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Linear Algebra: Introduction to Linear Independence : Linear Algebra: Introduction to linear dependence and independence
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- 比如說有一個向量集合――
- 線條有些粗了
- 其中一個向量是[2,3]
- 另一個向量是[4,6]
- 我要解決問題：
- 這兩個向量張成的空間是什麽？
- 先假設它們是位置向量
- 這兩個向量
- 所能表示出的向量是什麽？
- 觀察這兩個向量
- 它們張成的空間就是
- 能用二者的線性組合表示的
- 所有向量的集合
- 所以它就是向量的集合
- 如果有一個常數
- 乘以這個向量
- 再加上另一個常數乘以這個向量
- 當我將c1和c2
- 分別賦予實數值時
- 就得到了所有能夠表示的向量的集合
- 你很快會意識到
- 第二個向量
- 它就等於2乘以第一個向量
- 所以我可以把它寫成下面的形式
- 可以寫成c1乘以向量[2,3]
- 加上c2乘以――
- 這裡不寫成[4,6]
- 而是寫成2乘以向量[2,3]
- 因爲這個向量就是第一個向量的2倍
- 所以可以寫成c2乘以2乘以[2,3]
- 我想你應當能看出它等價於[4,6]
- 2<i>2等於4</i>
- 2<i>3等於6</i>
- 然後可以做一下化簡
- 可以寫成c1+2<i>c2</i>
- 整體乘以[2,3]
- 這是任意的常數
- 它是某個常數
- 加上2乘以另一個常數
- 我們不妨就寫成c3乘以向量[2,3]
- 在這種情況下
- 即使我們從兩個向量出發
- 我說過
- 這兩個向量張成的空間
- 等於這兩個向量
- 構成的線性組合
- 二者的任何線性組合
- 如果用這裡的替換
- 結果就退化爲第一個向量的常數倍
- 我也可以用另一種方式
- 我也可以令第一個向量
- 爲後者的1/2
- 然後寫成第二個向量的
- 常數倍的形式
- 事實上 我們可以避免考慮
- 兩個向量的線性組合
- 而簡單地考慮
- 其中一個向量的數乘組合
- 我們曾學過R2中向量的數乘組合
- 特別當其爲位置向量的時候
- 比如 對於向量[2,3]
- 向量[2,3]
- 它像這樣
- 它的數乘組合
- 沿著這條直線
- 向量[2,3] 延伸到這裡
- 它們必定沿著這條直線
- 無限地像兩邊延伸出去
- 如果取負的向量[2,3]
- 就先下延伸
- 如果取正值 則向上延伸
- 取的值越大
- 延伸的越遠
- 我可以表示出這些向量
- 當它們是標準形式的時候
- 它們的箭頭方向是一直沿著這條直線的
- 所以說這些向量張成的空間――
- 我寫在這
- 向量[2,3]和[4,6]張成的空間
- 就是這條直線
- 即使已知兩個向量
- 但是它們本質上是共線的
- 它們是倍數關係
- 向量[2,3]和[4,6]在這個位置
- [4,6]是那個較長的
- 它們共線
- 這兩個向量共線
- 這樣的話
- 當我們已知R2中兩個共線的向量時
- 本質上 它們張成的空間退化成一條直線
- 你不能夠表示出這樣的向量――
- 我換一種顏色
- 你不能夠用這兩個向量的線性組合
- 表示出這個向量
- 你無法表示出這條直線外的向量
- 你不可能
- 表示出R2中所有的向量
- 所以說張成的空間就是這條直線
- 一個與之有關的概念是
- 注意 已知兩個向量
- 但是當考慮其線性組合時
- 它們退化成一個向量
- 一個相關的概念是――
- 稱這兩個向量是線性相關的
