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Linear Algebra: Projections onto Subspaces : Projections onto subspaces
相關課程
- 幾節課之前我們介紹了投影的概念
- 在課上
- 我們處理的是通過原點的
- 直線的投影
- 如果已知一條直線―― 令其爲L――
- 假設L的等於某個向量v張成的線性空間
- 或者可以說
- L等於所有v的倍數的集合
- 其中的純量係數爲實數
- 這都是過原點的直線的
- 表示方法
- 我們定義了這條直線上的一個投影
- 我來畫出來
- 畫一些坐標軸
- 這個是――
- 我要畫得直一些――
- 這是豎直的坐標軸 這是水平的坐標軸
- 就像這樣
- 假設有一些通過原點的直線
- 比如說―― 這個不過原點――
- 假設這是一條
- 過原點的直線
- 它是L
- 從直觀上 我們知道
- 向量x在L上的投影――
- 假設這是向量x
- 直觀上 如果畫出――
- 如果有一束光透射下來
- 那麽x會在L形成一個影子
- 就在這裡
- 這就是向量x映到直線L上的投影
- 我們更正式地定義了它
- 我們要取一個垂直的……
- 我們知道x減去x在L上的投影
- 得到的向量垂直於直線L
- 或者說垂直於――
- 正交於―― L上的任何向量
- 這是從直觀上來考慮
- 這是向量在直線L上的投影
- 這是映射的一種特殊情況
- 你可能注意到了L是一個有效的次空間
- 你可以自己證明
- 它含有0向量
- 它通過原點
- 對加法封閉――
- 其中的任一向量加上另一個向量
- 結果還在這個空間中
- 它對數乘也封閉――
- 將其中的一個向量進行放縮
- 結果還在L中
- 我們定義的是一個次空間
- 作爲一個小提醒
- 我們能夠給指出
- 對於某個直線L的映射是什麽
- 如果有一些空間向量
- 這條過原點的直線L上的投影
- 作用於向量x
- 我們可以求出
- 它等於x點乘張成這個空間的向量v
- 即x・v/v・v
- 這其實是v的長度的平方
- 這些都是數值
- 並且你希望其方向與直線一致
- 它是直線上的另一條向量
- 所以要再乘以向量v
- 這其實就是張成這個空間的向量的
- 一個放縮
- 也許空間向量是這樣的
- 從而直線上的任何向量
- 都可以看作是空間向量
- 除了0向量以外的任何向量
- 這是直線上的一個投影
- 是一類特殊的次空間
- 現在我們要擴展
- 對次空間投影的定義
- 我們已經知道――
- 我畫一個分割線
- 來表明我們要做一些不同的事情――
- 如果V是Rn的一個次空間
- 那麽V的補也是Rn的一個次空間
- 即V的正交補也是一個次空間
- 假設有一些向量
- 我這麽來寫
- 如果已知這兩個次空間――
- 一個是這個次空間
- 還有一個是其正交補――
- 如果我們已知Rn中的任何向量――
- 假設x是Rn中的向量――
- 那麽x就可以表示成
- V中的一個元素與V⊥中的一個元素的和
- 其中―― 我寫出來――
- 向量v屬於次空間V
- 向量w
- 屬於次空間V的正交補
- 就像這樣
- 前幾節課我們學過
- 我們證明過這對Rn中的任何元素成立
- 由此 我們可以定義
- x在次空間V上的投影等於
- 對於x的一部分――
- 這是x中相互正交的兩個向量――
- 我們定義V上的投影
- 爲向量x的v的部分
- 它就等於向量v
- 或者可以說
- x在正交補空間上的投影――
- 抱歉 我寫成轉置了――
- 在V的正交補上的投影等於w
- 所以這一項
- 就是次空間V上的投影
- 這一項就是
- 在次空間V的正交補上的投影
- 本節課我要做的就是
- 講解這兩個定義――
- 就是這裡這個定義
- 它與這個向量有關――
- 它等價於這裡的內容
- 如果次空間V是一條直線的話
- 因爲這是一個有效次空間
- 但不是所有的次空間都是直線
- 爲了說明這一點
- 我們可以複習一下學過的例子
- 幾節課之前 已知這個矩陣A
- 這是一個2×2的矩陣
- 還已知另一個向量b
- 它屬於A的列空間
