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Linear Algebra: Exploring the solution set of Ax=b : Exploring the solution set of Ax=b (non homogeneous equations)
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- 假設有一個從R2到R2的
- 某個線性變換T
- 這個是R2 然後這個也是R2
- T就是從R2中的任意元素
- 到R2中的任意元素的映射 就是這樣
- 先來定義一下T
- 它是一個線性變換
- 對其進行定義
- 當我將R2當中某個元素 進行線性變換的時候
- 就等於將其乘上這個矩陣
- 乘上矩陣[1,-3;-1,3]
- 讓我們更深入地熟悉
- 這個線性變換吧
- 讓我們考慮
- 上域當中的所有值
- 假設在用[1,-3;-1,3]
- 乘以定義域當中的任意一個向量
- 假設是[x1,x2] 會等於
- 上域當中另一個向量
- 我稱之爲向量b
- b是R2的元素
- 等於[b1;b2]
- 我在這裡做的基本就是
- 如果我稱之爲矩陣A
- 我在嘗試找出所有能使
- AX=b的值
- 在這個情況中 我試圖找出
- 所有可能的b值
- 假如我要求出這方程中的
- 任意一個b
- 我就要將這個放到
- 行簡化階梯形當中去
- 首先 要寫出其增廣矩陣
- 有[1,-3;-1,3]
- 然後把上域中的b也寫上去
- 將矩陣增大
- 有[b1;b2]
- 然後 將其放到行簡化階梯形當中
- 我們要怎樣做呢？
- 怎樣才能將其放到行簡化階梯形當中去呢？
- 保持第一行不變
- 1,-3 然後是b1
- 然後是第二行 用第二行加上第一行的結果
- 進行替換
- 所以-1+1=0
- 3+(-3)等於0
- 然後b2+b1 可以將其
- 寫成b1+b2
- 這就可以求出解了
- 這裡有一個有趣的狀況
- 此前大家已經看到過
- 我有一行0
- 那矩陣有解的唯一方法
- 就是這個東西
- 也等於0
- 在Rm當中的唯一有解的元素b
- 就是當你將它們兩項加起來
- 假設b=b1+b2
- 其解就在兩項加起來
- 等於0的時候産生
- b1+b2一定要等於0
- 換一種方式 你可以寫成
- b2一定要等於-b1
- 如果要畫出上域。。。
- 試試看
- 很多時候都很抽象 但有時
- 寫出一個具體例子還是很有用的
- 假設上域爲R2
- 在這裡畫出數軸
- 這是b1軸
- 這是b2軸
- 可以將它們寫成x和y
- 但在這裡 稱之爲b1和b2
- 在上域當中 所有有解的、能映射到的
- 元素有哪些呢？
- b2一定要等於-b1
- 它是這個樣子的
- 那是一條斜率爲-1的直線
- 這就是全部有解的b的集合
- 如果不在這條直線上的話
- 如果是在上域當中的一個元素
- 這個就是上域 R2
- R2同樣是定義域 讓我在說清楚一些
- 這個就是我所描述的上域
- 這個就是我們所映射的對象
- 很清晰地 如果不是在這條線上的話
- 如果兩項相加不等於0的元素
- 或者它們不是彼此的相反數
- 如果在這裡挑選一個上域中的元素
- 然後你嘗試在這裡求解方程
- 在這裡0就等於一個非零的數字
- 那就求不出解來了
- 在上一段影片 已經接觸過類似內容了
- 在這個情況中 可以說這個就是
- 線性變換的像了
- 或者說是幫助思考的另一種方式
- 這個就是上域
- 先畫出定義域
- 如果在R2中選取任意元素
- 通常都能映射到線上的某點
- 更清楚地 線上的每一點
- 都能夠被超過一個向量映射
- 我們所處理的不是一個映上變換\N【映上：蓋射】
- 正如上一個影片中所看到的那樣
- 爲了求出某個被映射的東西 當你將其放在
- 行簡化階梯形的時候 同一行裏面
- 不能全部是0
- 或者說 在行簡化階梯形當中
- 每一行都應該有一個軸元
- 好的 注意到
- 確實有一個解的b們
- 讓我們重新注意b們 當你用
- b1+b2的時候 結果剛好等於0
- 我們可以有b
- 可以是[5;-5]
- 很明顯 [0;0]也是可以的
- [1;-1]也行
- 就是那樣
- 讓我們再將精力放在那裏多一會兒 看看
- 定義域多少元素可以映射到它們上
- 如果選取這裡的這個東西 然後將方程
- 應用在這裡 就只剩下一個制限條件了
- 假設這等於0
- 假設我們處理的是
- 像中的b
- 假設我們在處理的是
- 可以求解的某個東西
- b1+b2等於0
- 制限條件是什麽？
- 正在處理的向量b 會被什麽映射到呢？
- 如果運用我們正在討論的這個向量
- 有1<i>x1 讓我換一下顏色</i>
- -3<i>x2等於b1</i>
- 然後 這一行沒有給出任何制限條件
- 因爲該行是由一堆0組成了
- 所以 這就是定義域上
- 映射到某b的唯一制限條件
- 既然我們挑選了 滿足這個制限條件的
- 某個特定的b
- 就能寫出這個解集
- 讓我將其重寫成x1=b1+b2
- 或者 如果我們要寫出整個解集
- 就是這個樣子的
- [x1;x2]=[b1;0]+...x1就是b1
- +3<i>x2 所以是加上x2<i>3</i></i>
