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Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors : What eigenvectors and eigenvalues are and why they are interesting
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- 對於任意的變換從Rn到Rn
- 我們已經做完了
- 但是對於我們來講 求向量
- 本質上通過變換就是放縮 還是很吸引人的
- 因此這個向量有這樣的形式
- 這個向量變換就等於
- 按某個比例放大一個向量
- 如果這個對你來講看起來不太熟悉
- 我可以慢慢觸動你的記憶
- 當時我們在找基向量
- 對於變換的時候 我把它畫下來
- 這是從R2到R2
- 我來把R2畫在這
- 比方說我有這個向量v1等於
- 向量[1；2]
- 我們就有由這個向量張成的直線
- 我們在幾次影片之前做過這個問題
- 我有這樣的變換
- 可以翻過這條直線
- 因此如果我們稱這條線爲l的話 T就是這個變換
- 從R2到R2翻過這條線
- 因此它翻過l
- 如果你能記起那個變換
- 如果我有某個隨機向量像這樣
- 比方說那是c 那是向量x
- 那麽這個變換作用於x看起來就是這樣
- 它就是翻過那條線
- 那就是這個變換作用於x
- 如果你還記得那次影片 我們當時正在找
- 基的一種變換可以允許我們至少
- 算出這個變換的對應矩陣
- 至少在一個改變的基下
- 然後我們可以算出矩陣
- 針對這個變換在一組標準基下
- 我們選取的這個基就是基向量
- 不會隨著這個變換改變太多
- 或者基向量通過變換這是按比例被放大
- 舉個例子 當我們對v1做這個變換
- 它就等於v1
- 或者我們可以說v1在這個變換下就
- 等於1乘以v1
- 因此如果你只是按照這個形式
- 我建立的這個 λ 在這種情況下就是1
- 當然 在這種情況下這個向量是v1
- 這個變換只是給v1按比例1變化
- 在那個相同的問題中 我們有另一個向量
- 我們也在看著的
- 它是向量減 比方說它是向量v2
- 就是 比方說它是[2；-1]
- 然後如果你計算它的變換
- 既然它垂直於這條直線
- 它就會像這樣被翻
- 那也是一個非常有意思的向量力
- 因爲v2的這個變換在這種情形下
- 等於什麽？
- 就是-v2
- 它等於-v2
- 或者你可以說v2的這個變換
- 等於-1乘以v2
- 這些對於我們來說很有意思
- 因爲當我們定義一個新的基
- 用作爲基向量的這些向量
- 計算我們的變換矩陣就變得非常簡單
- 實際上那個基很容易算
- 我們也將在未來進一步探討這些
- 但是希望你們能夠意識到
- 這些是很有意思的向量
- 也有這樣的情形
- 我們有被某些向量張成的平面
- 然後我們又有另一個向量
- 像這樣跳出這個平面
- 我們變換通過算鏡像
- 穿過這個 在這個變換中
- 這些紅向量一點也不會改變
- 並且這個向量翻轉過去
- 也許那些向量會很好的成爲基
- 或者那些向量會很好的成爲基向量
- 事實上是這樣的
- 所以一般地 我們總是關心這種向量
- 通過一個變換只是比例上發生變化
- 它不會成爲所有的向量 對吧？
- 這個我畫的向量 這個向量x
- 它不只是比例發生變化 它實際上已經改變了
- 這個方向都改變了
- 這個向量改變大小可能改變方向
- 可能從這個方向改變到那個方向
- 或許它們改變到那
- 也許那是x 然後x的這個變換
- 可能是x比例的變化
- 也許是那樣
- 我猜實際的它們張成的那條直線不會改變
- 這就是我們一直關心的問題
- 這些有一個特殊的名字
- 它們有一個特殊的名字 我想
- 是這個變得清楚一些因爲它們真的很有用
- 它不是簡單的我們在玩的數學遊戲
- 盡管有時候我們確實會掉入到那個陷阱中
- 但是事實上它們很有用
- 它們對於定義基很有用因爲在那些基下
- 計算變換矩陣就變得很簡單了
- 它們是更自然的座標係統
- 時常地 在那些基下的這個變換矩陣
- 更容易計算
- 因此這些有特殊的名字
- 任意向量滿足這個等式
- 被稱爲這個變換的一個特征向量
- 這個λ 這個倍數它成爲
- 這是這個特征向量所對應的特征值
- 所以在這個例子中我就給你這個變換是
- 翻過這條直線 v1 這個向量[1；2]是
- 我們變換的一個特征向量
- 所以[1；2]就是一個特征向量
- 並且它對應的特征值是1
- 這個向量也是一個特征向量
- 這個向量[2；-1]
- 它也是一個特征向量
- 一個很有意思的單詞 但是它的所有意義是一個向量
- 通過一個變換大小發生變化
- 沒有哪個向量的變化
- 比按比例發生變化更有意義
- 它對應特征值是-1
- 如果這個變換 我不知道
- 它的變換矩陣是什麽？
- 我忘了它是什麽
- 我們實際上之前算出來過
- 如果這個變換矩陣可以表示爲
- 一個矩陣向量乘積 它應該可以
- 它是一個線性變換 那麽任意v
- 滿足這個變換
- 我想說v的這個變換等於λv
- 也同樣是
- 你知道 這個變換
- 會是Av
- 這些也可以稱是A的特征值
- 因爲A確實是
- 這個變換的方陣表現
- 在這種情況下 這就是A的一個特征向量
- 而且這就是這個特征值
- 對應於這個特征向量
- 所以如果你給我一個矩陣
- 表示某個線性變換
- 你也可以把這些算出來
- 下次影片我將
- 找到一種方法把這些算出來
- 但是我想讓你在這次影片中學習的是
- 簡單的說 就是這個向量
- 不會改變太多
- 但是我想讓你明白它是什麽意思
- 它實際上就是大小發生變化
- 或者可能它們被翻轉了
- 它們的方向或者它們張成的這些線
- 根本上沒變
- 爲什麽它們能夠吸引我們的注意
- 一個方面的原因爲什麽它們吸引我們就是
- 它們做了一組很有意思的基向量 那些基向量
- 可以使變換矩陣可能在計算上
- 更簡單
- 或者它會給我們提供更好的座標係