- 通過這個問題我們證明了
- 這個方程的最小的解
- 是行空間中的唯一的元素
- 希望你能夠回憶起
- 我們第一次做這道題時的情形
- 我來作圖並告訴大家
- 這個問題的解可以簡單地
- 通過取次空間上的投影得到
- 我來作圖描述這個問題
- 這也可以使你回憶起這個問題
- 畫出坐標軸
- 我們知道的第一件事是――
- 你可以解出它
- 這我以前已經做過了
- 應該是兩三節課之前――
- A的零核空間
- 或者說所有滿足Ax=0的x
- 是由向量[2,3]張成的空間
- 向右2個單位
- 1個 2個
- 然後向上3個單位
- 1個 2個 3個
- 這就是這個向量張成的空間
- 它張成的空間就是這所有的點
- 這個向測定工具體指定了這個點
- 如果將這個向量放縮
- 就指定了這條直線上的所有點
- 直線上的所有點
- 我這麽來畫
- 很好
- 這個尾部不應該有彎曲
- 我來畫得直一點
- 這是零核空間
- 這是矩陣的零核空間
- 於是其行空間
- 就是向量[3,-2]張成的空間
- 它就在這
- [3,-2]是第一行
- 這個向量是另一個的倍數
- 這就是爲什麽沒有在張成的空間中
- 寫出這個向量
- 如果要畫出[3,-2]
- 向右3個單位 向下2個單位
- 這就是這個向量張成的空間
- 我這麽來畫
- 現在去這個向量的所有常數倍
- 並將結果寫作標準位置
- 它們就指定了
- 或者說這些向量的末端
- 就指向這條直線上的每一點
- 沿著這條直線上每一點
- 我要確定我畫的是垂直的
- 這就是行空間
- 這個是A的行空間
- 它就等於
- A'的列空間
- 我們知道
- 二者互爲正交補
- 我們在很多影片中都見過
- A的零核空間
- 是其行空間的正交補
- 我們還知道零核空間的正交補
- 等於列空間
- 這個空間中的所有向量
- 都正交於那個空間中的所有向量
- 而那個空間中的所有向量
- 都正交於這個空間中的所有向量
- 你可以從這個圖中看出來
- 這兩個空間
- 由這些經過原點的
- 相互正交的直線表示
- 它們是有意義的――
- 我們在影片開始時講過――
- 本題中R2中的任何向量
- 都可以表示成
- 行空間中一個唯一向量
- 與正交補空間中的唯一的向量的和
- 假設已知這個點
- 我應該如何把它表示成
- 這個空間中的向量與那個空間中的向量的和？
- 如果沿著這條直線
- 就得到這個向量
- 我得到沿著這條直線的這個向量
- 我還已知這個向量
- 如果將它平移――
- 它處於標準位置
- 我可以將一個向量畫在任意的位置
- 這些直線
- 就是處於標準位置的向量
- 它們的尾部在原點
- 我們學過
- 在介紹向量的第一部或第二部影片
- 我可以將它們畫在任意位置
- 如果將這兩個向量相加
- 我可以平移這個向量
- 將它平移到這
- 就得到這個向量
- 取R2中的任意一點
- 我可以將它表示成
- 行空間中的向量
- 與零核空間的正交補
- 或者說零核空間中的向量之和
- 僅僅是爲了複習
- 我們本來要做的是
- 考慮這個方程的解集
- 其解集就像這樣
- 它是由一個特解
- 加上零核空間中的向量
- 即加上其次解構成的
- 我們在幾節課之前學過
- 從而[3,0]―― 就像這樣――
- 加上零核空間中的向量
- 所以解集就與這條直線平行
- 但是向右移動了3個單位
- 它就像―― 我畫得簡潔一些――
- 畫成這樣
- 它向下延伸
- 還有一部分我沒畫出來―― 走你
- 還是不行
- 我可能太吹毛求疵了
- 這就是解集
- 如果你還記得前幾次影片中所講的
- 這個解集中存在某個向量
- 它同時也屬於行空間
- 這個解集中的向量
- 同時屬於行空間
- 它是長度最短的解
- 我們可以從圖像上看
- 它在這裡
- 對嗎？
- 就是這個向量
- 它在行空間中
- 它屬於行空間
- 它也指定了解集中的一個點
- 可以直觀地看出來
- 它是長度最短的解
- 你可以這麽來考慮
- 這是個投影――
- 我換一個好的顏色――
- 解集中的任何解――
- 我們看這裡――
- 假設這是解集中的
- 某個任意的向量
- 對嗎？
