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相關課程
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- 在上一個影片裏我計算了這個2×3矩陣A
- 我們算出了所有的
- 和這個矩陣有關的次空間
- 我們算出了它的零核空間 它的列空間
- 我們算出了它的轉置的零核空間
- 和它的轉置的列空間
- 你也可以稱之爲左零核空間
- 和行空間
- 或者由A的行向量張成的空間
- 我們在一個地方把它們都寫出來
- 因爲我感覺它們之間沒有連在一起
- 來看看我們是否可以看出來
- 它們是什麽樣子
- 尤其它們之間的關係
- 我複製一下再粘貼一下原始矩陣
- 複製 再滾下來一些
- 在這裡粘貼 點擊粘貼
- 我來看看是否我可以找到線索
- 從上一個影片裏
- 那麽我們在這裡的A的列空間
- 是在這裡的這個東西
- 我來寫出來
- 這是列空間
- 是R2中向量[2;-4]張成的空間
- 複製
- 複製這個再下來
- 點擊粘貼
- 這是列空間
- 我寫下來
- 這是A的列空間
- 它等於這個
- 現在我們還知道什麽？
- 好 我們知道左零核空間是[2;1]張成的空間
- 我寫下來
- 那麽左零核空間
- 或轉置的零核空間
- 無論怎樣 它等於
- 在R2中的向量[2;1]張成的空間 像這樣
- 那麽零核空間是什麽？
- 零核空間已經在上一個影片裏算過了
- 就是這個
- 是這兩個R3中的向量張成的空間
- 我複製粘貼一下
- 點擊複製
- 再往下一點兒
- 再粘貼一下
- 這就是零核空間
- 最後 行空間是什麽？
- 行空間是什麽
- 或轉置的列空間是什麽？
- 轉置的列空間是
- 這個R3中的向量張成的空間
- 就是這個
- 複製張貼一下
- 複製再向下滾動一點兒
- 像這樣粘貼
- 好 我們來看看現在能不能看出來了
- 既然我們都已經把它們寫在了一起
- 所以首先 如果我們想象一種變換 x
- 這個等於Ax
- 這個變換是從什麽變化而來的？
- 這裡x是R3中的向量 所以R3就是定義域
- 所以就是R3上的映射
- 到R2上去
- 因爲我們有兩行 對吧？
- 將一個2×3的矩陣和一個3×1的向量相乘
- 就得到了一個2×1的向量
- 所以就是到R2上的映射
- 這就是上域
- 我們來畫一下定義域和上域
- 我就大概地畫一下
- 你可以想象R3就是定義域
- 而上域是R2
- 而T就是映射 你甚至可以將A想象成是
- 這裡的任意向量和這裡的任意向量之間的映射
- 當你乘它們時
- 現在 A的列空間是什麽？
- 這裡A的列空間是
- 向量[2;-4]張成的空間
- 是R2中的向量
- 是R2中的次空間
- 我們可以寫出來
- 我把它寫下來
- 矩陣A的列空間 這些就是
- 由這個張成的所有向量
- 我們算出來了這些是
- 第一個向量的倍數
- 或者我們可以這樣作
- 我們可以說這個和這個是
- 這個的倍數 都可以
- 但基是這些向量中的一個
- 我們要從這些向量中選一個
- 等於這個
- 列空間是R2中的子集
- 而R2中的子集還有什麽？
- 好 還有左零核空間
- 左零核空間也是R2中的子集
- 那麽我們把它們畫出來 這樣
- 我不太精確 但你可以想象出來
- 來看看 如果我們畫出向量[2;-4]――
- 畫一下坐標軸
- 向下滾動一點兒
- 那麽如果你有某個向量――我畫一下我的――
- 盡量清晰點兒
- 這是垂直的坐標軸
- 這是水平坐標軸
- 然後
- 列空間張成的空間是什麽樣子？
- 畫一下向量[2;-4]
- 這是1 2
- 然後向下1 2 3 4
- 這個向量看起來就像這樣
- 而這個向量張成的空間就是所有的
- 這個向量的倍數
- 你可以說是它的線性組合
- 但你只是取了一個向量的組合
- 所以就是所有的
- 這個向量的倍數
- 所以如果我要把它畫下來的話
- 它就是一條直線
- 它是由所有這個向量的線性組合決定的
- 這個就是
- 矩陣A的列空間的圖示
- 現在 我們來看看A的左零核空間
- 或者你可以想象一下 是轉置的零核空間
- 這是一樣的
- 上一個影片裏你看過了
- 這是什麽樣子？
- 左零核空間是由[2;1]張成的空間
- 所以如果你畫出2 再向上是1
- 這就是[2;1]的圖像 它看起來就像這樣
- 我用另一種顏色
- 這個向量看起來就像這樣
- 這個向量看起來像是這樣 但當然了
- 我們想要這個向量張成的空間
- 就是它的所有組合
