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Linear Algebra: Gram-Schmidt Process Example : Using Gram-Schmidt to find an orthonormal basis for a plane in R3
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- 我們之前提出了一個過程
- 在上次影片中針對生成一組標準正交基
- 它不是一個新發現了
- 它叫Gram-Schmidt過程
- 我們在一些具體的例子中來運用它
- 希望我們會看到這是很具體的
- 不像上次影片中看的那麽抽象
- 比方說平面
- 這是R3中的一個平面
- 我們就說次空間V等於這個平面
- 被這個式子定義的
- 所有次空間內的向量
- 如果你取它們的分量把它們加起來
- 就會得到0
- 所以首先我們需要V的任意一組基
- 我們來看看我們是否可以提出來
- 如果我們減掉x2和x3
- 在等式兩邊
- 我們知道x1就等於
- 或者我們可以說我們的次空間V等於
- 在R3所有向量組成的集合 x1 x2和x3
- 滿足這個等式 比方說 減
- 好吧 我們這樣寫
- 比方說x2=c1 x3=c2
- 然後這個等式會是x1
- 等於-c1-c2
- 所以如果我那樣寫
- 那麽次空間V是R3所有向量滿足的集合
- 使得c1乘以某個向量
- 我這麽寫
- c1乘以 我這麽寫
- 加c2乘以另一個向量
- 其中c1和c2都是任意的實數
- c1和c2都是實數
- 那麽x1是什麽 x1=-c1-c2
- x等於-1 c1 -1 c2
- x2就等於c1
- x2等於1乘以c1加上0乘以c2
- 然後x3等於c2
- 或0乘以c1加上1乘以c2
- 所以V本質上是由這兩個向量張成的
- 所有這兩個向量的線性組合
- 那就會代表整個平面
- 所以我這麽寫
- V等於由向量[-1；1；0]
- 和[1；0；1]張成的
- 而且你可以看到這兩個向量
- 還是線性獨立的
- 很顯然 沒有這兩個向量的線性組合
- 可以在這有個1
- 而且沒有這兩個向量的線性組合
- 可以在那有個1
- 這就是V
- 但我我們想要的
- 我做這個影片的全部的原因
- 是爲V找一組標準正交基
- 這只是一組基
- 這兩個向量只是V的一組基
- 我們來找尋一組標準正交基
- 我們稱上面這個向量 我們稱它爲v1
- 我們稱這個向量v2
- 所以如果我們想找一組標準正交基
- 對空間由v1 我把它寫下來
- 我定義某個次空間V等於
- 只是有向量v1張成的空間
- 我們在上次影片中見過
- 如果我們用v1除以它的長度
- 那麽構成那個空間的那個向量就會使一個單位向量
- 它就會是同樣的空間
- 和次空間V1
- 它是R3中的這條線
- 我們來做它
- v1的長度是多少
- v1的長度等於根號下-1
- 平方就是1加上1平方就是1加上0
- 平方就是0
- 它等於√2
- 我們定義某個向量u1等於1除以
- v1的長度
- 1除以√2乘以v1
- 乘以[-1；1；0]
- 這樣v1張成的空間就等同於
- u1張成的空間
- 這就是一組標準正交基
- 就這個向量就是一組標準正交基
- 只針對v1
- 但是我們不是只想得到v1張成的空間
- 我們想得到v1和v2張成的空間
- 我這樣畫它
- 現在 我有一組基 如果我做u1
- 我將不會畫這是什麽樣
- 也許它看起來像這樣
- 它的空間就是R3中的這條線
- 在Rn中就一個向量張成的空間就是
- 所有它的數量倍數或者Rn中的一條線
- 所以這個就是次空間V1
- 現在我們有一個v2
- 和這個向量是線性獨立的
- 和這個向量是線性獨立的
- 因爲它只是這個向量擴大倍數
- 所以v2就像這樣
- 那就是v2
- 這個當然就是u1
- 我們想做的是我們想找到一個次空間V
- 我們稱它爲V2現在
- V2等於v1和v2張成的空間
- 等同於空間
- 由v1張成的任何的空間也可以由u1張成
- 等同於有u1和v2張成的空間
- 所以我們想看看所有的向量可以生成
- 由u1和v2
- 而且顯然 這就是我們的平面
- 我們正在討論
- 由這兩個向量張成的空間 就是整個的次空間
- 我們在這個問題中正在討論的
- 所以那個就等於V
- 所以一旦我們找到了這個 如果找到了一組標準正交基
- 對於這個空間 我們就做完了
- 那麽我們可以怎麽做
