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Linear Algebra: The Gram-Schmidt Process : Finding an orthonormal basis for a subspace using the Gram-Schmidt Process
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- 比方說我有一個線性獨立向量組成的集合
- v1 v2直到vk 組成V的一組基
- 我們之前已經見過這個很多次了
- 很好
- 它是一組基 但是我們學過
- 在最近幾次影片中它會變得更好
- 如果它還是V的一組標準正交基
- 我們將要在此次影片中強調的是
- 是否有某種方法
- 我們可以對V構造一組標準正交基
- 如果我們有了這樣的一組基
- 我假設它不是正交的
- 無論它是不是正交的都可以做出來
- 它就會生成另一組標準正交基
- 但是我們可以 只給任意一組基
- 生成V的一組標準正交基
- 然後能夠獲益於
- 正交基所有好的性質
- 我們來看看我們能不能做一點工作
- 我們來針對一些簡單的情形來考慮這個問題
- 比方說我有一個一維次空間
- 我們稱它爲V1 因爲它是一維次空間
- 我說它是向量v1張成的空間
- 現在 或者我們可以說向量v1
- 是次空間V1的基
- 如果我有這個簡單的情形
- 我們怎樣確保這是正交的
- 我可以做的是我可以定義某個向量
- 稱它爲u1
- 很顯然 這個是正交於其它向量的
- 也沒有其它向量
- 向量
- 但是這個集合沒有其它成員了
- 所以它是正交於其它向量的
- 因爲沒有其它向量
- 然後讓它的長度等於1
- 你可以取這個向量除以它的長度
- 如果我們定義某個向量u1等於v1
- 除以v1的長度
- 那麽u1的長度會是什麽？
- 它會是v1的長度
- 除以v1的長度像這樣
- 這就是個常量
- 這會是1除以v1的長度
- 乘以v1的長度
- 就等於1
- 這個向量長度就是1
- 那麽就像這樣 如果我們有一個集合只有u1
- 我們可以說只有u1的這個集合
- 是V1的一組標準正交基 對於次空間V1
- 現在 這是一個很平凡地簡單
- k=1的情形我們做完了
- 非常簡單
- 我們只要除以長度就可以了
- 你只要本質上就是標準化這個向量
- 你就得到了一組標準正交基
- 因爲沒有其它的向量和它用來保證正交了
- 我們把這個問題變得稍微複雜一些
- 比方說我們處理二維情形
- 比方說我們有一個次空間V2
- 它是空間 比方說
- 它是頭兩個向量張成的
- 它是v1和向量v2張成的
- 現在 我們知道v1 v1可以很簡單地表示成
- 或者說 v1是u1的一個線性組合
- 我怎麽知道的？
- 我可以把這兩邊同時
- 乘以v1的長度
- 我們得到u1乘以v1的長度等於v1
- 所以我們說這是一樣的
- 這個等於是向量u1
- 和向量v2張成的空間
- 其中u1是我們已經得到的向量
- 我爲什麽可以這樣說？
- 因爲向量
- 表示成這些向量的線性組合
- 也可以是那些向量的線性組合
- 因爲這曾經是一個v1 你可以替代v1
- 成u1的用v1的線性表示
- 所以你就可以用u1乘以這個量就得到它了
- 我想你理解了
- 但是我們如何確保這是一個正交集合
- 我們怎麽做？
- 我把它用圖表示
- 這是Rn中的一個平面
- 我們就把我們的黑板
- 或者我們的影片板作爲這個平面
- 我們有一個u1 一個單位1向量
- 它長度爲1
- 這就是u1
- v1和v2是線性獨立的
- 這樣根據基的定義
- 即你不能把v2表示成
- v1的一個線性倍數或者線性組合
- 同樣地 你也不能把v2表示成
- u1的一個線性組合
- 因爲u1是u1的一個線性組合
- 所以v1不會在由u1張成的直線上
- 我實際上可以這樣畫
- 由u1張成的直線就像這樣
- 這是u1張成直線
- 我把它畫得再好一些
- 我不想把它畫得太暗
- 這是那條直線
- 我再畫最後一次
- 由u1張成的直線就像這樣
- 它就是這樣 就是一條直線
- 這就是次空間V1 對吧？
- 用u1張成的
- 所以這就等於u1張成的次空間
- 我們之前做的事 標準化v1得到u1
- v1張成空間等同於u1張成的空間
- 這就是那個次空間
- 這條Rn中的這條直線
- 我們還有向量v2
- 線性獨立於v1和u1
