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相關課程
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相關課程
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- 在第一個。。。我把這稱爲
- 第一個真正的 線性代數影片
- 我想向你們介紹一些概念
- 是你們在線代中會經常見到的
- 如果一開始這些概念 沒有得到合理的介紹
- 它們可能會讓人 感到非常困惑
- 希望通過這個影片課程
- 你們會明白
- 它們只是十分簡單的概念
- 在線性代數中 如果有什麽
- 這個領域的“神話人物”的話
- 在某種程度上是 把簡單而淺顯的東西
- 用費解的、錯綜複雜的方式表述出來 的專家
- 但它這麽做是有原因的
- 這賦予了數學的嚴謹
- 我要向你們介紹的第一個概念是
- 實數的集合表示法
- 以及“多維的”實數
- 如果你曾看過這個
- 像這樣 多出一個豎線的R
- 或有時它被寫成 一個粗黑體字的R
- 如果它被印在書上 可能就是個很粗很黑的R
- 這只是表示 所有實數的集合
- 我可能應該制作幾個影片
- 從而把數字分爲實數、複數
- 無理數和有理數 等類別
- 實際上 有非常嚴謹的方法
- 去定義所有實數的集合
- 但對我來說 最簡單的定義是
- 所有非複數的數
- 這和 除了複數以外的所有數
- 是一樣的
- 所以π是實數 e是實數
- √2是實數 3是實數
- -3是實數 -π是實數
- 但1+2i不是實數
- 它不在實數的集合內 這是一個複數
- 所以是 除了複數以外的所有數
- 在你們從我這兒學習之前
- 你們曾經處理過的 這麽多類型的數字
- 就是實數的集合
- 現在 你們會看到的下一個概念。。。
- 當開始討論線性代數時 有人會寫。。。
- 他們不會只寫 實數的集合
- 而會寫 Rn
- 你們可能會說“哎呀 這是什麽？”
- 是以某種方式取
- 所有實數的指數嗎？
- 其實在某種程度上 這就是他們要做的事
- 但在這裡他們會說 取的其實是
- 實數中有序集的集合
- 什麽意思呢？
- 讓我舉個不僅有Rn的例子吧
- 比如 R2是實數所有序列的集合
- 讓我寫出其中一個序列
- 例如 它有一個數
- 還有另一個數
- 所以它是。。。讓我這樣寫
- 我可以用集合的符號來寫
- 它是所有。。。我們將其稱作“數組”的集合
- 有時它又叫 “二元數組”
- 意思是 兩個數的
- 這就是它的意義
- 它只意味著 兩個數的一個序列
- 所以R2是所有有序二元組的集合
- 也就是 所有兩個數的有序集合
- 讓我寫下“有序”這個詞
- 因爲這很重要 二元數組的有序集
- 那麽 舉個例子 這會是。。。
- 嗯 讓我這麽寫吧
- 這會是一個不同的。。。當我說有序
- 我的意思是 這個與那個有本質上的區別
- 這些不是相同的二元數組
- 這裡的每一個都是 二元數組
- 但R2是這樣的二元組集合。。。
- 這條線在這裡表示一種條件
- 或者可能是對於。。。每一個數。。。
- 我會這樣寫
- 我可以寫。。。
- 嗯 我可以用兩種方式來寫
- 但我會從難到易地寫
- 這樣你們就可以習慣它了
- 前提是 xi屬於實數
- 屬於。。。就是這個小符號的意義
- 那麽 每個xi都屬於實數
- xi是什麽意思？
- 嗯 xi指代任何一個x
- 我會寫對於i 少於或等於2
- 大於或等於1 且i是一個整數
- 現在 我可以用大量不同的方式
- 去寫這個
- 我花了這麽多精力來寫它
- 簡直有點愚蠢
- 但我也可以像這樣寫它
- 我可以寫
- R2等於所有有序元組的集合
- x1 x2。。。我可以就這樣寫
- x1 x2都屬於實數
- 我也可以這麽寫