- 如果我們發現一個向量正交於
- 這個所有的線性組合
- 就是如果我加上
- 這個的某個線性組合到那個向量上
- 我可以得到v2 我可以用那個向量替換v2
- 所以我們可以稱那個向量y2 對吧？
- 如果我可以決定一個y2
- 這個y2顯然是正交於上面的所有向量的
- 而且我還可以在V1中取某個向量 在這條線上
- 加上y2就可以得到v2
- 這些向量的組合實際上就等於v2
- 所以這就等於u1和y2張成的空間
- 現在y2等於什麽
- 我們在上次影片中看到
- 這就等於v2的投影
- 這個向量是v2的投影
- 在次空間V1上的
- 我們怎麽計算出那個
- y2會是什麽呢？
- y2會是v2減去那個
- 所以y2等於v2減去v2在V1上的投影
- 或者如果 我們把它寫出來
- 它將等於什麽
- 它將等於
- v2是這個向量
- 那是v2
- v2減去v2在V1上的投影
- 那麽向量v2投影
- 在次空間V1上就是v2 [-1；0；1]
- 點乘這個V1的標準正交基
- 這個V1的標準正交基就是u1
- 我們已經在上面求出u1了 所以那就等於
- 那個點乘1除以√2乘以
- 我用黃色來畫 實際上
- 就像你看的那樣這是u1
- 所以它點乘u1 它點乘1
- 除以√2乘以[-1；1；0]
- 我喜歡提出1
- 除以√2
- 就是看起來簡潔 所有那些除以
- 實際上 沒有除以任何東西
- 因爲我們如果正在一條直線的投影
- 它會除以
- 這個標準正交基和它自己的點乘
- 但是它的長度是1 所以沒有那個
- 我們之前看過那樣的
- 我來 我來這個再改一下
- 我把它移下來
- 我看看能不能移下來
- 它就等於這個 對吧
- 我把這些書寫清楚點
- 這是v2減去v2的投影
- 在次空間V1上
- 所以那就是v2點乘V1的標準正交基
- 標準正交基的第一個向量
- 只有一個
- 這將只有一項
- 然後所有那些乘以
- V1的標準正交基向量
- 1除以√2乘以這個向量
- 是[-1；1；0]
- 現在這看起來很不錯
- 這個就是我們的標準正交基
- 對於次空間V1
- 但是這個簡化之後的結果是什麽？
- 這就等於 記住
- 這個 這一片
- 那是v2在V1上的投影
- 那個就是這樣
- 所以這就等於這個向量[-1；0；1]
- 減去 現在 我可以取1
- 除以√2提出來
- 實際上 我可以這兩項都提出來
- 1除以√2
- 乘以1除以√2
- 就是1/2 對吧？
- 所以這就等於-1/2
- 乘以這些彼此點乘
- 我這樣寫
- 這些向量彼此點乘是什麽
- 它就是一個數
- -1乘以-1是1 加上0乘以1
- 就是加上0 加上1乘以0 就是加上0
- 所有那些乘以
- 我們已經用過它的這個部分了
- 所以我們只有這部分留下
- 乘以[-1；1；0]
- 這是那個點乘
- 我們提取這兩個倍數因子
- 當你乘以它們得到1/2
- 這就等於1
- 簡化一下
- 所以這就等於這個向量[-1；0；1]
- 減去1/2乘以這個 或者我們可以寫
- 1/2乘以-1是-1/2
- 我們有1/2然後又0
- 所以這將等於-1
- 減去-1/2
- 它是加上1/2 那將等於-1/2
- 0減去1/2是-1/2
- 然後1減去0就是1
- 這是向量y2
- 如果你結合u1和y2
- 我們將張成次空間V
- 但是我們還沒有一個標準正交基
- 這些向量彼此正交
- 但是這個向量還不是長度1的
- 所以爲了使它長度是1 我們替換它
- 我們定義另一個向量u2等於
- 1除以y2的長度乘以y2
- y2的長度是多少？
- y2的長度等於根號下
- -1/2的平方是1/4 加上1的平方
- 所以它是根號下1和1/2 或3/2
- 它等於√3/2 對吧
- 好的 這個是1/2加上1是1和1/2 就是3/2
- 它等於√3/2
- 所以如果我定義u2
- u2等於1除以√3/2
- 或那個等同於
- √3/2乘以y2
- 就是那個向量
- 是[-1/2；1/2；1]
- 我已經在上面定義了u1
- u1就在上面
- 我把它複製和粘貼了
- 實際上 我認爲我可以把它移下來
- u1在這
- 我們現在有兩個向量
- 彼此正交
- 所以如果我有一個u1和u2組成的集合
- 這些向量都是長度1的
- 它們都彼此正交
- 並且它們張成V
- 所以這是這個平面的一組標準正交基
- 我們開始這個影片要做的 對於V
- 我們做完了
- 我們做完了Gram-Schmidt過程
- 這些是我們新的標準正交基