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Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A) : Rank(A) = Rank(transpose of A)
相關課程
- 在兩三個影片之前
- 我說明了矩陣A的秩
- 等於它的轉置的秩
- 我作了許多論證
- 在那個影片最後的時候 我累了
- 事實上就是在那天結束的時候
- 我想這樣做是有意義的
- 把它講得明白一點兒
- 因爲這很重要
- 它會幫助我們更好地明白所有的
- 我們學過的東西
- 那麽 我們來看看――我要
- 從A轉置開始
- A轉置的秩等於
- A轉置的列空間的維數
- 這就是秩的定義
- A轉置的列空間的維數是
- A轉置的列空間的
- 基向量的個數
- 這就是維數的意義
- 對於任何次空間
- 你們算出來有多少基向量
- 在這個次空間中 並數出它們
- 這就是你的維數
- 所以 它就是A的轉置的列空間的基向量的維數
- 就是 當然 相同的
- 這個我們已經看過很多次了
- 和A的行空間是相同的
- 對吧？
- A轉置的行向量
- 和A的行向量是相同的
- 這是因爲你改變了行和列
- 現在 我們怎麽算出
- A轉置的列空間的基向量的個數
- 或者說是A的行空間
- 我們想一想
- 從矩陣A的列空間能得到什麽？
- 那麽 它等價於――我們說
- 我這樣來畫A
- 這就是矩陣A
- 我們說這是一個m×n的矩陣
- 我將它寫成一串行向量
- 我也可以將它寫成一串行向量
- 但現在我們來看看行向量
- 這是第一行
- 這是行向量的轉置
- 這是第一行 還有第二行
- 直到第m行
- 對吧？
- 這是一個m×n的矩陣
- 這些向量都是在Rn中的
- 因爲它們有n個分量
- 因爲我們有n列
- 所以 A看起來就是這個樣子
- 矩陣A看起來就像這樣
- 然後是A的轉置
- 所有這些行都變成了列
- 矩陣A的轉置就是這樣 r1 r2
- 直到rm
- 而這個當然就是一個n×m的矩陣
- 把它換成這個
- 那麽 所有的這些行就變成了列
- 對吧？
- 並且 明顯地列空間――
- 或者可能不太明顯――
- 矩陣A的轉置的列空間等於
- 由r1 r2直到rm張成的空間
- 對吧？
- 等於這些向量張成的空間
- 或者你可以不太精確地稱它
- 等於由A的行向量張成的空間
- 這就是爲什麽它被稱爲行空間
- 這個等於由A的行空間張成的空間
- 這兩個是等價的
- 現在 這些是張成空間的向量
- 這就是說這是某個次空間
- 它是由所有這些列的線性組合組成的
- 或者是說所有的這些行的線性組合
- 如果我們要找到它的基 我們想要找到
- 一個最小的線性獨立向量的集合
- 我們可以用它來構造任何列
- 或者可以用來構造這裡的任意行
- 這裡 現在 當我們將A化爲
- 行簡化階梯形會怎樣？
- 我們作一些行變換來講它化爲
- 行簡化階梯形
- 對吧？
- 做一些行變換 你最後就得到了
- 某個像這樣的東西
- 你會得到A的行簡化階梯形
- 矩陣A的行簡化階梯形
- 看起來就像這樣
- 你會得到一些主行
- 主行有軸元
- 我們說這是其中之一
- 我們說這是其中之一
- 這個向下都是0
- 這個也是0
- 軸元必須是
- 列中的唯一非零元
- 而且它左邊的必須都是0
- 比如說這個不是
- 這些是非零值
- 這些是0
- 這裡是另一個軸元
- 其它的都是0
- 我們說其它所有的都是非軸元
- 所以就得到了這個
- 並且有確定數量的主行
- 或是說確定數量的軸元 對吧？
- 那麽就得到了這個
- 通過對這些作行變換得到
- 所以這些行變換――你知道
- 我取3乘以第二行 將它加到第一行
- 這就變成了新的第二行
- 一直這樣作下去 然後你就得到了這些結果
- 那麽 這些就是
- 這些的線性組合
- 或者換種說法
- 你可以反向作行變換
- 我可以從這些開始
- 我可以很簡單地
- 進行反向行變換
- 任何線性組合 你都可以反向進行
- 我們已經看過這個很多次了
- 你可以對這些作行變換
- 來得到這些東西
- 或者另一種方法來看待它 這裡的這些向量