- x2直接等於x2
- 那是一個自由元
- x2等於0+x2<i>1</i>
- 所以這個變換
- 把定義域中的所有元素
- 映到這條直線上
- 也就是這兩項相加爲0
- 假設現在有其中的一個向量
- 首先 這肯定不是
- 一個映上變換
- 但假設我們在處理的是
- 其中一個
- 所以在其中挑選一個特定的向量
- 針對一個特定的b 把它寫在這裡
- 對Ax=b的方程有解
- 方程的解集就恰好等於這裡的這個東西
- 就等於[x1；x2]=
- b的第一項
- 想一下 如果你挑選一個特定的b
- 假設挑選... 將它寫在這裡
- 在這裡寫看得比較舒服
- 或者我將它寫成這樣
- 我不想再畫一團東西了
- 畫數軸吧
- 我畫的數軸是這樣的
- 我們知道 變換的像就是
- 一條斜率爲-1的直線
- 因爲兩項必須等於
- 彼此的相反數
- 讓我們挑一個有解的b
- 就挑選這一個b
- 爲了使其有解
- 它的兩項必須互爲相反數
- 假設兩項分別是5和-5
- 這就是向量b
- 所以我們剛才所展示的就是解集了
- 如果要問 嘿
- 定義域中哪些元素會映射到這解集上
- 想一下定義域中的哪些元素
- 會正好映射到這裡
- 哪些元素會映射到這一點
- 映射到這個特定的b
- 那就是所有滿足Ax等於
- [5;-5]的點
- 所以[x1;x2]會等於b1
- 即要等於[5;0]+x2
- 加上向量[3;1]的任何一個比例或倍數
- 所以我們的解集就是
- 如果選向量[5；0]
- 向量[5;0]大概在這個位置
- 剛好是這裡 然後就要
- 在加上向量[3;1]
- 向量[3;1]是這個樣子的 1 2 3
- 然後向上1個單位
- 所以向量[3;1]就是這個樣子的
- 如果你加上它的倍數
- 它的倍數可以這樣伸長
- 或者變成反方向這個樣子
- 對於向量[5;0] 基本上你就要
- 看看我能否將其畫整齊一些
- 所求出的解集
- 看起來就是這個樣子的
- 如果你在這裡挑選一個有解的b
- 正如之前所說 這條線上的每一點
- 都會映射到我們解集中的那一點
- 事實上 如果選另一個點
- 假設所選的是點[-5;5]
- 那它所映射到得解集
- 就會使 第一項
- 爲-5
- 就在這裡
- 所有的這些會映射到那裏
- 這都是十分有趣的
- 之前我們做了很多抽象的東西
- 我想如果大家能夠
- 在這裡例子中看到一些更具體的東西
- 會更加讓人滿意
- 我所做的一切都爲了一個原因
- 我想讓大家理解 類似的一般非齊次方程的
- 解集是什麽
- 爲了更好地理解它
- 讓我們想象一下 如果我們挑選
- 0向量的話 解集是怎樣的？
- 這個解集是什麽樣的呢？
- 假設Ax=0
- 解集應該就是
- 向量[0;0]+x2<i>[3;1]</i>
- 這等於什麽呢？
- 這就等於0向量 就是這裡
- 從這裡開始 然後是
- 向量[3;1]的倍數
- 就是這個樣子的
- 這是什麽？
- 方程Ax=0的
- 解集是什麽？
- 這是一個零核空間
- 從定義上說 這是A的零核空間
- 注意 這是本次影片能給大家的
- 重要收獲 對於任何解來說
- 我們挑選的是 確實有解的向量b
- 因爲我們是從這條線上挑選它們的
- 我們是從上域的像中挑選它們的
- Ax=b的解集就是
- 當b確實有解的時候
- 基本上就等於
- 零集或者零核空間的移動
- 這就是零核空間
- 這就是對 任何實數x2的
- 零核空間了
- 向量[3;1]的任何純量積都是零核空間
- 我將它寫在這裡
- 就是這個樣子的
- 所以其他的所有解集就是
- 某個特定的向量 某個特定的x
- 加上零核空間
- 顯然 這個向量本身也是
- Ax=b的一個解
- 因爲可以將其設爲x2=0
- 所以 一般而言
- 當然我也沒有很嚴格地向大家地證明
- 但我希望大家能留下一個直觀的印象
- 至於求解 我將在下一段影片中再求
- 我想我花的時間有點兒太長了
- 假設Ax=b有解
- 剛才的例子當中 我們假定其有解
- 如果我們在此選取其中一個點
- 假設其有解的情況下 如果我們
- 在像外選一個點 那就不能求解了
- 但假定Ax=b有解
- 其解集等於某個特定的向量
- 可以將其想象成在那裏
- 一個向量
- 和這個矩陣的零核空間
- 結合的結果
- 我還沒有向大家證明
- 但希望大家能直觀地感受到 這是正確的原因
- 剛對一些確實有解的方程
- 成功求解
- 假設我們要用這個形式
- 而我剛才也給大家展示了
- 這就是零核空間的形式
- 這樣做的原因就是
- 我們一直在討論的可逆性了
- 爲了可逆 那一定要是可以映上的\N【映上：蓋射】
- 是嵌射
- 爲了能夠做到嵌射 你必須
- 最多只有一個解 能夠映射到
- 特定向量
- 或者沒有
- 但你最多要只能有一個
- 爲了産生那個結果 最多一個解
- 而解集通常都等於這個
- 所以通常你都會得到這個結果
- 爲了得到最多一個解
- 你的零核空間裏面不能有任何東西
- 或者只能有一個0向量
- 這就意味著 A的零核空間
- 必須是平凡的 或者是空的
- 或者只有0向量
- 在下一段影片當中 我將會
- 嚴格地進行證明
- 但我想 當你做得更嚴格的時候
- 就不一定能夠得到直觀的感覺
- 這將會是一個十分有趣的收獲
- 我想大家也已經理解了
- 它在不同情況下可逆的條件了