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Linear Algebra: Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix : Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix
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- 上次影片我們我們能夠
- 說明任意的λ
- 滿足這個等式對於非零向量 v
- 那麽行列式λ乘以
- 單位方陣減A 必須等於0
- 或者我們可以把這個重新寫成比如λ是
- A的一個特征值若且唯若
- 我把它寫成如果
- 行列式λ乘以
- 單位方陣減去A
- 等於0
- 現在 我們來看看是否我們可以利用這個
- 以任意一種具體的方式去解出特征值
- 我們先來做簡單的2×2的 我們做一個R2的
- 比方說A等於矩陣[1,2；3,4]
- 我想計算A的特征值
- 所以如果λ是A的一個特征值
- 那麽這個告訴我們
- λ乘以單位方陣的行列式
- 它是R2中的單位方陣
- λ乘以[1,0；0,1] 減去A [1,2；4,3]
- 等於0
- 那這等於什麽？
- 這個是行列式
- λ乘以這個就是
- λ乘以所有這些項
- 它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
- λ乘以0是0 λ乘以1是λ
- 這我們減去A
- 你就得到[1,2；4,3] 這個必須等於0
- 然後這個矩陣 或者矩陣的這個差值
- 這個保持行列式不變
- 這是行列式
- 第一項是λ-1
- 第二項是0-2 就是-2
- 第三項是0-4 就是-4
- 第四項是λ-3
- 就像這樣
- 有點缺陷就是看不清發生了什麽
- 沿著對角線的項
- 所有的都變成負數 對吧？
- 我們對整體取負
- 然後沿著對角線的項
- 我們在前面有個λ
- 它在本質上是
- 這個表達式的副産品
- 那麽這個2×2矩陣的行列式是多少
- 這個行列式就是這個乘以那個
- 減去這個乘以那個
- 所以它是λ-1 乘以λ-3
- 減去那兩項乘在一起
- 所以減去-2乘以-4是+8 減去8
- 這是這個矩陣的行列式
- 或者這個矩陣的行列式
- 是被簡化成這樣的
- 這個必須等於0
- 爲什麽必須等於0的全部的原因就是
- 因爲我們見過更簡單點的
- 這個矩陣有一個非平凡的零核空間
- 因爲它有一個非平凡的零核空間
- 它就不可能可逆
- 它的行列式必須等於0
- 現在我們有
- 一個很有意思的多項式方程等式
- 我們可以把它乘出來
- 我們得到什麽？
- 我們把它乘出來
- 我們得到λ2-3λ
- -λ+3-8等於0
- 或者λ2-4λ
- 減去 等於0
- 如果你想知道一些術語
- 這個表達式被稱作
- 特征多項式
- 就是一個術語 多項式
- 但是如果我們想計算A的特征值
- 我們就不得不解這個
- 這就是一個基本的二次方程問題
- 這個實際上是可分解因子的 我們看
- 兩個數 你計算乘積是-5
- 你加上它們就得到-4
- 它是減5和加1 所以你得到λ-5
- 乘以λ+1 等於0 對吧？
- -5乘以1是-5 然後-5λ
- 加1λ等於-4λ
- 這個特征方程的兩個解
- 我們的特征多項式被設成0
- 就是λ=5 或者λ=-1
- 就像這樣
- 利用我們應經證明過的內容
- 在上次影片中
- 我們就能計算出
- A的兩個特征值就是λ=5
- 和λ=-1
- 現在我們解決了問題的一部分 對吧？
- 我們知道我們在尋找特征值和特征向量
- 對吧？
- 我們知道這個等式可以被滿足
- 當λ=5或-1時
- 所以我們知道這個特征值
- 但是我們還沒有確定特征向量
- 那就是我們下次影片將要做的