- 這可能是相對簡單的方式
- 但任何方式都好 只要你明白這個概念
- 它是兩個元素的所有組合
- 像我一開始說過的那樣
- 這是一個“平方操作符”
- 那爲什麽它們要 把它寫成上標呢？
- 直覺是 如果你們想起它
- 就會有無窮的實數
- 我不會涉及“可數性”
- 之類的東西 但你們有
- 非常大量的實數
- 但如果說 你們只有n個實數 可以嗎？
- 假設我們不涉及實數了
- 只是爲了討論 舉個例子
- 你們有比如說 100個實數 好嗎？
- 這意味著 這裡有
- 100種可能性
- 而這裡又有另外 100種可能性
- 現在是二元組所有可能性的集合
- 嗯 你們有100×100種可能性 所以
- 你們幾乎有可能性的平方數
- 不管你們的R有多少種可能性
- 對於R2 你們有平方數那麽多的可能性
- 這可能沒什麽意義
- 因爲你們有無窮多的可能性
- 但又有比無窮多得多的可能性
- 你們在這裡有無窮多個可能性
- 在這裡又有無窮多個可能性
- 所以它有比無窮更多的
- 潛在可能性
- 現在 R3是什麽？R3也是一樣
- R3意味著你們會有
- 三個點或者三個數
- 我要小心不說點
- 我們可以標出這些東西 比如說 R2
- R2的點在笛卡爾坐標紙上
- 可以被標出來
- R3的點可以在三維空間中被標出來
- 而R的點 或者我們可以說R1
- 你們也可以在一條數軸上標出來
- 我可以畫一條像這樣的數軸
- 如果我要標出pi 你知道 這是0
- 我只要說 嘿 就在這兒 這是π
- 如果我要標出e 我會說
- 嘿 就在這兒 這是e
- 而如果我要標出1 我會說 嘿 這是1
- 這樣你就可以標出它們了 但我要小心點
- 你們不需要標出它們
- 它們也不需要和圖紙上
- 實際的物理點聯係起來
- 但不管怎樣 當你們說到R3 你們通常
- 只是在談論三個數字的有序集的
- 所有可能性
- 而這三個數字都屬於實數
- 這就是表達的
- 現在 我要向你們介紹
- 向量的另一種定義
- 現在 一個向量 你們之前看到過
- 你們在物理學中見過它 那時你們會說 噢
- 它有大小和方向
- 你們也在微積分中見過它
- 我們標示它的位置
- 但我們現在對向量的定義非常正式
- 非常抽象 而且非常廣泛
- 因爲線性代數的美在於
- 它不僅僅應用於 像物理學這樣的學科
- 它也不僅僅應用於。。。
- 好吧 它在物理學界確實有大量的應用
- 但它不僅僅應用在這裡
- 在線性代數中 你可以把它應用在任何地方
- 它不是只能應用在
- 三維空間的圖像上的
- 以後我們會討論到更多
- 但這就是 我要試著保持相當抽象的原因
- 我要在Rn定義一個向量
- 一個Rn上的向量
- 實際上 讓我仔細一點
- 我還沒有定義Rn
- 我只定義了R2和R3 讓我定義Rn吧
- Rn等於所有n元組
- 有序n元組的集合
- 你們有x1 x2 一直到xn
- 你們會有n個數位
- 所以如果這是100 你們就有100個元素
- 這是一個有序的n元組
- 這是一個有序的n元組 每個xi
- xi是這些當中的一個 它屬於實數
- 那麽這些中的每一個 都會是實數
- 然後對於i來說 是少於
- 或等於n 大於或等於1
- 以上所有都意味著 x1是實數
- x2也是實數
- 一直到xn 都是實數
- Rn是所有這些 可能的有序n元組的集合
- 或者說n個數字的有序集
- 那麽什麽是向量？
- Rn上的向量是什麽呢？
- 嗯 Rn上的向量 其實就是
- 這些n元組中的一個特定值
- 我會把它叫做 n個實數的有序集
- 你們可以用大量不同的方式
- 去表示一個向量
- 你們可以像這樣表示它
- 你們也可以像這樣表示它。。。
- 讓我用大量不同的方式去表示它
- 一個二維的向量 你們可以用
- 比如x1 x2來表示 有點像座標係
