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- 想想函數是幹什麽的
- 今天我將介紹逆函數
- 從一個簡單的函數講起
- 假設f(x)=2x+4
- 取x=2時 f(2)=2?2+4=4+4=8
- 取x=2時 f(2)=2?2+4=4+4=8
- 取x=3時 f(3)=2?3+4=6+4=10
- 再從抽象方面想想
- 我可以往函數中輸入一些值
- 這個概念大家應該很熟 也就是定義域
- 所有可能輸入值的集合稱爲定義域
- 所有可能輸入值的集合稱爲定義域
- 定義域中 包括2 包括3
- 任何實數都可以作爲函數的輸入
- 這裡定義域是整個實數集
- 這裡定義域是整個實數集
- 想想f(2)的意義是什麽
- 我們輸入數字2 然後函數輸出8
- 從2映射到8
- 再畫一個所有可能輸出值的集合 稱爲值域
- 再畫一個所有可能輸出值的集合 稱爲值域
- 關於這些還有更專門的講解
- 線性代數課程中將有嚴格討論
- 總之 這就是所有可能值的集合
- 從定義域中取2 輸入到函數
- 函數會將其映射到8
- 我畫一下 2到8
- 這是函數的作用 它進行了這個映射
- 函數將2映射到8
- 這個8=f(2)
- 同理 3會被函數映射到10
- 函數建立了一種關聯 將3映射到10
- 這就提出了一個有趣問題
- 能否從8回到2
- 能否從10回到3
- 是否存在某個可以稱爲逆的函數
- 能執行逆向操作
- 是否存在函數從10映射到3
- 這種函數稱爲f的逆函數 記作f?1
- 它從10映射回3 是否存在這樣的函數
- 同時還能從8映射回2
- 同時還能從8映射回2
- 這看起來有些抽象 有些困難
- 其實求f的逆函數非常簡單
- 解出來大家就知道了
- 函數f從2到8
- 逆函數從8到2
- 設y=f(x)=2x+4
- y=2x+4就是我們的函數
- 提供x 結果是y 我們希望反過來
- 希望提供y 得到x
- 這也就是求出x用y表示的式子
- 等式兩側同時減4 換個顏色
- 等式兩側同時減4 換個顏色
- y-4=2x
- 兩側同時除以2 有y/2-2=x
- 兩側同時除以2 有y/2-2=x
- 換個邊
- x=1/2y-2
- 這就是關於y的函數了
- 由y得到x 這是我們要的
- 它能將y值映射回x值
- 所以 這等於f的逆函數 一個關於y的函數
- 所以 這等於f的逆函數 一個關於y的函數
- 寫得更清楚些
- f?1是y的函數 輸入是10或8這些
- 原來的值域是f?1的定義域
- f?1(y)=1/2y-2
- 我所做的 也就是從原函數y=2x+4出發
- 這裡y用x表示 然後經過代數運算
- 用y表示出x 這就是f?1(y)了
- 也就是這個
- y只是個字母 換成什麽都行
- 這裡就換成x吧
- 把所有y換成x
- f?1(x)=1/2x-2
- 我們所做的是 算出x的表達式 然後把y換成x
- 我們所做的是 算出x的表達式 然後把y換成x
- 這是最簡單的考慮方式
- 下面 我想指出函數和逆函數圖像的關係
- 下面 我想指出函數和逆函數圖像的關係
- 我簡單畫一下圖像
- 之後是求解逆函數的各種例子
- 這裡給大家一些總體感受
- 函數從定義域映射到值域
- 而逆函數如果存在 從原來的輸出映射回原來的輸入
- 我畫一下
- 這是坐標軸
- 原函數y=2x+4 y軸截距是4
- 然後斜率是這樣的
- 斜率是2 大概是這樣
- 這就是原函數的樣子
- 那逆函數呢
- 作爲x的函數 它是怎樣的
- 我們解出x 然後交換了x和y
- 寫成了y=f?1(x)
- 所以y軸截距是2 而斜率是1/2
- 斜率大概是這樣
- 直線大概是這樣的
- 兩者有什麽關聯
- 我是說 圖像能否反映出什麽關聯
- 我是說 圖像能否反映出什麽關聯
- 畫出直線y=x後 可能會更明顯一些
- 畫出直線y=x後 可能會更明顯一些
- y=x大概像這樣 用虛線表示
- 可以看到 函數和逆函數
- 關於y=x對稱
- 這說得通
- 考慮一個簡單的例子吧
- 原函數上 f(0)=4
- 函數從0映射到4
- 而逆函數 f?1(4)=0
- 逆函數將4映射到0
- 這正是我們要的
- 原函數從x映射到y
- 然後交換x和y 得到逆函數
- 所以它們關於y=x對稱
- 對於這個示例函數
- 函數將0映射到4 保持顏色一致
- 函數將0映射到4 保持顏色一致
- f(0)=4在圖像上是這樣 從0映射到4
- 而逆函數從4回到0
- f?1將4映射回0 這裡可以看到
- f?1(4)=1/2?4-2=0
- 之後幾節影片將提供一些例子
- 好讓大家理解逆函數並能夠處理相關問題
- 好讓大家理解逆函數並能夠處理相關問題
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