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Linear Algebra: Transpose of a Matrix Product : Taking the transpose of the product of two matrices
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- 我已經給出了幾個矩陣
- 已知A是m×n矩陣
- 它有n列m行
- 我來選擇其中的一個分量
- 這是很有用的
- 這是第j列
- 這是第m行
- amj就是這個分量
- 由已知矩陣B 它的定義是相似的
- 但它不是一個m×n矩陣
- B是一個n×m矩陣
- 所以這個分量……
- 讓我……
- 我意識到 這是很有用的
- 這是第n行
- 這是第j列
- 我寫出它們的轉置
- 看這個B的轉置
- B是一個n×m矩陣
- 現在這個轉置是m×n矩陣
- 原來的每一行成了現在的列
- 對A做同樣的處理
- 這是它的轉置
- A是m×n矩陣 從而其轉置就是n×m矩陣
- 它的行現在變成了列
- 好的
- 我們再定義兩個矩陣
- 我們定義矩陣C
- 我們定義矩陣C
- 我寫在這
- 我想這塊地方之後還是會有用途的
- 定義矩陣C
- 等於A和B的乘積
- 那麽C的維數是多少？
- 一個m×n矩陣乘以n×m矩陣
- 這兩個下標必須是相等的
- 這有這樣二者才能做乘法
- 結果得到一個m×m矩陣
- 所以這就是個m×m矩陣
- 我來定義另一個矩陣D
- 它等於(B轉置)(A轉置)
- 它的維數是相同的
- 因爲這是一個m×n矩陣乘以一個n×m矩陣
- 它們是相同的
- 這滿足矩陣乘法的要求
- 所以D就是一個m×m矩陣
- 我們來研究一下
- C中的分量都是什麽樣的
- 我把矩陣C寫在這
- 它有許多分量
- 即有c11 c12 c12 一直到c1m
- 你可以想象出來 因爲這是一個n×m矩陣
- 這是個cmm
- 這一列下來
- 我關心的是
- 我們如何求出cij是多少
- 我們如何求出具體的元素是多少？
- 我們知道C是A和B的乘積
- 對於C中的每個分量
- 我們之前見過怎麽求
- 對於C中的一個特定的分量
- 即cij 它等於……
- 你可以將它看作
- A的第i行與B的第j列的乘積
- 就像這樣
- 這等於多少?
- 它等於ai1<i>b1j+ai2<i>b2j</i></i>
- 一直進行下去
- 加到最後一項ain<i>bnj</i>
- 簡單吧
- 那麽矩陣D是多少呢？
- 它的分量是什麽樣的呢？
- D中分量的求法是相似的
- 這裡是d11 d12
- 直到d1m
- 最後是dmm
- 我可以把分量都寫上去
- 但是我要求的是分量的一般形式時什麽
- 我們來求dji
- 這是我要求的
- 我要求出
- 某個特定分量d的表達式
- 其中d是第j行第i列的元素
- 這與我們習慣上的字母的用法
- 稍微有所不同
- 但這沒關係
- 第一個下標表示這一行
- 第二個下標表示這一列
- 我們怎麽來求呢？
- 對於dji 它等於……
- D是這兩項的乘積
- 爲了求出第j行第i列的這個元素
- 我們需要取
- 第j行的乘積
- 就是這一行
- 乘以A的第i列 就在這裡
- 我們要取這樣的乘積
- 你可能已經發現其中的有趣之處了
- 這裡的這項等價於
- 這一項
- 並且這一項等價於
- 這一項
- 因爲我們取了轉置
- 我把它寫出來
- 這個點積等於多少？
- 它等於bij…… 我這麽寫
- 它等於bij<i>ai1</i>
- 或者這麽來寫 即ai1<i>b1j</i>
- 再加上b2j<i>ai2</i>
- 也就是ai2<i>b2j</i>
- 即加上ai2<i>b2j</i>
- 一直進行下去
- 加到bnj<i>ain</i>
- 或者寫成ain<i>bnj</i>
- 注意
- 這兩項是等價的
- 它們是同一種表述
- 即dji等價於cij
- 我寫出來
- 即cij=dji
- 另一種表達方式是
- 任何關於行的……
- 或者說C中的第i行第j列
- 現在是D中的第j行第i列
- 這對於所有的分量成立
- 都成立
- 這是最一般的形式
- 這能表明什麽？
- 這是由矩陣的轉置的定義得到的
- 從而有C轉置=D
- 或者說C=D轉置
- 這很有趣
- 這是由我們的定義方式決定的
- 對於矩陣C
- 它等於矩陣A和B的乘積
- 並且矩陣D等於
- B轉置和A轉置的乘積
- 它們的定義在這裡
- 這裡是定義
- 我們剛剛求出
- D等於C轉置
- 所以可以寫出C轉置
- 它就等於
- (AB)轉置 就等於D
- 就等於D
- 這也就是B轉置A轉置
- 這相當簡潔
- 這是個簡潔的知識點
- 如果取這兩個矩陣的乘積
- 然後做轉置
- 就等於調換它們的順序……
- 或者說分別求轉置
- 並且調換順序乘在一起
- 即B轉置A轉置
- 這很簡單
- 你可以將其擴展到
- 對任意數量的矩陣
- 求乘積
- 如果取…… 這裡我不加證明
- 但這是由此得出的
- 簡單的推廣
- 我用不同的字母XYZ
- 取它們乘積的轉置
- 它等於
- 就等於(Z轉置)(Y轉置)(X轉置)
- 我還沒有給出一般的證明
- 但是你可以將其
- 推廣到4個或者5個或者n個矩陣相乘
- 這些都成立
- 你可以用這個影片中的方法
- 給出證明
- 即兩個矩陣的乘積的
- 轉置
- 等於調換順序之後
- 再分別求轉置 再做乘積