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Linear Algebra: nxn Determinant : Defining the determinant for nxn matrices. An exampled of a 4x4 determinant.
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- 目前爲止我們已經能夠定義
- 2×2矩陣的行列式了
- 這個是我們的定義：ad-bc
- 然後我們能夠把它擴展一點
- 得到定義是
- 3×3矩陣的行列式 我們在這裡做了
- 根本上說 行列式
- 等於這裡每一項
- 你可能叫它們係數
- 乘以這個矩陣的行列式
- 你可以把它看作子矩陣
- 由消掉這個東東所在的行和列産生
- 那麽當你消掉它所在的行列時
- 就剩這個矩陣了
- 我們說這個東東乘以這個的行列式
- 然後我們交換正負號 減去這個
- 乘以這個行列式
- 如果你搬走它的行列
- 那麽這個就剩下這些元素了
- 來算它的行列式
- 最後 你再變一次符號
- 就是加上這個東東乘以這個
- 2×2矩陣的行列式
- 如果你消掉它的行列的話
- 那麽這裡這個東東 是個矩陣
- 現在我們看看能不能把它擴展成
- n×n矩陣的一般形式
- 我們在這裡寫我們的n×n矩陣
- 我用藍色筆寫
- 我們說 一個矩陣A
- 是n×n的 那麽它看起來像這樣
- 這個是a11 這個是a12
- 然後我們一直寫到
- 我們有n列 a1n
- 然後往下走 這個是
- 你的第二行：a21 這個會
- 一直到an1
- 因爲行數也是n
- 然後如果你沿著對角線一直下去
- 這裡就是ann
- 那麽這個就是我的n×n矩陣了
- 現在 在我說明如何找到這個行列式之前
- 我先說另一個定義
- 我們定義 那麽這個是我的矩陣A
- 我定義這個子矩陣Aij是
- 看這個是n×n 對吧？
- 那麽這個是 (n-1)×(n-1) 的矩陣
- 如果這個是7×7的 那麽子矩陣就是
- 6×6 每個方向減去1
- 這個就是 (n-1)×(n-1)矩陣了
- 如果你忽略了 或者拿掉了
- 也許我應該說拿掉
- 還是說忽略了吧 我喜歡這個詞
- 如果你忽略掉第i行 就是這裡這個
- A的第i行和第j列
- 那麽 比如 我們重新回到3×3的矩陣這裡
- 這個東東可以基於這個定義來表示
- 我們可以稱它爲a11
- 就是這一項
- 我們可以這麽表示這個矩陣當你消掉
- 它的第一列和第一行
- 或者說第一行和第一列
- 我們可以這麽叫它
- 我們可以叫它大寫的矩陣A11
- 這個是個大寫的矩陣A11
- 這個是大寫的矩陣A21 而實際上 這個矩陣
- 是C 所以這個是C11
- 我們可以叫這個矩陣C12
- 爲什麽？
- 因爲如果你消掉這個第一行
- 我們消掉第一行 對吧？
- 這個第一項表示你的行數
- 如果你消掉了第一行和第二列
- 這個矩陣就剩下 [2,3；4,1]
- 就是這個東東和這個東東
- 就是 [2,3；4,1]
- 那麽這個是子矩陣C 因爲它是
- 大寫的矩陣C 不過這個是C12
- 我知道這個有點亂
- 這是我們叫它子矩陣的意義
- 跟3×3的例子很像
- 你就是消掉了――那麽如果你要找到
- 這個東東的子矩陣 乘它爲a11
- 而你會擦掉第一行
- 和第一列 剩下所有的東西
- 就是那個子矩陣了
- 現在 根據這個方法
- 我們可以建立一個定義
- 這個看起來可能有點重覆了
- 某種程度上來說是的
- 我們定義det(A)
- 等於――這個很有趣
- 這個實際上是個遞歸定義
- 這個我們馬上會說
- 這個等於――我們從+號開始
- 這個等於a11乘以這個子矩陣
- 如果你移走這個東東所在行列
- 那麽根據定義 這個就是A
- 這個大寫的矩陣A11的行列式
- 這個就是我們做過的
- 讓我把它整理一下
- 那麽乘以這個子矩陣的行列式
- A11的行列式
- 如果你用A11 如果你消掉它的列和行
- 或者說行和列 其它剩下的東西
- 你就找它的行列式
- 實際上我寫成
- 我這麽寫吧
- a11乘以det(A11)
- 然後換個符號
- 我們要開始做這一行
- 然後這個是 -a12
- 乘以這個子矩陣的行列式
- 我們叫它A12
- 我們消掉這一行和這一列
- 然後剩下的所有東西就是矩陣A12了
- 我們要求它的行列式
- 然後我們提取出下一個是a13
- 那麽我們變成了 - 號