- 我寫下來：線性相關
- 這是一個線性相關的集合
- 線性相關意味著
- 集合中的一個向量
- 可以由集合中的其他向量的組合
- 表示而成
- 關於這個概念的一種考慮方式是
- 不論你選擇了什麽向量
- 都不會新增定向
- 或者其他信息
- 這種情況下
- 我們已知了這個方向的一個向量
- 當加入向量[4,6]時
- 還是沿著相同的方向 只是進行了放大
- 其規模並未增加
- 我們仍未超出這條直線
- 可以推想在三維空間中
- 如果已知這個向量
- 以及另外一個向量
- 二者不共線
- 它們構成了
- 一個二維空間
- 它們能夠定義一個二維空間
- 我們稱這個平面
- 是由這兩個向量定義的
- 爲了定義R3 集合中的第三個向量
- 不能與前兩個共面 對嗎？
- 如果第三個向量與前兩個共面
- 則不會新增定向
- 從而這三個向量構成的集合
- 是線性相關的
- 另一種考慮方式是
- 這兩個紫色的向量張成了這個平面
- 張成了它們定義的這個平面
- 這個平面中的任何方向的任何向量――
- 對於平面中的任何向量 當把它張成空間時
- 這意味著任何向量都可以
- 由這兩個向量的線性組合表出
- 就是說如果這個向量在這個平面上
- 它就可以由這兩個向量的
- 線性組合表出
- 我後加入的這個綠色的向量
- 對於向量集合張成的空間並沒有貢獻
- 這是因爲這是一個線性相關的集合
- 這個向量可以用
- 這兩個向量的線性組合表出
- 因爲這兩個向量張成了這個平面
- 爲了使這三個向量
- 能夠構成三維空間R3
- 則第三個向量必須不在這個平面上
- 它需要沖出這個平面
- 如果一個向量不在這個平面上
- 這說明該向量
- 不能由平面上的任何向量表出
- 所以它不能有這兩個向量表出
- 由於它在平面外
- 所以它不能由二者的線性組合表出
- 如果已知這個向量
- 這個向量 和這個向量
- 僅需要這三個向量
- 我不再需要其他的向量
- 它們是線性獨立的
- 我再多舉幾個例子
- 上一個有些太抽象了
- 例如 已知向量[2,3]
- 向量[7,2] 和向量[9,5]
- 我要問
- 這三個向量是否線性相關？
- 乍一看 你可能會說這不難
- 這個向量不是那個向量的倍數
- 它不是其他兩個
- 向量的倍數
- 也許他們是線性獨立的
- 但是如果你仔細觀察
- 就會發現
- 稱其爲向量v1 加上向量v2
- 如果稱它是v2 結果就等於v3
- 所以說v3是v1和v2的
- 線性組合
- 所以說它們是線性相關的
- 我們在二維空間中把它畫出來
- 這是一個一般性的概念――
- 我在R2中作圖
- 這個一般性的概念是
- 如果已知二維空間中的三個向量
- 其中有一個一定是多余的
- 其中的一個向量一定是多余的
- 例如 先畫出向量[2,3]
- 這是第一個向量
- 我化成標準形式
- 然後再畫向量[7,2]
- 可以推出
- R2中的任何一點
- 都可以由這兩個向量的線性組合表出
- 我們可以通過畫圖說明
- 我在之前的影片中講過了
- 我可以寫出
- v1和v2張成的空間就是R2
- 這意味著
- 這裡的每一個點
- 都可以由二者的線性組合表出
- 向量[9,5]在R2中
- 它在R2中 對嗎？
- 顯然
- 我剛剛在平面上畫出來
- 它在二維實空間中
- 我們可以稱之爲空間R2
- 它在這裡 就在這裡
- 我剛才講過R2中的任何點
- 都可以由二者的線性組合表出
- 顯然它在空間R2中
- 所以它可以被線性表出
- 我希望大家
- 已經能夠體會出
- 張成空間和線性相關性之間的關係
- 我再舉一個例子
- 假設已知向量―― 我換一種顏色
- 假設已知向量――
- 這個有些簡單―― 向量[7,0]
- 這是向量v1
- 第二個向量是[0,-1]
