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Linear Algebra: Parametric Representations of Lines : Linear Algebra: Parametric Representations of Lines in R2 and R3
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- 我們已經學習了一些線性代數的知識
- 你可能會想
- 有些你已經學過的方法
- 使用起來令人頭疼
- 你已經學習過向量
- 我猜有些人已經在
- 微積分課程或者微積分預備課程上
- 接觸過向量
- 在本節課中我希望用
- 你從來沒見過的方法
- 處理線性代數中的問題
- 如果你沒有看過這個影片的話
- 接受起來將會有些困難
- 下面開始講解
- 如何用不同的方法
- 解決已經學過的東西
- 我先定義一些向量
- 我不把它們加粗
- 而是在頭頂上畫一個箭頭
- 定義向量――
- 我可以在上方加一個箭頭
- 也可以將它加粗
- 我要在平面上
- 定義向量
- 假設定義行向量[2,1]
- 如果把它畫在標準位置
- 它就像這樣
- 向右2個單位 向上1個單位
- 這就是向量v
- 我還要問
- 我們能夠建立的所有向量是什麽？
- 我來定義一個集合
- 定義集合 S 它表示――
- 我可能建立的所有向量
- 如果我用某個常數乘以v
- 也就是用一個純量
- 乘以向量v
- 我應該寫得規範一些
- 其中c是實數
- 那麽如何用圖像表示這個集合呢？
- 如果把它們畫在標準位置
- c是任意的實數
- 如果做乘法 可令c=2
- 如果c=2 我這麽來做
- 我用2乘以向量v
- 得到向量[4,2]
- 我把它畫標準位置
- 它在這裡
- 就是這個向量
- 它與第一個向量共線
- 它們在一條直線上
- 但是多向前延伸了一倍的距離
- 我還可以再做一個向量
- 比如1.5v
- 換一種顏色
- 它是多少呢？
- 1.5<i>2等於3 從而就是[3,1.5]</i>
- 這個向量在哪裏呢？
- 向上1.5個單位 向右3個單位
- 就到了這一點
- 我可以對向量乘以任何數
- 可以用1.4999乘以v
- 端點就在這裡
- 我也可以做0.0001v
- 我寫下來
- 我可以做0.0001v
- 結果如何呢？
- 得到的向量非常小 就在這裡
- 如果乘以-0.01
- 就得到反方向的
- 非常小的向量
- 如果乘以-10
- 就得到了這個方向的向量
- 走勢就像這樣
- 你可以推想
- 如果把所有的向量畫在座標係中
- 我可以用任何實數c
- 來表示它們
- 我會得到――
- 我最終會得到一堆向量
- 它們箭頭所指的方向
- 都沿著這條直線
- 也包括負方向――
- 我確認一下畫得是否合理――
- 沿著這條直線
- 我想你應該明白我的意思
- 這是共線的向量的集合
- 我寫下來
- 如果把它們看做位置向量
- 那麽這個向量就代表平面上的一點――
- 平面空間R2
- 就是所謂的笛卡爾平面――
- 如果把這個向量看做位置向量――
- 我寫下來――
- 如果把它看做R2中坐標
- 那麽對於這個集合
- 如果把它看做是位置向量的集合
- 它就代表這一整條直線
- 這是我要強調的一點
- 因爲它是斜率爲2的直線
- 對嗎？
- 抱歉 斜率爲1/2
- 向上1個單位
- 向右2個單位
- 我不想用代數1課程中
- 所使用的記號
- 但我要在這個過原點的斜率爲2的直線上
- 取一個點
- 如果要用標準形式寫出
- 集合所表示的向量
- 或者說如果把它們看做位置向量
- 如果沒有作解釋
- 也沒有限制條件
- 那麽我可以把向量畫在任何位置 對嗎？
- 因爲這是向量[4,2]
- 我可以把它畫在這
- 可以說它與原向量是共線的
- 雖然看起來不是那麽明顯
- 但是如果你把它
- 用標準形式畫出
- 那麽共線就是一目了然的了
- 即所有的向量從原點出發