- 現在就是+號 那麽是a13乘以
- 這個子矩陣的行列式
- 那麽如果這個是n×n的 這裡每個就是
- (n-1)×(n-1) 的了
- 那麽det(A13)
- 你繼續這麽做下去
- 不停地交換符號 那麽這個就變成
- 一個-號和一個+號
- 然後你持續這樣做下去――然後我不知道
- 這個取決於我們的行列數是
- 奇數還是偶數
- 如果我們做的是偶數行的話
- 這個就是-號
- 如果是奇數行 這個就是+號
- 你知道了
- 這個不是+就是-
- 不僅僅是――如果是奇數 這個就是+號
- 如果n是偶數 這個就是-號
- 一直到a1n 第n列
- 乘以它的子矩陣A1n
- 這個子矩陣 你消掉了第一行
- 和第n列 這個就是所有
- 剩下中間的東西了
- 你馬上可能會說 Sal
- 這個是什麽定義？
- 你定義一個任意的n×n矩陣的行列式
- 用另一個行列式的定義來表示
- 這怎麽能行得通？
- 這個行得通的原因是
- 這個定義裏你用的行列式
- 是一個小一點矩陣的行列式
- 所以這個是
- (n-1)×(n-1)矩陣的行列式
- 然後你說 嘿，Sal
- 這個還是說不通哇
- 因爲我們不知道怎麽找到
- (n-1)×(n-1)矩陣的行列式啊
- 呃 你再用一次這個定義
- 然後這個就變成
- (n-2)×(n-2)的矩陣
- 然後怎麽做？
- 你一直這麽做下去 最後你會得到
- 一直到2×2的矩陣
- 這個我們就已經定義過了
- 我們定義2×2矩陣的行列式
- 不是用行列式表示的
- 我們就是定義它是a乘以...我們定義它
- 我在這上面寫
- 這個是ad-bc
- 你可以看到
- 我的意思是 我們可以一直做到3×3矩陣
- 不過這個2×2矩陣是最基本的定義
- 而你可以看到這個
- 3×3行列式的定義是一個
- n×n一般形式的一種
- 我們用這個東東乘以
- 這裡它的子矩陣的行列式
- 然後我們把這個東東換個符號
- 這裡是-號
- 我們把它乘以
- 它的子矩陣的行列式 這裡這個
- 然後是+號
- 你變換符號然後你把這個東東乘以
- 它的子矩陣的行列式
- 就是這個了
- 那麽我定義的是它的一般形式
- 不過我們知道這個總是不太好
- 如果用抽象的一般形式來看的話
- 我們用個具體的例子來做
- 實際上 在我這麽做之前
- 我先介紹一個東西給你
- 這個叫做遞歸公式
- 如果你的專業是計算機科學
- 你會經常看到它的
- 而一個遞迴函數 或者說遞歸公式
- 是用它自己來定義自身的
- 不過你在定義裏用到的東西
- 是這個東西的稍稍簡化版
- 你一直這麽做下去的話
- 或者說你持續遞歸下去
- 你會得到越來越簡化的式子
- 一直到你得到了最基本的東西
- 在這個例子裏 我們的基礎是
- 2×2矩陣
- 如果你一直做下去 最終
- 你會做到2×2矩陣的行列式
- 我們知道如何求了
- 那麽這個就是遞歸定義
- 不過我們還是實際運用一下 因爲我覺得
- 這樣會更具體
- 那麽我們用――這個會是
- 很大的計算量
- 不過我覺得如果我們夠專心 是可以做到的
- 那麽我們有一個4×4的矩陣 1,2,3,4
- 1,扔個0進去讓計算
- 簡單一點
- 0,1,2,3 然後是 2,3,0,0
- 那麽我們來求求這個東東的行列式
- 這個是矩陣的行列式
- 如果我這裡用中括號的話
- 這個就是矩陣
- 不過我們要求的是矩陣的行列式
- 那麽這個就等於――根據定義
- 這個等於1乘以
- 這個矩陣的行列式
- 如果你消掉這一行和這一列
- 就得到1乘以
- [0,2,0；1,2,3；3,0,0] 的行列式
- 就是這個東西 這個矩陣
- 然後我要提出一個2 不過要變符號
- 那麽這個是-2乘以這個行列式
- 消去這一行和這一列 那麽就是 1,2,0
- 我忽略掉這個0 因爲這個跟2在同一列
- 剩下 |1,2,0；0,2,3；2,0,0|
- 然後再換一下符號
- 這裡是-號 所以這裡是+號
- 然後提出這個 就是+3乘以
- 它的子矩陣的行列式
- 消掉這一行和這一列
- 得到 1,0,0
- 得到 0,1,3
- 每次都跳掉這一列
- 然後得到 2,3,0 就像這樣
- 快好了
- 這列還有一個
- 我再換種顏色
- 我還沒用藍色耶
- 那麽這裡提出來-4
- 記得 這裡是+ - + -4乘以
- 它的子矩陣的行列式
- 這個等於這個東西
- 那麽就是 |1,0,2；0,1,2；2,3,0| 就像這樣
- 現在我們到了3×3的矩陣了
- 我們可以用3×3矩陣的定義 不過
