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Linear Algebra: Showing that Inverses are Linear : Showing that inverse transformations are also linear
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- 這裡有一個變換T
- 當你把變換T應用到
- 定義域裏的一些x上時
- 這個等價於用定義域中的那個x
- 或者那個向量
- 乘上矩陣A
- 我們說 已知
- 線性變換T可以是――
- 它是一個變換矩陣 如果你
- 把它變成行階梯矩陣的話
- 它等於一個n×n的單位方陣
- 或者說是那個n×n的單位方陣
- 這個可以說明很多問題
- 首先
- 如果當你把它變成行簡化階梯形時
- 你得到一個正方形的單位方陣
- 這個說明 原矩陣
- 一定是n×n的
- 它還告訴我們 變換T是從Rn到Rn的映射
- 上集我們看到
- 所有這些都是條件
- 尤其是這裡這個
- 都是T可逆的條件
- 所以如果我們確定這個是真命題――
- T是一個線性變換
- 它是一個單位方陣的變換矩陣的
- 行簡化階梯形
- 這裡
- 那麽T是可逆的
- 可逆的
- 我們回顧一下
- 什麽叫做可逆
- 可逆意味著 存在一些――
- 我們之前提到過“方程”這個詞
- 但是現在說的是“變換”
- 其實它們是同一種東西
- 我們說 存在一些變換――
- 我們叫它“T逆” 像這樣
- 或者T^-1
- 這樣的話 T逆和T的復合變換等於
- 定義域中的的恆等變換
- T和T逆的復合變換
- 等於上域上的
- 恆等變換 就是這樣
- 爲了提醒你們 這是個什麽情況
- 我們畫一畫定義域和上域
- 定義域是Rn 上域也是Rn
- 就像這樣
- 上域也是Rn
- 那麽 如果你在定義域中取一些向量
- 應用變換T
- 那麽你就會進到上域中 那麽這個是T
- 然後如果你在這之後應用T逆
- 你就回來了最初的x
- 這麽說來 看 你應用T
- 然後應用T逆
- 就回到了原地了
- 這個跟恆等變換是一樣的
- 這個跟恆等變化是一樣的
- 就像這樣
- 這就是說 如果你從這裡上域開始
- 先應用逆變換
- 然後再應用你的變換
- 你就會回到
- 開始上域中相同的點
- 這個等價於
- 上域中的恆等變換
- 在這個例子中恰好
- 定義域和上域是同一個集合Rn
- 現在我們知道 一個變換是――
- 可逆是什麽意思
- 我們知道了可逆的條件
- 這個引發了下一個問題
- 我們知道這個東西是線性變換
- 實際上 這是其中一個條件
- 使得能夠用矩陣來表示它
- 或者說 任意一個變換
- 如果能被表示爲矩陣向量乘積
- 那它就是一個線性變換
- 所以這個是一個線性變換
- 而問題是
- T逆是一個線性變換麽？
- 一個線性變換
- 我們先回顧一下兩個條件是什麽
- 作爲線性變換的兩個條件
- 那麽 已知T是一個線性變換
- 那麽我們知道 如果把變換T應用到
- 兩個向量上――
- 假設是x和y――
- 如果我們應用到這兩個向量的和上
- 那麽它等於
- 變換後的第一個向量
- 加上變換後的第二個向量
- 這是其中一個條件
- 或者說這是一個我們知道的
- 關於所有線性變換的真命題
- 然後我們知道的第二個
- 關於線性變換的真命題是
- 如果有一個把一個變換應用在定義域中的
- 一個按比例伸縮後的向量
- 它等價於
- 這個比例乘數
- 乘以應用了這個變換後的向量本身