- 它們的尾巴在原點上
- 頭部向外延伸
- 直到終點
- 這就是我所說的位置向量
- 它們不必須是位置向量
- 但是在我們的影片中
- 我們還是默認向量都是位置向量
- 現在我可以只用向量表示了
- 過原點的斜率固定的直線
- 你大概能看出來
- 這個向量表示了直線的斜率
- 可以把它看做是斜率向量
- 你可以將它
- 與代數1課程中的內容結合
- 那麽如何表示
- 斜率相同的其他直線呢？
- 如何表示
- 與之平行的直線――
- 它經過一點
- 即點(2,4)
- 我們用位置向量考慮
- 這一點可以用向量來表示
- 令它爲x
- 用向量x表示它
- 向量x等於[2,4]
- 就是這個點
- 如何表示與原直線平行
- 且經過點(2,4)的直線呢？
- 即我要表示的是這條直線
- 我盡可能畫的平行
- 我想你能明白我的意思
- 它就是沿著這個方向延伸
- 兩條直線是平行的
- 如何用集合表示所有這些
- 以標準形式寫出的向量
- 或者說對於所有的向量
- 如果它們是以標準形式寫出的
- 如何表示出這條直線？
- 你可以這麽來想
- 如果每一個向量都表示這條直線
- 如果從這條直線上的任一個向量出發
- 將其加上向量x
- 我就會在這條直線上得到
- 我想要的相應的點
- 對嗎？
- 比如說用-2乘以原向量
- 即用-2乘以v 等於什麽？
- 得到結果[-4,-2]
- 但是如果再加上x
- 如果再加上向量x
- 用-2乘以向量v
- 再加上x
- 即加上向量[2,4]
- 從這裡向右2個單位 向上4個單位
- 到了這裡
- 形象地說 就是首尾相接
- 最後走到這
- 最後的多重點是這裡
- 當定義集合S
- 爲所有點的集合
- 這些點是用純量乘以v得到的
- 我們得到了過原點的直線
- 現在我定義另一個集合
- 定義集合L 也許代表直線
- 它是一些向量的結合
- 其中向量x
- 我可以把它加粗 或者在上面加個箭頭
- 加上一個純量――可以用c
- 但這裡我使用t
- 因爲這是一種
- 直線的參數化方法――
- 加上一個純量t乘以向量v
- 這裡t可以是任意實數
- 這是什麽呢？
- 它將是這條藍色的直線
- 如果我把向量畫在
- 標準位置的話
- 就得到了藍色的直線
- 例如 取t=-2
- 乘以向量v 就到了這裡
- 再加上x 又到了這裡
- 所以這裡的這個向量
- 其終點在這――
- 其終點在那條直線上
- 這總可以做到
- 如果取這個向量
- 這是一個純量乘以向量v
- 再加上x 最終得到這個向量
- 如果將它看做位置向量
- 它的終點決定了xy平面上的一些坐標
- 【聽不清】
- 因此我可以得到任何向量
- 這是一個向量的集合
- 所有這些向量都指向――
- 它們本質上具有方向性――
- 當我用標準形式畫出它們時
- 如果用標準形式畫出――
- 它們將指向藍色直線上的一點
- 這時你可能會說
- 這樣定義直線有些繁瑣
- 在代數1課程中是這樣定義直線的
- 即y=mx+b
- 從中可以由兩點之間的關係
- 得到斜率
- 還有可以做一些替換
- 這些內容都是七到八年級學習的內容
- 這些內容很簡單
- 爲什麽我要定義這個複雜的集合
- 並要求大家用集合和向量
- 的方式思考問題？
- 原因在於 這樣具有一般性
- 這種方法在平面R2中很有效
- 在R2中它很好用
- 我們只需考慮x坐標和y坐標
- 但是對於這種情形
- 注意到在代數課上
- 老師並沒有講得很深
- 至少在I中是這樣的
- 老師沒有講如何在三維空間中表示直線
- 也許有些課中講到了
- 但是其中沒有告訴你
- 如何在四維空間 甚至一百維空間中
- 表示直線
- 這就是我們要研究的
- 在這裡 我定義了R2中的向量x和v
- 它們是二維向量
- 但是我們可以把它們擴充成任意維數的
- 現在說到關鍵了
- 我們再舉幾個R2空間中的例子
- 這是經典的代數問題
- 即求出直線的方程
- 但在這裡 我們稱之爲
- 直線的集合定義
- 假設有兩個向量
- 已知向量a 把它定義成――