- 我們可以繼續用遞歸定義
- 那麽這個等於 我在這裡寫
- 這個是1乘以――這個行列式是什麽？
- 這個行列式等於 0 乘以
- 子矩陣 [2,3；0,0] 的行列式
- 就是這裡這個
- 然後我們有-2 減去這個2
- 記住 符號是交換的 + - +
- 那麽-2乘以它的子矩陣 就是 |1,3；3,0|
- 最後我們得到 0乘以這個子矩陣
- 即這個 [1,2；3,0]
- 就像這樣
- 然後我們下一個在這裡
- 你可以看到 這個有點無聊
- 不過我們還是繼續吧
- 那麽是 -2<i>(1<i>它的子矩陣)</i></i>
- 就是這裡這個東西
- 乘以 |2,3；0,0|
- 然後-2乘以 消掉這一行
- 和這一列――|0,3；2,0|
- 然後 +0<i>|0,2；2,0|</i>
- 就是這裡這個了
- 做到一半了 至少現在是
- 然後我們得到下面這個 我們得到 +3
- 搬出我們的圓括號
- 然後我們得到1乘以它的子矩陣
- 我想可以叫它子行列式
- 那麽1乘以|1,3；3,0| 對吧？
- 你消掉了它的行列
- 然後就得到這裡這個
- 然後 -0――消掉它的行列――
- 乘以 |0,3；2,0|
- 然後就到 +0
- 乘以 |0,1；2,3|
- 完成四分之三了
- 最後一項
- 我們希望我們還沒犯錯
- -4<i>(1<i>|1,2；3,0| 這裡</i></i>
- -0乘以――去掉那兩個――|0,2；2,0|
- 然後 +2<i>|0,1；2,3| 對吧？</i>
- +2 ――去掉這些東西―― |0,1；2,3|
- 我們定義了 或者說我們計算了 或者說我們定義了
- 這個矩陣的行列式
- 用2×2矩陣的行列式表示的
- 所以希望你在這個例子中看到
- 遞歸是可行的
- 那麽我們現在算一算這個到底等於什麽
- 行列式就是一個數字而已
- 讓我用個激動人心的顏色吧！
- 這個等於0乘以――不用管了
- 0乘以任何東西都是0
- 0乘以任何東西都是0
- 0乘以任何東西都是0
- 0乘以任何東西都是0
- 我在化簡它
- 這些東東等於0因爲是用0來乘的
- 0乘以這個等於0
- 然後剩下的是什麽？
- 這個等於1乘以
- 我們這裡剩下的是-2乘以
- 這個行列式是什麽？
- 這個是 1<i>0=0</i>
- 這個是0 我寫下來
- 這個等於 1<i>0=0</i>
- -3<i>3=0-9 所以是 -9</i>
- 這裡這個就是 -9
- 那麽 -2<i>(-9)</i>
- 這個是第一個 我一會兒再來化簡
- 現在我們先做這一項
- 這個是-2乘以――這個行列式是什麽？
- 是 2<i>0-0<i>3</i></i>
- 就是 0-0
- 所以就是 0
- 這個是 0 那麽我們可以忽略這一項了
- 這裡這項是 0<i>0=0</i>
- -2乘3
- 這個是 -6
- 所以這是-2乘以 那麽這裡是-6
- 你得到-2<i>(-6)=+12</i>
- 那麽這裡寫+12
- 這裡這個-2就是那裏那個-2
- 然後我們有 +3
- 然後這裡第一項是 1<i>0=0 減去</i>
- 這裡我加個圓括號 1<i>0=0</i>
- -3<i>3 等於 -9<i>1</i></i>
- 所以是-9
- 其它都是 0
- 快結束了
- 這裡有個 -4
- 我們看看 這個是 1<i>0=0</i>
- -3<i>2等於6</i>
- 那麽這個是-6
- -6 這個是0
- 然後我們這裡是這個東東
- 我們得到 0<i>3=0 減去 2<i>1</i></i>
- 那就是 -2 然後我們得到-2乘以
- +2 等於-4
- 現在我們要確保
- 我們的運算正確
- 這個是1<i>18=18 對吧？</i>
- -2乘-9
- 這裡這個是24
- 這個是-27
- 然後這個 我看看
- 這個是-10
- 這個是-10
- -4<i>(-10)等於+40</i>
- 我們看看可不可以簡化一點
- 如果化簡這個 我不想
- 在快完的時候出錯
- 那麽18-24 24-18=6
- 所以這個等於-6 對吧？
- 18-24 等於 -6
- 然後 我用綠色來寫――
- 現在有什麽不同？
- 如果我們算 -27+40=13 對吧？
- 這個是 +13
- 那麽 -6+13=7
- 做完了！
- 算了這麽多
- 希望我們沒有出錯
- 這個東東的行列式
- 等於 7
- 它的行列式等於 7
- 那麽一個值得知道的
- 是我們知道這個是可逆的
- 因爲它的行列式不爲0
- 希望你覺得它有用