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Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example : Example of a transformation matrix for a projection onto a subspace
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- 假設已知某個次空間V
- 這是常用的次空間的記號
- 它是由R4中的兩個向量張成的空間
- 假設第一個向量是[1,0,0,1]
- 第二個向量是[0,1,0,1]
- 這是次空間V
- 我們知道這兩個向量就是一組基
- 它們是線性獨立的
- 這兩個向量是――
- 這個集合中的兩個向量是線性獨立的
- 它們是次空間的一組基 它們張成了次空間
- 它們是線性獨立的
- 這個向量的這個分量1
- 它不可能通過
- 這個向量的線性組合表出
- 而這個向量在這裡有分量1
- 它也不可能通過
- 這個向量的線性組合表出
- 所以說它們是線性獨立的
- 也可以稱之爲V的一組基
- 由此 我們看看是否可以求出
- 任意向量在這個次空間上的投影的
- 變換矩陣
- 假設x―― 我們在R4中考慮問題
- 假設x屬於R4
- 我要求出x在V中的投影的
- 變換矩陣
- 在上次課中
- 我們給出了求出它的一般方法
- 如果A是一個變換矩陣―― 抱歉
- 如果A是一個矩陣
- 它的行向量構成次空間的一組基
- 假設A=[1,0,0,1;0,1,0,1]'
- 從而A的行向量
- 就是次空間的一組基
- 於是x在V中的投影就等於――
- 這有些困難
- 你第一眼看到它時
- 就會感到頭疼
- 但這有一種固定的模式或者說方法――
- 它等於A乘以
- 中間是一些項
- 然後乘以A' 再乘以向量x
- 我的記憶方法是
- 中間的部分就是這兩個項的交換
- 即A'A
- 然後取它的逆
- 也許你在今後的五到十年中
- 都不會用到這個公式
- 你記不住也沒關係
- 但我還是希望你暫時把它記住
- 因爲這對於
- 處理投影方面的問題有幫助
- 如果我們要求出
- 關於這個變換的一般矩陣
- 我們只需要確定
- 這個矩陣等於多少
- 這只需做一些矩陣的運算
- 這是矩陣A
- 那麽A'是多少？
- A'等於
- 所有的行變成列
- 就是說第一列變成第一行
- 於是有第一行是1,0,0,1
- 第二列變成第二行 即0,1,0,1
- 這就是A'
- 那麽A'A是多少？
- 爲了求出它
- 我要求出A'A是多少
- 我用A'乘以A
- 我再把A寫在這裡
- 即[1,0,0,1;0,1,0,1]’
- 這是一個關於
- 矩陣之間乘積的很好的練習
- 它等於多少？
- 首先 它是一個2×4矩陣
- 我將它乘以一個4×2矩陣
- 所以結果就是一個2×2矩陣
- 所以第一項就是
- 這一行與這一列的點積
- 就是1<i>1+0<i>0</i></i>
- 加上0<i>0+1<i>1</i></i>
- 所以這一項的
- 結果是2
- 然後取
- 這一項與這一項的點積
- 就是1<i>0 等於0</i>
- 加上0<i>1 它等於0</i>
- 加上0<i>0 它等於0</i>
- 加上1<i>1 等於1</i>
- 現在用這個向量點乘這個行向量
- 有0<i>1+0<i>0</i></i>
- 加上0<i>0+1<i>1 結果是1</i></i>
- 最後
- 用這一行點乘第二個行向量
- 第二行 第二列
- 有0<i>0+1<i>1+0<i>0</i></i></i>
- 加上1<i>1</i>
- 從而得1<i>1+1<i>1</i></i>
- 結果是2
- 結果等於2
- 這一項就是A'A
- 這還沒結束
- 我們需要求出
- A'A的逆
- 這項是A'A
- 我們需要求出A'A的逆
- 它的逆是多少呢？
- 我寫在這
- A'A的逆
- 等於多少？
- 它就是1除以這個矩陣的行列式
- 它的行列式是多少？
- 這是1除以它的行列式
- 行列式就是2<i>2，等於4</i>
- 減去1<i>1</i>
- 就是4-1 結果是3
- 於是有1除以行列式乘以這一項
- 其中我將這兩項調換 將1調換――
- 抱歉 應該將2調換
- 這個2調到這裡
- 而這個橘黃色的2調到這裡
- 然後對這些1取負值
- 這就變成了-1 這也變成了-1
- 我們學過
- 這就是2×2逆方陣的一般解
- 我在十多節課之前講過