- 或許你們可以像這樣 用括號來表示它
- 這只是表示不同
- 也就是用不同的方式去表示
- 同樣的信息 同樣的概念
- 對於我們在線性代數中 談及的大多數內容
- 我們本質上要用這些列來表示它們
- 在不久的將來
- 我們也會用行來表示它們
- 但我接下來要定義 向量
- Rn中的一個向量是一個n元有序組
- 而我定義。。。這是一個例子
- 它是 [v1；v2；......；vn]
- 這些都屬於實數
- 爲了確保你們理解這個表示法
- 或者說專業術語 這裡每一個數
- 都稱作我們向量的一個分量
- 實際上 我想要十分小心
- 因爲當我們寫向量時
- 你們想確保一個 好看的粗體的v
- 將來我不會把任何一個v 寫爲粗體
- 這就是。。。當你們閱讀一本數學書時
- 他們是區分一個向量
- 和一個純量的 對嗎？
- 這些純量並不是粗體
- 而向量符號卻被加粗了
- 現在我要定義兩個Rn上向量的運算
- 我要定義加法
- 而這些是定義
- 我本可以用任意方法定義它們
- 但我覺得你們會發現 這些比較自然
- 所以這些是 定義
- 這些只是人爲的抽象的構造
- 後來變得很有意義
- 所以他們說 嘿 讓我們創造一些定義吧
- 讓我們來定義加法
- 那麽 如果我有一些向量。。。讓我把它寫作
- 一個小寫的a 但它是一個粗體的小寫a
- 然後這等於[a1；a2；。。。
- 這是它所有的元組。。。一直到an]
- 我要加上它
- 接下來是向量b。。。我要
- 把它寫成一個粗體b。。。
- 等於[b1；b2；...；bn]
- 我要把這兩個向量加法
- 定義爲 它們每個元組的總和
- 粗體a 加上粗體b 等於一個新向量
- 你們只要將其 每一個元組加起來
- 它會等於 [(a1+b1)；。。。
- 構成了這個新元組
- 如果你們覺得這有點困惑 只要想想
- 我幾乎是用盡全力去
- 把一些非常簡單的東西 寫得十分複雜
- 如果我有R2上的兩個向量
- 比如說我有向量[2；-1]
- 我想將它加上向量[3；2]
- 我其實只是把 相應的元組加起來
- 所以我把它們的 第一個元組加到一起
- 也就是 2+3=5
- 而 -1+2=1
- 這就是我對屬於實數的
- 向量加法定義
- 現在我要定義的 第二個概念是
- 數乘運算
- 你們可能記得 在物理課上
- 一個純量只是一個普通的數字
- 如果你們 用什麽乘以純量
- 也就是增減而已
- 或許我不應該在定義中 使用同樣的詞
- 但我想要把它定義爲。。。
- 假設c是一個純量
- 注意 我沒有把c加粗
- 那麽 c乘以向量a。。。
- 在這裡我要努力把它加粗。。。
- 會等於 向量a的
- 所有元組乘c
- 所以是 [a1；a2；...；an]
- 它們中的每一個都要乘c
- 這就是我的所有定義。。。
- 每一項都要乘c
- 爲了給你們舉一個 像這樣的例子
- 如果我寫-3 乘以某個向量。。。
- 我會把向量寫在這裡
- 讓我寫一個R3上的向量
- 假設第一個項是π
- 第二個項是-2
- 然後第三個是0
- 這就等於一個新的R3上的向量
- 你們或許可以把它看作 一個三維的向量
- 就是 [-3π；（-3）<i>（-2）=6</i>
- 然後（-3）<i>0=0]</i>
- 它就是這麽簡單
- 他們創造了這個複雜的定義
- 但我認爲它 非常容易計算
- 我將作最後一個定義
- 我會把這稱爲零向量
- 根據我們處於什麽維度
- 它表示 全是0的向量
- 所以Rn上的零向量
- 就是一個所有分量都爲0的向量
- 如果這是Rn 你們就有n個元組
- 這些就是我所有的定義
- 我想在這個影片中
- 給了你們充分的內容去思考
- 在下一個影片中
- 我將展示更加大量的例子
- 實際上我還會畫圖像
- 盡管你們不需要這麽做
- 但這樣可以對它們的意義
- 有進一步直觀的了解