- 這是v2
- 現在這個集合線性獨立嗎？
- 它們線性獨立嗎？
- 我是否可以將其中一個向量
- 用另一個的組合表示出來？
- 當我提到組合的時候就意味著
- 要通過將一個向量伸縮來得到另一個
- 因爲這裡僅有兩個向量
- 如果要將這個向量加起來
- 我能做的僅僅是處理這個向量
- 所以能做的就是將它伸縮
- 別無他法
- 無論怎麽對這個向量加倍
- 即乘以一個常數並與自身相加 或是進行伸縮
- 這一項始終是0
- 它總是0
- 所以無論乘以什麽
- 我都得不到這個向量
- 同樣地 無論對這個向量乘以什麽
- 上面這項始終是0
- 所以也無法得到這個向量
- 因此對於這兩個向量
- 無法用其中一個
- 表示出另一個
- 故二者是線性獨立的
- 這通過作圖也能看出來
- 一個是[7,0] 就像這樣
- 我不用黃色的來畫
- 向量[7,0]
- 另一個是向量[0,-1]
- 我想你應該知道
- 如果取二者的線性組合
- 就能夠表示出R2中的所有點
- 所以二者張成的空間
- 用熟悉的記號span(v1,v2)=R2
- 這是另一個有趣的例子
- 我講過v1和v2張成的空間是R2
- 那麽在這個例子中
- v1 v2和v3張成的空間是什麽？
- 我已經告訴過你了
- 我講過第三個向量
- 可以由這兩個向量的線性組合表出
- 實際上就是二者之和
- 我可以在這畫出來
- 就是這兩個向量的加和
- 顯然它可以
- 由這兩個向量的線性組合表出
- 它張成的空間是什麽？
- 我們說第三個向量是多余的
- 意味著它對張成的空間沒有改變
- 它沒有改變所有可能的線性組合
- 所以張成的線性空間還是R2
- 它對張成的空間R2
- 是多余的
- R2是二維空間
- 只需要兩個向量即可
- 這是提供基底的
- 最有效的方法
- 其實我還沒正式定義基底
- 但我想提前使用這個概念
- 當你學過定義之後
- 自然就會明白
- 這兩個向量是很好的基底
- 剛好可以表示出空間R2
- 並且沒有多余向量
- 而這裡這個向量是多余的
- 所以這對於R2不是一個好的基底
- 我再舉一個三維空間的例子
- 在下一個影片裏
- 我會給出關於
- 線性相關和線性獨立的準確定義
- 假設已知向量[2,0,0]
- 我與上面這個例子保持一致：
- 已知向量[2,0,0]
- 向量[0,1,0]
- 以及向量[0,0,7]
- 它們都在R3中 對嗎？
- 它們都是三維向量
- 那麽它們是線性相關
- 還是線性獨立呢？
- 抱歉 它們是線性相關還是無關呢？
- 顯然 我們不可能
- 用這兩個向量的線性組合
- 來表示出
- 第三個向量 對嗎？
- 因爲不論我對這兩個向量乘以多少
- 最後一項總是0
- 所以說第三個向量爲向量集合
- 增加了一個新的定向
- 同樣地 我不能――
- 通過這兩個向量的組合
- 也不能表示出這個中間是非0的向量
- 最後 也不能用這兩個向量
- 表示出這一項
- 所以說這個集合是線性獨立的
- 如果要在三維空間中作圖
- 你會看到――
- 這三個向量不在同一平面內
- 顯然 它們中的任兩個共面
- 如果把它們畫出來
- 比如這是x軸
- 它是[2,0,0]
- 然後是[0,1,0]
- 它可能是y軸
- 然後是[0,0,7]
- 就像這樣
- 它們看起來像是三個坐標軸
- 就像向量i j k一樣
- 就是進行了一些伸縮
- 但是你可以通過伸縮
- 將它們修正回去
- 因爲我們關心它們的線性組合
- 那麽對於這三個向量張成的線性空間就是R3
- 因爲三者每個都加入了一個性定向
- 我想本節課就到這了
- 我意識到影片做的有些過長了
- 我需要將
- 影片時間縮短一下
- 在下節課
- 我會給出線性相關的嚴格定義
- 並舉一些例子