- 這些都是作爲線性變換的條件
- 看看我們是否能證明
- T逆滿足這兩個條件
- 或者說是這個東西
- 要證明這個的話
- 我們先在這做一點小練習
- 我們把T和
- T逆的復合變換應用在兩個向量的和上 a加b
- 記住
- T逆是一個從你的上域到
- 定義域的映射 盡管在這道題中
- 它們都是Rn
- 不過T逆從這個集合映射到那個集合
- 我們在這上面寫
- T逆是一個映射
- 從上域到定義域的
- 雖然看起來是一樣的 就像這樣
- 好的 那麽這個等於什麽？
- 我們剛剛說過
- 根據逆變換的定義
- 這個會等於上域上的
- 單位方陣
- 假設這些是
- 上域裏的元素
- 這裡是Rn
- 這個就等於a+b
- 這個東西 T和它的逆矩陣的復合變換
- 根據定義
- 就是上域中的恆等變換
- 所以這裡的 是什麽就得到什麽
- 如果這裡是x 那得到的就是x
- 如果這裡是一個蘋果 那得到的就是個蘋果
- 這個就是恆等變換
- 那這個等於什麽？
- 這個等於什麽？
- 我可以用同樣的論據來說
- 這裡這個 等於
- 應用到a上的恆等變換
- 我沒有在寫這個恆等變換
- 我寫的是這個
- 不過我們知道這個等價於
- 恆等變換
- 所以我們可以說 這個等價於
- 把T和T逆的復合變換應用到a上
- 我們可以說
- 這個等價於恆等變換
- 我們知道 這和T是一樣的
- 把T和T逆的復合變換應用到b上
- 我們可以重寫一下這個東西
- 這個等於
- 這兩個東西的和
- 實際上我們甚至不用再寫一遍
- 我們可以寫這個等於――
- 這個變換等於這個
- 有個更簡單的步驟來做這個
- 我們可以寫成 T(T逆(a+b))
- 等於
- T(T逆(a))+T(T逆(b))
- 這個應該――我不知道
- 那個對你來說容易理解一點
- 任意一個 當你應用
- T和T逆的復合變換時
- 你會得到a+b
- 你應用T和T逆的復合變換時
- 你會最後得到a
- 你應用T和T逆的復合變換時
- 這裡你會最後得到b
- 任何一種情況下你得到a+b
- 當你計算
- 等式任何一邊時你會得到
- 向量a+向量b
- 現在我們還能做什麽？
- 我們知道T本身是一個線性變換
- 因爲T是線性變換 我們知道
- 把T運用到兩個向量的和上等於
- 分別把T應用在兩個向量上再加起來
- 或者換一種說法
- 把T應用在兩個不重合的向量上
- 我們這裡有一個向量
- 然後這裡是另一個
- 在這裡 我把T應用在一個向量上
- 然後把它加到應用了T的另一個向量上
- 那麽這裡這個
- 我們知道它等於
- 把T應用在兩個向量的和上
- 所以這個是把T應用到向量T逆(a)
- 我在這裡寫――
- 這個等於
- T逆(a)+T逆(b)
- 這個看起來有點繞
- 不過我要說的是 這個看起來就是這樣子
- 如果你說x=T逆(a)
- 如果說y=T逆(b)
- 看起來就是這樣
- 這個會等於
- 把變換T應用到
- 兩個向量的和上
- 那麽這個等於把變換T應用到
- T逆(a)+T逆(b)
- 我剛剛用到的條件是 T是線性的
- 現在怎麽做？
- 我們化簡一下
- 我這裡寫的所有東西
- 現在我已經――我先重寫一下
- 這裡這個東西 和這個是一樣的
- T和T逆的復合
- 應用到a+b上等於這個復合變換――
- 其實不是這個復合變換 僅僅是T――
- 應用到兩個向量上
- T逆(a)+T逆(b)
- 這是我們現在能得到的
- 現在我們離 證明T逆滿足這個條件
- 很近了 如果可以把這些T消掉
- 把這些T消掉最好的辦法是
- 在等號兩邊同時乘上T逆
- 或者把T逆變換應用到
- 等號兩邊的式子上
