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- 我有一個矩陣A 它是個m×n矩陣
- 它有m行和n列
- 因此我可以用非常一般的形式來這樣寫它
- 第一行是a11
- 第一行 第一列
- a12 第一行第二列
- 一直到 這個矩陣有n列
- 因此到a1n 第一行第n列
- 然後第二行是這樣的
- 這是a21
- 這是a22
- 一直到a2n
- 我們一直這樣做下去
- 直到第m行
- 這個第m行就是這樣的
- 這裡每一個數對應的都是每一行每一列的元素
- 就看你想怎麽去看它
- 因此這個就是am1
- m行第一列
- 這是am2
- 一直到amn
- 這就是我們的矩陣
- 這就是矩陣A
- 現在 我要定義A的轉置矩陣
- 爲A帶上一個上標T
- 這就是我的定義
- 實際上矩陣A
- 所有的行和列交換了
- 因此A的轉置矩陣就是
- 一個n×m矩陣
- 注意我說的是m行和n列
- 現在變成了n行和m列
- 那麽這個轉置矩陣是什麽呢？
- 它是什麽樣子的呢？
- 好了 我要交換行和列
- 因此第一行變成第一列
- 因此這就是a11
- 這個數仍然在那個位置
- 但是這個數就不在這了
- 這個a12
- 我的第二行
- 過去它是在第二行第一列
- 現在這個數
- 在第二列第一行
- 這樣下去一直到a1n
- 注意不是aIn 是a1n
- 這就對了因爲我現在有n列
- 對不起現在有n行
- 之前有n列
- 現在有n行
- 現在這一行
- 當我給它調換一下它就是這樣的
- a21 a22一直到a2n
- 現在你去接受這個概念
- 可能有點糊塗
- 因爲目前爲止 我們所做的每件事
- 我們總是說 第一個數是行
- 第二個數是列
- 這就是我們在上面做的
- 這是在這做的
- 你可以忽視行列的參照
- 你可以說 我不管這個第1行第2列是什麽
- 現在就在這
- 當你看到這個轉置
- 不要只是字面上的標一下下標
- 或者現在你可以顛倒這個順序
- 這是第一列第二行
- 這是第二行第一列
- 我不想大家太困惑
- 對於這些下標
- 只要記住 我們是把所有的行
- 變成列從而得到轉置矩陣
- 然後繼續做下去
- 然後這個第m行就變成第m列
- am1 am2一直到amn
- 因此 這個數現在就是那個數
- 如果你知道 這個數現在就是那個數
- 那個數現在就在那個地方
- 我想大家應該明白了
- 這就是轉置
- 有時當你遇到一些抽象的概念時
- 你可能會有點糊塗
- 我們會尤其贊同這點
- 一旦我們去證明涉及轉置的東西
- 但是對於一個實際的矩陣進行轉置
- 有真實的數 就不會太困難
- 因此 讓我們從一個2×2矩陣開始
- 我盡量用顏色把它區分開來
- 假定我有這個矩陣
- 把它定義爲A
- 現在把它定義爲B
- 我已經定義過A
- 現在就叫做B
- B等於[1,2;3,4]
- 那些顏色靠的太緊了
- 但是B轉置後是什麽呢？
- B的轉置矩陣等於
- 你交換行和列
- 因此這個第一行現在變成第一列
- 就是1 2
- 第二行現在變成
- 第二列3 4
- 或者你可以用另外一種方式來看
- 第一列變成第一行
- 第二列現在變成第二行
- 讓我們來做個例子
- 不是去做一個2×3 或者是3×3矩陣
- 讓我來做一個
- 可能有點挑戰性的矩陣
- 我想這樣大家能夠更加清楚
- 因此假設有矩陣C
- 把這個矩陣弄的大一點
- 它是一個4×3矩陣
- 讓我在這寫上一些數
- 這是1 0 -1
- 這是2 7
- 噢 我想用不同的顏色做出來
- 讓我用不同的顏色做出來
- 然後是2 7 -5
- 然後是4 -3 2
- 還得再做一行
- 因此這一行就取爲-1 2和0
- 那就是矩陣C
- 這是什麽 讓我去做那個
- 我想要它看起來賞心悅目一點
- 因此讓我用同樣的顏色把這個括號補上
- 那麽C的轉置矩陣是什麽？
- 因此 C的轉置矩陣
- 讓我用一種不同的顏色去做那個
- C的轉置矩陣現在就是一個3×4矩陣
- 本質上 它是矩陣C
- 所有的行交換成列
- 或者是所有的列交換成行
- 因此 現在它是一個3×4矩陣
- 第一行現在就
- 變成第一列
- 就是1 0 -1
- 第二行現在就
- 變成第二列
- 就是2 7 -5
- 我不是用同樣的綠色
- 但是大家應該明白
- 第三行就變成第三列
- 就是4 -3 2
- 然後 最後第四行
- 就變成第四列
- 就是-1 3和0
- 我們所做的是
- 這個數在第二行第三列
- 現在 這個相同的數在哪
- 它在第二列第三行
- 我們所做的就是把行和列交換一下
- 我們可以換一個來看看
- 讓我們看看
- 讓我們來做這個
- 這個數在第三行
- 是1 2 3
- 第二列
- 當你往下到這時
- 這個數現在就在第三列第二行
- 那就是一個轉置
- 爲了有趣點
- 對一個矩陣進行轉置的轉置會變成什麽？
- 如果對C進行轉置的轉置
- 這會發生什麽？
- 那麽它會等於什麽？
- 好了從C到C的轉置
- 我們交換所有的行和列
- 所有行和列對應的元素
- 當你再進行轉置
- 記住 讓我們集中看這個數
- 這是第二行第三列
- 你進行轉置
- 它變成第二列第三行
- 如果你對這個再進行轉置
- 它就又會變成
- 第二行第三列
- 因此C的轉置矩陣 C的轉置的轉置矩陣
- 就等於矩陣C
- 你交換所有的這些列
- 當你進行轉置時
- 當你再次轉置時
- 你又把它們換回來了
- 這就是其中的含義
- 無論如何
- 希望對大家有用