- 你也可能在代數II中學過
- 現在已經知道了
- 我們得出了A'A的逆
- 也就是得到了這一項
- 這項就等於這個矩陣
- 我可以把1/3乘進去
- 但我不必這麽做
- 我們來求出這整個的矩陣
- 即矩陣A乘以這一項
- 即A'A的逆 再乘以A'
- 我這麽寫
- 從而x在次空間V中的投影
- 就等於A
- 即1,0,0,1―― 我寫得大一些
- 就是矩陣[1,0,0,1;0,1,0,1]'乘以A'A的逆
- A乘以A'A的逆
- 就是這一項
- 我們把1/3放在外面
- 因爲它只是個純量
- 我把1/3放在前面 乘以這一項
- 這個A'A的逆
- 等於1/3乘以[2,-1;-1,2]
- 然後將它乘以A'
- 然後整個這項乘以向量x
- A'在這
- 它是[1,0,0,1;0,1,0,1]
- 這個這一項再乘以向量x
- 前面的係數
- 是矩陣的乘積的形式
- 我們計算一下
- 首先我們計算這兩個矩陣相乘
- 我想沒有什麽簡單的方法
- 這是一個2×2矩陣 這是一個2×2矩陣
- 當將二者相乘的時候
- 得到的結果是一個2×4矩陣
- 我把這個2×4矩陣寫在這裡
- 我可以把這個矩陣寫在這
- 即[1,0,0,1;0,1,0,1]'
- 然後是源於A'A的逆的
- 係數1/3
- 我把這個純量放在前面
- 這個這個式子
- 等於x在V中的投影
- 我們來計算這個乘積
- 第一項等於
- 2<i>1加上-1<i>0</i></i>
- 結果就是2
- 然後有
- 2<i>0加上(-1)<i>1</i></i>
- 這等於-1
- 然後是2<i>0+(-1)<i>0</i></i>
- 結果是0
- 然後有
- 2<i>1加上(-1)<i>1</i></i>
- 就是2-1
- 就等於1
- 即2<i>1+(-1)<i>1</i></i>
- 很好
- 我們下面處理第二行
- (-1)<i>1+2<i>0 結果就是-1</i></i>
- 這等於2
- (-1)<i>0加上2<i>0</i></i>
- 結果是0
- (-1)<i>1加上2<i>1</i></i>
- 就是-1+2 結果是1
- 都算出來了
- 最後再乘以x
- 這就是我們的變換
- 而這個是變換矩陣
- 我們還要進行計算
- 我希望沒有犯什麽錯誤
- 在計算乘積的時候不能夠犯錯
- 這有些小複雜
- 因爲這是4×2的矩陣乘以2×4的矩陣
- 得到的結果是一個4×4的矩陣
- 我需要留好足夠的空間
- 因爲結果將是一個
- 4×4的矩陣
- 我會得到什麽？
- 第一項是
- 1<i>2加上0<i>(-1)</i></i>
- 結果是2
- 下一項是 1乘以――
- 這一行乘以這一列
- 就得到第一項
- 因爲這裡消去了
- 從而1<i>2+0<i>(-1)=2</i></i>
- 1<i>(-1)+0<i>2等於-1</i></i>
- 1<i>0+0<i>0等於0</i></i>
- 當你取這一行
- 將它分別乘以這些列時
- 得到的分別是新矩陣的第一行元素
- 現在用這一行乘以這些列
- 這是個0
- 從而有
- 0乘以所有行向量的第一個分量
- 然後是1乘以所有第二個分量
- 從而0<i>2+1<i>(-1)=1</i></i>
- 0<i>(-1)+1<i>2等於2</i></i>
- 我們現在是在求第二行
- 得到2 0 1
- 這實際上是有意義的
- 因爲如果觀察矩陣的這個部分
- 它是2×2單位方陣
- 這是一個小提示
- 爲什們這兩個部分很相似
- 我們做的是
- 矩陣的乘積
- 將這項乘以――
- 我換一種顏色
- 用這一項乘以每一列
- 這一項乘以它等於0
- 因爲這一項就是0向量
- 從而得到的全是0
- 最後 對於最後一行
- 等於1乘以第一個分量
- 加上1乘以第二個分量
- 從而這就是2+(-1)=1
- -1+2等於1
- 0+0等於0
- 1+1等於2
- 所有這些乘以x
- 就得到結果
- 這太令人激動了！
- x在V中的投影等於
- 整個這個矩陣乘以x
- 就是這個式子
- 我可以把1/3乘進去
- 但這沒有必要
- 這只會使得形式更亂
- 這一項就是變換矩陣
- 正如你所見 既然我們在變換――
- 注意 這個V中的投影
- 它是一個從R4到R4的線性變換
- 若已知一個R4中的向量
- 通過變換就能得到另一個R4中的向量
- 它就是在次空間中的投影
- 這是一個4×4矩陣
- 就在這裡
- 希望你能從這個實例中
- 感受到它的用處
- R4是一個抽象的空間
- 這與三維空間中的例子有所不同
- 我們處理的是一個更抽象的數據集
- 我們所求的是它的投影