- 就這麽做
- 我們在這邊先乘T逆
- 那邊乘T逆
- 應該等於這邊乘T逆
- 因爲這兩個是一樣的東西
- 所以如果你在方程裏 加同樣的東西
- 那麽兩邊應該也是等值的
- 那麽等號左邊這個是什麽？
- 這是什麽？
- 這個是個復合變換――我這樣寫
- 這個是T逆和T的復合
- 這部分 應用到這個東西上
- 我只是用了一下結合律
- 應用到 T逆(a+b)
- 這個就是等號左邊的
- 這一部分 把T逆應用到乘了T的這個東西
- 首先這兩步
- 我只是寫了
- 一個T逆和T的復合變換
- 應用到這裡
- 那邊那個和這邊這個是一樣的東西
- 這是另一種表達方法
- 那麽這個等於
- T逆和T的復合
- 我用同一種顏色寫
- T逆復合T
- 這是這裡這部分
- 跟那邊那塊很相似
- （T逆復合T）應用到這裡
- 應用到T逆(a)+T逆(b)
- 現在根據T逆的定義 這個是什麽？
- 這個是定義域中的恆等變換
- 這個是Rn上的恆等變換
- 這個也是Rn上的恆等變換
- 如果你把恆等變換 應用到任何東西上
- 得到的就是那個東西本身
- 那麽這個等於
- 我等式兩邊同時做――
- 左手邊的整個表達式是
- 化簡以後
- 就是T逆(a+b)
- 右邊則是
- 化簡成這個東西
- 等於――
- 因爲這個就是恆等變換
- 所以它等於這個 T逆(a)
- 加上T逆(b)
- 就像這樣
- T逆滿足了第一個條件
- 作爲線性變換
- 現在我們看看 第二個條件怎麽滿足
- 我們做的是同樣的事情
- 我們用T和T逆的復合變換
- 我們把這個復合變換應用在某向量上
- 我們說是ca 就像這樣
- 我們知道它等於 它等於
- Rn上的恆等變換
- 所以它就等於ca
- 那麽a等於什麽?
- 這個a等於什麽？
- 這裡這個東東
- 我們把它寫在這邊
- 用個適當的顏色
- 或者我們說
- 向量a等於
- 這個變換T
- T和T逆的復合
- 應用在向量a上
- 因爲這個就是恆等變換
- 所以可以把這個表達式寫成等於
- c乘以把T和T逆的復合
- 應用在向量a上
- 用這個形式寫會好過
- 用復合的形式
- 那麽左邊的表達式我們可以寫成
- T(T逆(ca))
- 我剛才做的是把左邊重寫成這樣
- 等於這堆綠綠的東東
- 類似的再寫一遍
- 這個等於
- c乘以變換T應用到
- 應用了變換T逆的a
- 這就是復合變換的定義
- 那麽T是線性變換
- 意味著
- 如果你用c乘以T乘一些向量
- 這個等於
- T(c<i>(那個向量))</i>
- 這個是你的變換的其中一個條件
- 那麽這裡永遠都有一個T
- T作用於某些向量
- 這個就是比例乘數 那麽這個東西
- 因爲我們知道T是一個線性變換
- 我們可以把它寫成
- 等於T(c<i>T逆(a))</i>
- 現在我們可以怎麽做？
- 我們把T逆變換應用到
- 等式兩邊 我重寫一下
- 在這邊我們有 T(T逆(ca))
- 等於 T(c<i>T逆(a))</i>
- 這是我們現在得到的
- 但是如果我們能
- 把T都消掉不是更好嗎？
- 消掉T最好的方法是
- 在兩邊同時乘上T逆變換
- 就這麽做
- T逆――
- 我們把它乘到等式兩邊
- 把T逆乘到等式兩邊
- 還有另一種方式
- 這個等於
- 把T逆復合T
- 應用到T逆(ca)
- 這裡這個
- 我剛決定繼續這個形式這麽寫
- 我把這兩個提出來然後寫成
- 復合變換
- 右手邊這個
- 也可以這麽做
- 你可以說這個等於
- T逆和T的復合乘法――
- 不是乘 這個要小心
- 用這個復合 這個變換 然後
- 把這個變換