- 比如說是[2,1]
- 把它寫作標準形式就是[2,1]
- 這是向量a
- 又已知向量b 定義向量b
- 把它定義爲
- 假設是[0,3]
- 這是向量b――
- 不用向右移 只需向上即可
- 向量b就像這樣
- 它們都是位置向量
- 都是標準形式
- 當把它們寫成標準形式時
- 向量的終點就表示位置
- 所以也可以把它們看做是R2中的點
- 這是R2
- 這些都是R2中的坐標軸
- 現在我讓你求
- 過這兩點的直線的
- 參數化形式
- 本質上就是求方程――
- 聯係代數1課程中的知識――
- 我就是要求過這兩點的
- 直線的方程
- 經典的方法是
- 需要求出斜率這些量
- 然後代回原式
- 但是用本節課的方法
- 過這兩點的直線――
- 可以說兩個向量――
- 這兩個向量都在這條直線上
- 那麽什麽向量可以表示這條直線呢？
- 更確切地說 哪個向量……
- 如果任取一個純量――
- 哪個向量可以表示直線上的任意向量
- 我這麽來做
- 如果我取―― 這個向量b――
- 如果取b-a
- 我們在之前的影片中學過
- b-a就在這裡
- 得到兩個向量之差
- 這是向量b減去向量a
- 思考一下
- 需要對a加上多少才能得到b？
- 要加上b-a
- 如果得到向量b-a――
- 我們知道怎麽做
- 就是兩個向量相減
- 然後乘以任意一個純量
- 從而就能得到直線上的任一點
- 我們要仔細一些
- 如果對取純量t
- 乘以向量b-a
- 能得到什麽？
- b-a就像這樣
- 如果把它寫成標準形式――
- 注意是標準形式
- b-a就像這樣
- 對嗎？
- 它從0出發 與這個向量平行
- 從0開始 到終點結束
- 如果用某個純量乘以b-a
- 我們會得到在這條直線上的
- 點或者向量
- 而原向量在另一條直線上
- 這不是我們的最終目的
- 我們要得到這條直線方程
- 或者說對其參數化
- 令這個集合爲L
- 我們想知道另一個集合等於什麽
- 要知道結果 我們要從這裡出發
- 就是這條直線 我們要將它平移
- 我們可以直接將它向上平移
- 也可以加上一個向量b
- 可以取這條直線
- 將它加上向量b
- 從而這裡的任何點
- 在那都有一個對應的點
- 當加上向量b時 實質上就是做平移
- 這行的通
- 我們可以加上向量b
- 現在所有這些向量 對於任意的――
- t是一個實數
- 這些向量都會落在綠色的直線上
- 另一種選擇是
- 可以加上向量a
- 向量a能取到這裡的任何點
- 並進行這樣的平移 對嗎？
- 可以加上向量a
- 不論哪個方法
- 都會得到要求的綠色的直線
- 所以可以定義它爲
- 向量a加上這條直線構成的集合
- 事實上是tb-a
- 其中t是實數
- 因此所求直線的定義就是
- 二者之一
- 所求直線可以表示成這個集合
- 也可以表示成這個集合
- 這些看起來有些抽象
- 當代入具體數值處理時
- 就會變得很簡單
- 它比代數1課程中的方法簡單多了
- 固定a和b 對於這個集合L
- 我們把它寫出來
- 所求直線等於―― 我用第一個例子
- 這個是向量b 它是[0,3]加上
- t乘以(b-a)
- b-a是多少？
- 0-2等於2 3-1等於2
- t是一個實數
- 如果對於這個集合
- 你看起來還是很暈
- 我可以將它寫成
- 便於理解的形式
- 下面要描點 稱這個是y軸
- 這個是x軸
- 稱這個x坐標
- 這個也是x坐標
- 這個是y坐標
- 然後建立方程
- 這個是x方向上的距離
- 這個是x坐標 這個是y坐標
- 事實上 無論如何――
- 這裡我們要仔細一些
- 這裡最終會得到
- 某個向量[l1,l2]
- 對嗎？
- 這是一個向量的集合
- 集合中的任何成員
- 都像這樣
- 將它設爲Li
- 這個是x坐標
- 這個是y坐標
- 我要把它化作便於理解的形式
- 這個l就是
- x+t(b-a)構成的集合
- 如果要寫成參數的形式
- 我們可以說
- 這一項決定了x坐標
- 我們推出x=0+t<i>(-2)</i>