- 當你組合一個向量時 你能做的就是
- 和一串純量相乘 所以它就是
- 所有的純量乘以這個向量
- 那麽我們來這樣畫它
- 它就像這樣
- 首先你可能注意到了 我寫下來
- 這是A的左零核空間
- 或是轉置的零核空間
- 這個等於A的左零核空間
- 事實上 因爲我們寫了
- 我們寫了這個關於A轉置
- 它是A轉置的零核空間
- 是A的左零核空間
- 我們寫一下A的列空間
- 也是關於A轉置的
- 這個等於A轉置的行空間 對吧？
- 如果你看看A的行向量
- 它張成的空間裏的所有東西 A的列都是相同於
- A轉置的行的
- 但首先 當我僅僅至少
- 表面上像這樣畫它時 是這兩個空間
- 互相正交
- 它看起來是在R2中的
- 看起來這裡有一個90°的角
- 如果我們要證明這個
- 我們要做的就是取它們的點積
- 好 在列空間中的任意向量 你可以
- 取列空間中的任意向量
- 就等於c<i>[2;-4]</i>
- 那麽我寫下來
- 我要把這個東西向上挪一下
- 向下滾動一點兒
- 比如說v1是列空間中的元素
- 這就意味著 v1等於某個
- 純量乘以列空間中的向量
- 所以就是某個純量乘以這個 或這個的倍數
- 所以我們就說它等於c1<i>[2;-4]</i>
- 這是列空間中的某個元素
- 現在 如果我們要取左零核空間中的某個元素――
- 我們寫在這兒
- 那麽我們就說v2是
- 左零核空間中的某個向量
- 或是在轉置的零核空間中
- 那這個意味著什麽？
- 這意味著 v2等於
- 某個純量乘以
- 左零核空間中[2;1]張成的空間中的向量
- 所以任何列空間中的向量可以被
- 這樣表示
- 左零核空間中的任何向量
- 可以被這樣表示
- 現在 如果取這兩個向量的點積
- 會怎麽樣？
- 我寫在下面
- 我要留出些空間
- 來算R3中的東西
- 但我要取這兩個向量的點積
- 那麽v1?v2等於――
- 我隨便換種顏色――
- 就是c1<i>[2;-4]?c2<i>[2;1]</i></i>
- 然後是純量 我們以前看過這種情況
- 你可以說這個
- 和c1c2<i>[2;-4]?[2;1]相同</i>
- 那這個等於什麽？
- 這就等於c1c2乘以
- 而2<i>2=4 再加上(-4)<i>1 就是-4</i></i>
- 這就等於0
- 所以整個式子就是0
- 這對於任意兩個
- 在列空間和左零核空間中的向量都成立
- 它們是互相正交的
- 所以列空間中的每個元素都是
- 與左零核空間中的每個元素正交的
- 或是說轉置中的零核空間中的元素
- 這就是這個例子中想說的
- 它證明了
- 這總是成立的
- 一個矩陣的列空間
- 它的正交補是左零核空間
- 或是說轉置的零核空間
- 我在下個影片裏證明這一點
- 在下一個影片或是再下一個影片裏
- 但你可以在本影片裏形象地看出來這一點
- 現在我們來畫一下另兩個向量
- 它們是我們此處要處理的
- 那麽我們有零核空間
- 就是這兩個R3中的向量張成的空間
- 這有一點兒難畫
- 這兩個在R3中的向量
- 但這兩個在R3中的向量張成的空間是什麽？
- 是所有這兩個R3中的向量的線性組合
- 就是在R3中的一個平面
- 那麽我要在這裡很一般的樣子畫出來
- 如果大概畫一下它 我看看
- 它就是一個看起來像這樣的在R3中的平面
- 或許我應該在平面中再添幾筆
- 給出一種平面的感覺
- 這是A的零核空間
- 它是由這兩個向量張成的
- 現在 你可以想象這些向量
- 看起來就像――我很一般地把它畫出來
- 但如果你取任何這些向量的線性組合的話
- 你就會得到任何向量
- 它是在這個平面中沿著無數個方向的
- 當然 其中包含原點
- 所有這些都是合理的次空間
- 現在 A的行空間是什麽樣子？
- 或者說 A轉置的列空間是什麽樣子？
- 好 它是這個R3中的向量張成的空間 但我們看看
- 關於R3中的向量的有趣的東西
- 它和這兩個向量有什麽關係？
- 好 你可能沒有立即看出來
- 即使你幾乎看出來了
- 也是忽然明白的
- 這個向量和這兩個向量都正交
- 注意
- 如果你取向量[2;-1;-3]
- 和[1/2;1;0]的點積
- 你得到什麽？
- 你會得到2<i>1/2就是1</i>
- 加上(-1)<i>1 就是-1</i>
- 加上(-3)<i>0 就是0</i>
- 這就是這個向量
- 和這個向量的點積
- 然後 當我取這個和這個的點積時
- 得到了什麽？
- 就得到[3/2;0;1] 點積上――
- 我向下滑一點兒
- 我不想寫得太小――