- 這裡的這些行向量
- 它們張成了這些――
- 或者所有的這些行向量可以被表示成
- 主行的線性組合
- 明顯地 非主行都是0
- 而這些是無用的
- 但是 對於主行
- 如果你取它們的線性組合
- 你可以反向作行階梯形
- 得到這個矩陣
- 所以 所有的這些都可以被表示成
- 它們的線性組合
- 而所有的這些軸元由定義――好
- 幾乎由定義――
- 它們是線性獨立的 對吧？
- 因爲這裡有一個1
- 其它地方沒有1
- 所以這個不能被表示成
- 另一個的線性組合
- 所以爲什麽我要將這個練習？
- 好 我們開始講我們想要
- 這個行空間的一組基
- 我們想要某個
- 線性獨立向量的極小集
- 它張成了所有這些能張成的的東西
- 好 如果所有的這些東西可以被表示成
- 這些行向量的線性組合
- 以行簡化階梯形――
- 或是行簡化階梯形的主行――
- 而這些都是線性獨立的
- 那麽這就是一組合理的基
- 所有這裡的這些主行 這是其中之一
- 這是第二個 這是第三個
- 或許只有這三個
- 這就是這個特殊的例子
- 這是行空間的一組合適的基
- 那麽我把它寫下來
- 矩陣A的行簡化階梯形的主行
- 和A的行空間的一組基
- 而A的行空間就是
- A轉置的列空間
- 矩陣A的行空間就是
- A轉置的列空間
- 我們已經看過很多次了
- 現在 如果我們想要知道
- 列空間的維數
- 我們僅需數一數主行的個數
- 那麽你僅需數一數主行的個數
- 那麽行空間的維數
- 就是
- A轉置的列空間 就是
- 在行簡化階梯形中的
- 主行的個數
- 或者 甚至更簡單 是軸元的個數
- 因爲每個軸元都有一個主行
- 所以我們可以寫成A轉置的秩等於
- 軸元的個數
- 在A的行簡化階梯形中
- 對吧？
- 因爲每個軸元對應於一個主行
- 這些主行就是一組合適的基
- 對於整個行空間而言
- 因爲每一行可以被看作是
- 這些的一個線性組合
- 而因爲所有的這些可以是
- 那麽任何這些可以構造出的東西
- 這些就可以構造出來
- 很簡單的
- 現在 A的秩是多少？
- 這是A轉置的秩
- 這是我們已經處理過的問題了
- 矩陣A的秩等於
- 矩陣A的列空間的維數
- 或者 你可以說是
- 矩陣A中的列空間的基向量的個數
- 所以如果我們取和上面算過的相同的矩陣A
- 相反 我們將它寫成一串行向量
- 就是c1 c2 直到cn
- 我們這裡有n列
- 列空間就是這樣的次空間
- 它是由所有的這些向量張成的
- 對吧？是由這些行向量的每一個張成的
- 那麽A的列空間等於由c1 c2
- 直到cn張成的空間
- 這就是它的定義
- 但我們想要知道基向量的個數
- 我們已經知道了――
- 我們已經這樣作很多次了――
- 正確的基向量是什麽樣子
- 如果你將它化成行簡化階梯形
- 並且有某個軸元
- 和它們對應的主列
- 那麽某個軸元和它們對應的
- 主列就像這樣
- 或許像這樣
- 然後或許這個不是 而這個是
- 所以你就得到了主列的確定數量
- 我用另一種顏色
- 這裡你將A化成行簡化階梯形
- 我們知道了基向量
- 或者是基列 它們形成了
- 列空間的一組基
- 而列對應於主列
- 所以第一列是一個主列
- 這個是一個基向量
- 第二列也是
- 所以這個是一個主向量
- 或者可能這裡的第四個也是
- 這個也是主向量
- 那麽 一般來講 你可以說 嘿
- 如果你想要數一數基向量的個數――
- 因爲我們甚至不必知道
- 它們具體都是哪些向量
- 我們僅需知道其個數
- 好 你說了 對於這裡的每一個主列
- 我們這裡都有一個基向量
- 所以我們可以數出主列的個數
- 而主列的個數等於
- 軸元的個數
- 因爲每個軸元都對應一個主列
- 所以我們可以說A的秩等於
- 軸元的個數
- 在A的行簡化階梯形中
- 而且 你可以很清楚地明白
- 這個和我們推導的東西一樣
- 等於A轉置的秩
- 就是A轉置的列空間的維數
- 或者是說A的行空間的維數
- 所以現在可以寫出我們的結論了
- 矩陣A的秩就是
- 矩陣A的轉置的秩
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