- 它是R2中的一點
- R2中的任一點都可以表示成
- 行空間中的某個向量
- 與零核空間中的某個向量之和
- 如果已知這個向量
- 我應該怎麽處理？
- 我可以將它表示成
- 這個向量與這個向量之和
- 這裡的這個向量
- 而這個向量
- 顯然屬於零核空間
- 我只是將它平移了
- 我把這條直線畫在了標準位置
- 這個向量――
- 我只是將它與其他向量首尾相接――
- 如果將這個行空間中的向量
- 加上零核空間中的向量
- 就得到解集中的任意解
- 你可以思考一下 任意一個解向量
- 在行空間上的投影就是這個向量
- 這是由於――
- 這有兩種考慮方式――
- 對於這裡的這個解
- 我們知道這個解
- 等於行空間中的向量
- 加上零核空間中的向量
- 這是行空間
- 這是零核空間
- 由我給出的
- 次空間上投影的定義
- 我們知道這個解的投影――
- 我要寫出下標――
- 在行空間上的投影
- 等於這第一個向量
- 它等於在行空間中的分量
- 我們稱另外一個分量
- 屬於行空間的正交補
- 或者說屬於零核空間
- 所以這項就等於向量r
- 我要闡明這本質上
- 與我們學過的定義相同
- 這與一條直線上的投影的定義
- 完全相同
- 因爲在這種情況下次空間就是一條直線
- 我們來求解集
- 最簡單的解集是
- 如果取c=0
- 我們知道x=[3,0]是其中的一個解
- x=[3,0]就像這樣
- 我們知道x=[3,0]是一個解
- 我們要做的是
- 找到最小的解
- 或者說我們要求
- x在行空間上的投影
- 如果需要的話 我們也可以
- 把它看成是x在這條直線上的投影
- 這條直線表示行空間
- 我們來做一下
- 我這麽做是爲了告訴大家
- 一個次空間上投影的定義
- 我剛剛也介紹過
- 它與定義完全“相同”
- 或者不用“相同”這個詞
- 我們說它與直線上的投影的
- 定義是一致的
- 雖然這個更具有一般性
- 因爲一個次空間不一定非得是直線
- 但在本題中它是一條直線
- 我們來做一下
- 向量[3,0]在行空間上的投影
- 行空間用一條直線表示 我們可以用那個公式
- 它等於[3,0]點乘
- 張成行空間的向量
- 點乘張成行空間的向量
- 這是向量[3,-2]
- 有許多向量都能張成行空間
- 我們只是隨便取其中一個
- 點乘[3,-2] 再除以
- 張成空間的向量與自身的點積
- 即[3,-2]・[3,-2]
- 這個整體是一個純量
- 然後我們再乘以――
- 本質上是做一個放縮――
- 乘以這個張成空間的向量
- 這就是解在行空間上的
- 投影
- 得出的結果是這個向量
- 因爲我們剛剛取了在直線上的投影
- 因爲行空間在這裡用直線來表示
- 從而我們就使用了線性投影
- 我想我第一次介紹這個術語
- 是在開始將線性變換的時候
- 我們來計算 這是3<i>3+0<i>(-2)</i></i>
- 這裡等於9
- 這是3<i>3+(-2)<i>(-2)</i></i>
- 就是9+4
- 等於13
- 從而得9/13乘以這個向量
- 就是9/13乘以
- 向量[3,-2]
- 就等於向量[27/13,-18/13]
- 也就是這個向量
- 我們在第一次做的時候就得出了這個結果
- 雖然那時我們沒有用到直線上的投影
- 但現在我們發現這種方法
- 與之前用的方法得出了一致的結論
- 我們剛剛用的是直線上的投影
- 我們發現它與投影的廣義定義
- 得出一致的結論
- 我們能夠處理它是因爲取了直線上的投影
- 但這裡我聲明的是次空間上的投影
- 我們知道對於直線如何處理
- 但我已經將它定義在
- 任意空間上
- 我還沒有給出數學上的說明
- 以及在非直線情形下的
- 處理方法
- 事實上 我還沒有說明對於一般的情況
- 這項是否一定是一個線性變換
- 我們知道當取直線上的投影時
- 這項是一個線性變換
- 但我沒有告訴大家
- 當取的是任意的次空間是
- 這項是否還是一個線性變換
- 我會在下次課中予以說明
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