- v2看起來 比方說像這樣
- 是v2
- 現在 我們想做的是
- 把v2替換成另一個向量
- 嚴格正交於這個向量
- 可以構造v2
- 用這個向量和我們新的向量的某個組合表示
- 那麽最顯然的向量會是某個向量
- 正交於v1
- 它是正交的
- 所以V1正交部分中的一員
- 如果你觀察一下它
- 如果我加V1中的某個成員到
- V1正交部分中的某個成員
- 就會得到v2
- 事實上 我們已經見過很多次了
- 我們知道Rn中的任意向量 比方說v2
- 可以表示成兩個向量的和
- 我稱它們x和y 其中x是V1中的成員
- y是正交於V1部分集合中的成員
- 我們已經見過很多次了
- 那麽這些根據定義是什麽？
- 我們在尋找這個
- 這就是那個x
- 這就是那個y
- 我們在尋找這個y
- 因爲如果我們可以找到這個向量y
- 那麽如果我們把v替換成那個向量y
- 我們仍可以生成v因爲你可以
- 取一個u的倍數加上y得到v
- 所以任何向量
- 之前你可以用v2生成
- 現在你同樣可以用我們的u1生成 就是它的倍數
- 加上我們的新向量的倍數
- 我們正在嘗試解決 我們正在嘗試計算出
- 這個向量y是什麽
- 那麽我們怎麽做
- 它就是v2減去這個向量x
- 對吧？
- 這個向量x是什麽 根據定義
- 這個向量x是 根據定義
- v2在次空間V1上的投影
- 所以 這個我們正在嘗試找尋的向量 向量y
- 如果我們找到它了 我們可以用y替換v2
- 這個向量y 就等於v2
- 我這麽寫
- 減去v2在V1上的投影
- 這就是y
- 記住 如果我們可以替換v2
- 這個原因爲什麽u1和v2張成的空間
- 等同於空間由u1和
- 我們稱這個y2
- 我們就稱它y2 因爲我們很有可能
- 在以後必須用到這個y什麽
- 你需要y2
- 這個原因爲什麽這個空間等同於
- u1和y2張成的這個空間是因爲我可以
- 生成v2用u1和y2的一個線性組合 對吧？
- 我可以把u1乘以一個倍數然後加上y2得到v2
- 任何向量我可以用v2生成我就可以用得到
- 用這些向量的一個線性組合
- 那就是爲什麽這些是相等的
- 現在這個整理後的
- 這些向量是正交部分
- 或者這些向量是彼此正交的
- 對吧？
- 根據定義
- y是這個正交部分的一個成員
- 如果你給這兩個向量間打上點 就會得到0
- 我們到底怎麽解決它
- 這個也是有用的
- 因爲V1有一組標準正交基
- 我們看到 我想兩三個影片之前
- 關於標準正交基比較好的性質
- 非常簡單
- 取判定這些基上的投影
- 它在本質上 我寫在這
- 向量v2在次空間V1上的投影
- 等於v2 我這麽寫
- v2點乘次空間V1的第一個基向量
- 就是向量u1 對吧？
- 它是第一個基向量
- 我們正在處理一個標準正交基 乘以u1
- 然後如果我們有更多的基向量
- 我們可以說加v2點乘我們下一個基向量
- 乘以那個基向量 等等
- 但是V1只有一個基向量
- 它只有這個基向量u1 對吧？
- 它只被這個向量張成
- 所以 我們可以把這個重新寫一下 y2
- 這個向量 我將用v2替換它
- 等於
- v2減去v2在次空間V1上的投影
- 在那條線上的 就是這個
- v2點乘u1 乘以向量u1
- 就像這樣 我們就解出了y
- 我們有了V2的一個基
- 這裡這個向量和這個向量是正交的
- 這個向量是單位向量 它已經被標準化了
- 但是這個向量還沒有被標準化
- 所以爲了把它標準化 我們就定義某個其它的向量
- 作爲u2 然後做相同的事情
- 我們就把它標準化
- u2等於y2除以y2的長度
- 現在 我們可以說次空間V2等於
- 這個u1張成的空間 我在這寫u2不寫y2
- 因爲我可以通過對u2乘以一個倍數生成y2
- 現在整理後結果是 我有兩個單位向量
- 或者兩個標準化後的向量
- 它們彼此正交
- 並且它們正交地張成v1和v2張成的空間
- 現在
- 我們需要繼續
- 如果我們想再求v3會怎樣 我們怎麽做？
- 我們做同樣的事情
- 我們再定義次空間V3
- 這就是三維次空間
- 一旦超越三維
- 就在視覺上很難判斷了
- 但是我想你們將會看到
- 這個模型在這步之後
- 如果我定義V3等於這些向量張成的空間
- u1 u2和我們的原始基v3
- 我沒在這寫但是這有一個v3
- 在我們原始的非標準正交基中
- 我們有v3
- 這會變成怎樣
- 或者我們怎樣才能把這個轉化成一組標準正交基
- 如果你把這些都畫出來