- 點積上[2;-1;-3]
- 在A的行空間中
- 我寫一下它們張成的空間
- 我可能不應該改變順序
- 但這裡 我將它和這個作點積 然後這裡
- 我將它和這個作點積
- 所以如果你取這個
- 就是3/2<i>2等於3加上0<i>(-1)</i></i>
- 是0 加上1<i>(-3)是-3</i>
- 所以等於0
- 那麽這個向量正交於這兩個向量這一事實
- 也意味著它正交於
- 任何這兩個向量的線性組合
- 或許明白這一點對你很有用
- 那麽我們取某個零核空間中的元素
- 比如說向量v3是零核空間中的元素
- 這就意味著它是
- 這個向量和這個向量的線性組合
- 這是兩個張成空間的向量
- 我已經在上面寫過了
- 這些是兩個張成空間的向量
- 我要向下一點兒
- 我向下滾動一點兒
- 這是兩個張成空間的向量
- 這就意味著 v3可以被寫成
- 這兩個向量的某個線性組合
- 我已經用粉色把它們圈出來了
- 那麽我來寫成a[3/2;0;1]
- 加上b[1/2;1;0]
- 現在 如果我取v3的點積會如何？
- 我將它與任何行空間中的向量作點積？
- 行空間中的任何向量就是
- 這個的倍數
- 這是張成行空間的向量
- 我把它寫下來
- 比如說v4是行空間中的元素
- 就是A轉置的列空間
- 這就意味著 v4等於。。。
- 比如說 某個純量乘向量
- 我總是用了好多c
- 我來用d
- 比如說是d乘以張成空間的向量
- 就是d乘以[2;-1;3]
- 那麽v3是什麽？
- 它就是任何一個零核空間中的向量 再與v4作點積
- v4是行空間中的任何向量
- 這個等於什麽？
- 這個等於這個
- 我寫成這樣
- 即a[3/2;0;1]+b[1/2;1;0]
- 與這個作點積 與d[2;-1;3]作點積
- 現在 這個等於什麽？
- 好 我們知道所有這些性質
- 關於向量點積的
- 我們可以分配它 再將純量提出來
- 那麽這個就等於――
- 我豎鍛幾步
- 它等於――
- 即ad乘以 [3/2;0;1]?[2;-1;3]――
- 就是將它分配出來
- 加上bd乘以[1/2;1;0]
- 與[2;-1;3]的點積
- 這就是點積
- 我將這一項分配出來
- 從這裡的這兩項
- 我們已經知道了
- 這個點積等於什麽
- 我們在這裡寫過了
- 這個點積就是這個點積
- 我只是改變了一下順序 所以這個等於0
- 而這個點積就是這個點積
- 所以這個等於0
- 所以你取行空間中的任意向量
- 將它與零核空間中的任意向量作點積
- 就得到了0
- 或是說行空間中的任何向量
- 正交於零核空間中的任何元素
- 這些都是要幫助你們 更形象化地明白這一點
- 所以我們知道了任何行空間中的向量
- 就是張成空間的這個向量
- 正交於任何零核空間中的向量
- 所以行空間 就是R3中的直線
- 因爲它是一個向量的倍數
- 它看起來就像這樣
- 它是直線
- 然後向後延伸
- 你看不見它
- 它看起來就像這樣
- 但它是正交的
- 我畫一下
- 所以這個粉色的線是在R3中的
- 這就是A的行空間
- 等於A的轉置的列空間
- 因爲矩陣A的行就是
- 矩陣A的轉置的列
- 行空間就是
- 由行向量張成的空間
- 然後這個就是A的零核空間 就是一個平面
- 它是由R3中的兩個向量張成的
- 或者我們也可以稱之爲
- 矩陣A轉置的左零核空間
- 在以前的影片裏 我沒用過這個術語
- 但它是對稱的 對吧？
- 如果矩陣A轉置的零核空間是
- 矩陣A的左零核空間
- 那麽矩陣A的零核空間就是
- 矩陣A轉置的左零核空間
- 這是一個很有趣的副產物
- 注意到你得到了A的行空間
- 正交於A的零核空間
- 而這裡 你得到了A轉置的行空間
- 正交於A轉置的零核空間
- 或者你也可以說是A的左零核空間
- 正交於A的列空間
- 或者你也可以說A轉置的左零核空間
- 正交於A轉置的列空間
- 這是很有趣的結論
- 正如我說的 這個看起來
- 這些是正交的
- 這些確實是正交的
- 這並不奇怪
- 在下一個影片或下兩個影片裏 我要講解這個空間
- 這個粉色的空間
- 是這個零核空間的正交補
- 這就意味著 它表示所有這樣的向量
- 它們與零核空間正交
- 而這兩個東西
- 互爲正交補
- 它們都表示所有的這樣的向量
- 它們與另外一個正交
- 在它們各自的空間中
初次見面
好像又更了解你一點了
要常常來找我玩喔！
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