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Linear Algebra: Proof of formula for determining Eigenvalues : Proof of formula for determining Eigenvalues
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- 我有一個變換T
- 比方說是一個從Rn到Rn的映射
- 而且它可以用矩陣A表示
- 那麽x的這個變換就等於Ax
- 我們在上次影片中看到
- 找尋這樣的向量是件很有意思的事
- 它們滿足在變換下只是比例的變大或變小
- 因此我們關心這樣的向量
- 我對這樣的某個特殊的向量v作用這個變換
- 它當然等於 Av
- 我們說它只是大小按某個倍數變化
- 是λv
- 這些是很有趣的
- 因爲它們直接導致了有趣的基向量
- 你們知道
- 在不斷變化的基下的變換矩陣
- 這是其中一組基向量
- 它可能算起來更簡單
- 也許有利於構造好的座標係
- 總之它們很有意思
- 我們稱滿足這個條件的向量v
- 我們稱它們爲特征向量
- 我們稱它們的大小因子爲特征值
- 對應於這個變換
- 和對應的特征向量
- 你們知道 上次影片 我們
- 見識過爲什麽它們有用
- 但是現在這次影片我們來至少嘗試著
- 確定它們其中的幾個
- 你們知道 基於我們現在知道的 如果你們向我展示
- 一個特征向量我可以驗證
- 它確實是事實
- 或者確實是一個特征值
- 我可以驗證這種情況
- 但是我不知道一種體係的方法
- 卻解決這兩個量
- 所以我們來看看是否我們可以想到什麽
- 一般地
- 我們正在尋找
- 滿足等式Av=λv的解
- 它等於λ乘以這個向量
- 現在可能有一個解你一下就看出來了
- 就是v等於0向量
- 它確實是一個解 盡管它
- 通常不會被考慮成一個特征向量就因爲一方面
- 它不是一個有用的基向量
- 它沒有給一組基帶來任何東西
- 它確實沒有增加向量的個數 以致於你可以利用它們
- 張成空間當你面對它們中的基向量的時候
- 另一方面 我們不明確特征值是多少
- 和它對應的那個特征值
- 因爲如果v等於0
- 那麽任何的特征值都滿足這個等式
- 因此通常當我們尋找特征向量的時候
- 我們都提前假設
- 我們在尋找非零向量
- 所以我們正在尋找這些向量
- 它們不等於0
- 因此鑒於此 我們來看看是否我們進一步可以探究
- 這個等式看一看是否我們可以
- 至少我們可以在這次影片中想出特征值怎麽求
- 因此我們在兩邊都減去Av 我們得到0向量
- 等於λv-Av
- 現在 我們可以重新把v寫成 v等同於
- 單位方陣乘以v 對吧
- v屬於Rn
- n<i>n的單位方陣</i>
- 你只要乘一下就又得到v了
- 所以如果我把v重新這樣寫
- 至少在表達式的這一部分
- 我來換邊 然後就得到λ乘以
- 不寫成v我寫成單位方陣
- n<i>n的單位方陣乘以v減去Av</i>
- 等於0向量
- 現在我得到一個矩陣乘以v
- 減去另一個矩陣乘以v
- 矩陣向量乘積
- 它們有分配律
- 因此這個等於這個矩陣λ乘以
- 單位方陣減去A乘以向量v
- 這將是等於0的 對吧？
- 這就是某個矩陣
- 我爲什麽構造這個形式的全部的原因就是
- 我可以把這個寫成一個矩陣向量乘積
- 而不是一個向量的數量乘積
- 這樣的話我就可以提出v
- 就可以把這個等式本質上寫成
- 某個矩陣向量乘積等於0
- 現在 爲了 如果我們假設這是事實
- 我們正在假設 記住
- 我們正在假設v不等於0
- 那麽這是什麽意思？
- 我們知道v是
- 這個矩陣零核空間中的一個元素
- 我把這個寫下來
- v是λIn-A零核空間的一個元素
- 我知道這個對你們來說
- 可能看起來有點暈
- 但是你就把這個想象成某個矩陣B
- 它可能就變簡單了
- 這就是某個矩陣 對吧？
- 那是B 我們來做這個替換
- 然後這個等式就變成Bv=0
- 現在 如果我們想看看這個矩陣的零核空間
- B的零核空間是所有向量v
- 屬於Rn是得Bx=0
- v顯然是它們中的一個 對吧？
- 因爲Bv=0
- 我們正在假設B解決了這個等式
- 而且一路下來假設
- B一定可以解決這個等式
- v不等於0
- 所以v屬於這個零核空間
- 這是零核空間的非平凡元素
- 我們已經說過0向量總是
- 零核空間的元素 它會使這個成立
- 但是我們正在假設v是非零的
- 我們只對非零的特征向量感興趣
- 那就意味著這個矩陣的零核空間
- 必須是非平凡的
- 這就意味著 λIn-A的零核空間
- 是非平凡的
- 0向量不是唯一的元素
- 你可能記著之前唯一一次
- 我把這個寫下來
- 如果我有某個矩陣 我不知道
- 我已經用過A和B
- 比方說我有某個矩陣D
- D的列是線性獨立的若且唯若
- D的零核空間只含有0向量
- 對吧？
- 所以如果我們有某個矩陣
- 它的零核空間不只含有0向量
- 那麽它含有線性相關的列
- 我就寫在那告訴你們
- 我們知道什麽 事實上
- 這個沒有一個平凡的零核空間就是說
- 我們正在處理線性相關的列
- 所以λIn-A 它看起來很奇特
- 但是這個就是一個矩陣
- 必須有線性相關的列
- 或者換一種說法
- 如果你有線性相關的列
- 不是可逆的 也同樣意味著
- 行列式必須等於0
- 所有這些都成立
- 如果行列式等於0
- 它就不是可逆的
- 你就會有線性相關的列
- 如果行列式等於0
- 那麽那同樣意味著
- 零核空間中含有非平凡元素
- 因此 如果行列式等於0
- 就意味著存在某個λ使得這個成立
- 對於非零向量v
- 所以 如果有解
- 如果存在非零向量v
- 滿足這個等式
- 那麽這個矩陣必須行列式爲0
- 而且反過來也是對的
- 如果這個矩陣行列式是0
- 那麽必須有
- 或者存在λ
- 使得這個矩陣行列式是0
- 那麽那些λ將滿足這個等式
- 反過來也是對的
- 如果存在λ滿足這個
- 那麽那些λ
- 將使得這個矩陣行列式是0
- 我把這個寫下來
- Av=λv對於非零向量v
- 若且唯若λIn-A的行列式
- 等於0向量
- 不是 不是0向量
- 抱歉 它就等於0
- 行列式就是一個數
- 這個就是我們給出的最重要的結論
- 我知道你們現在想說什麽
- 它怎麽就對我有用了
- 你們知道 我們做了所有這些處理
- 我之前也討論過一點關於零核空間的內容
- 最重要的結論是 就是爲了這個
- 成立對於非零矩陣v
- 然後λ必須是某個值
- 所以如果我計算行列式
- λ乘以單位方陣減A
- 它必須的等於0
- 爲什麽這個有用的原因就是你可以
- 對於給定的矩陣建立這個等式
- 然後解這個λ
- 我們將在下次影片中做這件事情