有這兩項
- 我們將必須再次簡化它
- 整個的常量是多少
- 我們有個23 一個+4
- 就是27
- 加27
- 然後 所有的λ項是什麽
- 我們有一個-9λ 然後有一個 我們看看
- 我們有一個-9λ 我們有一個+4λ
- 然後有一個-4λ
- 這兩項消掉了
- 就有一個-9λ
- 然後 λ2項是多少
- 我有個+λ2
- 一個-4λ2
- 如果加上這兩項
- 就是-3λ2
- 然後最後就剩下一個λ3
- 在那
- 這就是矩陣的特征多項式
- 這就是特征多項式
- 這就表示對任意的λ的行列式
- 對於任意λ的這個矩陣的行列式
- 我們說過這必須等於0
- 若且唯若λ確實是一個特征值
- 我們將設這個等於0
- 不知道是幸運還是不幸運 有一項沒有
- 沒有二次項
- 有 實際上 它很複雜
- 有點浪費時間
- 所以我們將必須
- 做一點手法提取一個二次多項式
- 我在某本書中看到了這個題目
- 我想我敢說如果你曾經確實
- 在線性代數課程上遇到這個問題 或者
- 普遍點 在一個代數課上
- 它不一定會出現在解特征值的問題中
- 你多數情況下要解的都是整型解
- 如果你解的是整型解
- 那麽根就是
- 這項的因子
- 尤其有一個因子1在這
- 所以你的潛在解 在這種情況下
- 27的因子是多少
- 是1 3 9 27
- 所有這些都是潛在解
- 我們可以嘗試一下
- 13是1減3
- 我們嘗試1
- 如果嘗試1 它是1-3-9+27
- 不等於0
- 它是-2-9是-11
- 加16
- 不等於0
- 所以1不是根
- 如果嘗試3 得到33 就是27
- -3乘以32 是-3乘以3。。。
- 即是-27
- -9乘以3 就是-27
- 加27
- 等於0
- 幸運的是 第二次嘗試我們確實能夠
- 找到0對於這個式子
- 如果3是一個0 那就意味著
- x-3是這個的一個因子
- 那就意味著這將是
- x-3乘以什麽
- 或者我應該說 λ-3
- 我們來看看其它解
- 如果我取λ-3 我們除以它
- 用λ3-3λ2
- -9λ+27 得到什麽
- λ3除以λ就是 λ2
- λ2乘以這個
- λ2乘以λ是λ3
- λ2乘以-3是-3λ2
- 減去這些項 就得到0
- 得到0
- 然後我們可以寫
- 我們也可以這麽做
- 我們可以寫-9
- 我們可以整個這個貼下來
- 現在就有-9λ+27
- 你可以幾乎想象一下我們就減去這個
- 從上面這個整體中
- 我們就剩下這些項
- 除以λ-3
- λ-3除9λ
- 它除9λ -9倍
- 所以我就寫-9在這
- -9λ-3是-9λ+27
- 它可以很好的整除
- 得到0
- 我們的特征多項式簡化成
- λ-3乘以λ2-9
- 當然 我們將必須設這個等於0
- 如果λ確實是矩陣的一個特征值
- 這是很容易提取的
- 所以這個就變成λ-3乘以
- λ2-9
- 就是λ+3乘以λ-3
- 所有這些等於0
- 這些根 我們已經知道其中之一
- 我們知道3是一個根 實際上
- 這個同樣告訴我們3是一個根
- 所以矩陣A的可能特征值
- 3×3矩陣A我們在這寫的
- 這個矩陣 可能的特征值是
- λ=3或者-3
- 這兩個值
- 可以使得特征多項式
- 或者這個矩陣的行列式等於0
- 這是我們需要的一個條件爲了
- λ是A的一個特征值 對於非零向量v
- 下次影片
- 我們將解決特征向量
- 既然我們已經知道了特征值
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