- 或者說-2倍的t
- 然後是y坐標
- 這一項決定了y坐標
- y等於3+2t
- 我們重新寫出這個方程
- 其中x=-2t
- 並且y=2t+3
- 如果你看了關於參數方程的影片
- 這個就是關於這條直線的
- 習慣的參數定義
- 現在你也許還認爲
- 這麽做是浪費時間 使問題複雜化了
- 你需要定義這些集合等所有的量
- 但現在我要介紹一些――
- 除非你以前見到過
- 我認爲這是有用的
- 在之前的代數課上
- 你可能沒有學過
- 假設有兩個點
- 要在三維空間中處理
- 已知一個向量
- 稱其爲點1
- 因爲這些是位置向量
- 所以就稱它爲位置1
- 這是在三維空間中
- 取一些數值 比如-1 2 7
- 又已知點2
- 還是在三維空間中
- 所以要具體指定三個坐標軸
- 它們是x軸 y軸 z軸
- 隨機取點2
- 比如0 3 4
- 現在要確定R3中
- 過這兩點的直線的方程
- 這是在R3中
- 我之前說過這條直線的方程――
- 我要稱這條直線 或者是它的集合
- 稱之爲L
- 它等於――
- 我們先選一個點 比如P1
- 向量P1 要注意這些都是向量
- 向量P1加上隨機的參數t
- t可以是時間
- 就像第一次學習參數方程時
- 要乘以兩個向量的差
- 乘以P1 順序先後沒有關係
- 這很完美
- P1減P2
- 也可以是P2減P1――
- 因爲它可以取任何正值或負值――
- 其中t是實數
- 我們代入這些數
- 將它們代進去
- P1-P2是多少？
- P1-P2等於―― 我需要一些空間
- P1-P2等於 -1-0等於-1
- 2-3等於-1
- 7-4等於3
- 結果就是這個向量
- 從而所求直線可以用向量的集合來描述
- 如果在標準位置作圖
- 就會是這個位置向量的集合
- 結果是P1―― 我來換成綠色――
- 會是[-1,2,7]
- 這裡也可以用P2 同樣很簡單――
- 再加上t<i>[-1,-1,3]</i>
- 其中t是實數
- 現在的結果還不能令我們滿意
- 如何在三維空間中把它畫出來呢？
- x軸 y軸 z軸在哪裏？
- 如果要考慮x軸 y軸 z軸
- 假設這是z軸
- 這是x軸 這是y軸
- y軸穿過黑板
- 從這穿出來
- 現在怎麽做
- 我大概不用畫
- x坐標是由方程決定的
- 按照慣例
- x軸的部分是這幾項
- 我們可以寫出x―― 我寫下來
- 這幾項決定了x坐標
- 寫出x=-1――
- 我要注意顏色――
- 加上-1<i>t</i>
- 這是x坐標
- y坐標是由
- 這部分向量決定的
- 因爲這些是y坐標
- 我們就知道y坐標等於――
- 我這樣寫――
- 即2+(-1)<i>t</i>
- 最後
- z坐標由這項決定
- 還是有t t乘3――
- 我可以把t代入每一項
- 所以z坐標等於7加上t乘3
- 或者說加上3t
- 我們得到了三個參數方程
- 當我們在R2中處理時 我得到了參數方程
- 而我們在代數1課程中學過
- 可以用x表示u
- 不用非要得到參數方程
- 但是在R3中處理問題時
- 定義直線的唯一方法
- 就是使用參數方程
- 如果有關於x y和z的方程
- 如果已知x+y+z等於某個數值
- 這不是一條直線
- 關於這點我們會再討論
- 它其實是一個平面
- 在三維空間中
- 定義曲線的唯一方法
- 如果要描述蒼蠅在三維空間中的
- 飛行軌迹
- 就需要用參數方程
- 設想在三維空間中發射一顆子彈
- 它沿直線飛行
- 也要用參數方程來描述
- 對於這些―― 我猜你可以說出它――
- 它們是表示三維空間中的直線的方程
- 希望你覺得它有趣
- 我相信在這個影片中
- 你會領略到
- 之前沒有見過的
- 用線性代數解決問題的新方法
- 我們不應只停留在三維
- 這裡的三個坐標
- 我們同樣可以處理50維的問題
- 我們可以定義50維空間中的直線――
- 或者以向量的集合形式表示的直線
- 那兩個點也可以是在50維空間中――
- 不過這個不容易想象
- 但是數學上是可操作的