- 應用在 c<i>T逆(a)</i>
- 我說清楚一點這裡的步驟
- 這裡這個東西 是 這裡這個
- 這個東西等於這個
- 我剛把復合變換寫成這個樣子
- 我爲什麽這麽做
- 是因爲我們知道這個是
- Rn上的恆等變換
- 這個只是Rn上的恆等變換
- 那麽這個恆等變換
- 應用到任何東西上得到的只是它本身
- 所以這個等式化簡後是
- T逆應用到ca上
- 等於這個東西
- c<i>T逆(一些向量a)</i>
- 就像這樣
- 我們已經滿足了第二個條件使T逆
- 是線性變換
- 第一個條件在這裡
- 那麽我們知道
- 在兩種情況下 我們應用了這個理論：
- T是線性變換
- 來證明我們的T逆
- 那麽現在我們知道 如果T是一個線性變換
- 且T可逆
- 那麽T逆也是一個線性變換
- 看起來沒什麽
- 但其實這個很重要
- 因爲我們現在知道了 T逆可以
- 用一個矩陣向量乘積來表示
- 這意味著 T逆應用到一些向量x上
- 可以被表示爲
- 某個矩陣和x的乘積
- 我們接下來要做的是 我們要把這個
- 矩陣稱爲 矩陣A逆
- 我們還沒下定義
- 怎麽構造一個A逆矩陣
- 我們知道它是存在的
- 我們現在知道它是存在的
- 因爲T是一個線性變換
- 我們甚至還能做多一步
- 根據可逆的定義我們知道
- T逆和T的復合變換等於
- Rn上的單位變換
- 什麽是復合變換？
- 我們知道 T 如果我們用――我這麽說吧
- 我們知道T(x)=Ax
- 那麽如果我們寫T逆
- 把T逆和T的復合變換
- 應用到一些向量x上將會等於
- 先說把A應用到x上 等於Ax
- 這裡這個 Ax
- 然後用A逆x
- 你會把這個東西用在這裡
- 然後我們得到這個等於――
- 當你應用這個復合變換時
- 這個等於 或者說
- 你得到的 由兩個復合變換得到的變換矩陣
- 等於這個矩陣和矩陣的乘積
- 這個我們早就知道了
- 實際上這個提供了
- 矩陣和矩陣乘積的定義的思路
- 而有趣的是
- 這個復合變換等於那個
- 而它也等於
- 把Rn上的恆等變換
- 應用到那個向量x上 而它等於
- 把單位方陣應用到x上
- 對吧？
- 這個是n×n的矩陣
- 你把它乘以任何東西
- 得到的是那個東西本身
- 所以我們得到了一個有趣的答案
- A逆乘A等於那個單位方陣
- A逆 或者說是T逆的矩陣變換
- 當你把那個乘上
- T的矩陣變換
- 你會得到單位方陣
- 這個結論兩個方向都成立的
- 我們知道這個是成立的
- 但是可逆或可逆性質的另一個定義
- 告訴我們 T和T逆的復合變換
- 等於我們上域上的單位方陣
- 也就是Rn 寫作 I(Rn)
- 同理可得
- 我們知道 當你用另一個方法做的時候
- 如果你先應用T逆 然後
- 再應用T 這個等價於
- 先應用T逆
- 然後再把T應用在某向量x上
- 這個等價於把那個x向量乘上
- 一個單位方陣 那個n×n的單位方陣
- 或者你也可以說 你可以換個順序
- A乘A逆也等於單位方陣
- 看起來很整潔 因爲我們知道
- 矩陣和矩陣相乘時
- 當你互換了順序
- 得到的結果不一定是一樣的
- 但是在這個例子裏 可逆方陣
- 和它的逆矩陣 順序是不重要的
- 你可以用A逆乘A
- 得到單位方陣
- 也可以用A乘A逆
- 來得到那個單位方陣
- 現在我們做到這一步了
- 下一步就是實際找出
- 怎麽構造那個逆矩陣
- 我們知道這個是存在的 我們知道
- 逆矩陣是一個線性變換
- 而且這個矩陣存在
- 我們看到了這個很棒的性質
- 乘上這個變換矩陣你會得到
- 單位方陣
- 下一步我們就要找出
- 如何把它求出來