- u1和u2張成的空間
- 我們的次空間V2就是一個平面
- 它就是R3中的一個平面
- 它就會像那樣
- 所以
- 我們新的空間將會是那個平面的全部
- 所有那個平面中的線性組合
- 加上和向量v3的線性組合
- v3是和這些向量線性獨立的
- 因爲它線性獨立於這些
- 我們用來構造這些向量的向量
- 所以v3跳出這個平面
- 它不能被表示
- 用那些向量的線性組合
- 所以我們說v3像這樣跳出這個平面
- 現在 我們想得到另一個向量
- 可以表示這個空間內的一切
- 但是它要正交於這些向量
- 或者換種思路
- 它正交於這個平面
- 所以我們想得到另一個向量
- 正交於這個平面
- 我們稱那個向量爲y3 y下標3
- 不是y的三次冪 y下標3
- 如果我們算出這個y下標3
- 我們就可以用它替換v3因爲v3
- 可以用u1和u2線性表示
- 對吧？
- 那將會是u1和u2的線性組合
- 將會是這個平面中的某個向量加上y3
- 我可以表示這個向量用這個綠色的向量
- 加上這個向量
- 如果我們用y3替換它 我們仍可以表達v3
- 我們可以表達所有的線性組合
- v3能輔助的
- 那麽y3是什麽？
- 利用同樣的邏輯
- 這個綠色的向量
- 是向量v3在次空間V2上的投影
- 向量y3就等於這個向量v3
- 減去v3在V2上投影
- 那將會變成什麽樣？
- 這個投影 我在這寫
- v3在次空間V2上的投影
- v3的
- 將會等於
- 我們用之前用過同樣的邏輯
- 我們看過這個在兩三個影片之前
- 因爲V2是被一組標準正交基所定義
- 我們可以說
- v3向那個次空間的投影是v3
- 點乘我們的第一個基向量 點乘u1
- 乘以我們的第一個基向量
- 加上v3點乘我們的第二個基向量
- 我們的第二個標準正交基向量
- 乘以我們的第二個標準正交基向量
- 就是這麽簡單 它就是其中一個很好的結果
- 關於得到一個標準正交基是什麽樣
- 這就是一個標準正交基
- 所以我們可以這樣定義投影
- y就將是
- v3減去這些
- 我把它寫出來
- y3就將是
- v3減去v3在V2上的投影
- 減去那些
- 我複製一下 然後再粘貼
- 然後你得到y3
- y3很漂亮
- 如果我們用y3替換這個
- 我們可以 因爲我們現在可以得到v3
- 通過這些向量和y3的線性組合
- 它很漂亮因爲所有這些向量都正交於
- 各自其它向量
- 但是y3不是單位1的
- 它還沒有被標準化
- 所以我們可以用另一個單位向量替換y3
- 我們就是說 u3等於
- y3除以y3的長度 無論它是什麽
- 但是如果我們知道y3是什麽
- 我麽就可以計算出它的長度然後除以它
- 然後如果你寫
- 這就等於u1 u2 u3張成的空間
- u3是y3倍數降低的結果
- 我們正在討論線性組合
- 當我們討論空間
- 所以可以給它們倍乘 然後把它加到這個投影上
- 你仍將得到v3
- 現在 這些就都是標準化後的向量了
- 所以你就得到了一組標準正交基
- 對於次空間V3
- 我認爲你現在已經學會了這個模型
- 你可以繼續做這件事情
- 你可以定義V4
- 當我定義這個我剛才說過的問題
- 我們處理一個k維次空間
- 我們直接到Vk
- 但是你繼續做直到做到你定義的k
- 如果k是3 我們就做完了
- 如果k是4 你說你定義了一個次空間V4
- 等於u1 u2 u3張成的空間
- 然後抛出一個非標準正交的向量
- v4 組合在一起
- 所以你可以用y4替換v4等於
- v4減去這個投影
- 變得有點看不清了
- 你這不是投影到一個三維空間
- v4投影到次空間V3
- 它完全可以類推到這
- 它就是V3現在就是一個三維空間
- 不是一個平面 你發現 在這個上面的投影
- 這是嚴格
- 正交於所有其它的向量
- 正交於次空間V3
- 你可以用y4構造v4 因爲v4
- 根據定義 等於
- 我們可以重新整理這個
- y4加上v4在V3上的投影
- 所以你可以用y4構造v4
- 和這些向量的某種線性組合
- 我可以用y4替換這個向量
- 然後我把y4標準化
- 我會除以它的長度得到u4
- 我繼續做這件事件直到到第k步
- 如果我做V5
- 我還是反反複複這一過程
- 構造一個標準正交基的這個過程
- 被稱作Gram-Schmidt過程
- 它可能看起來有點抽象
- 我做它的方法 但是下次影片
- 我將
- 針對次空間找尋標準正交基
- 當你必須處理一些具體的數
- 你就會發現這個不是太壞