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Linear Algebra: Transpose of a Vector : Transpose of a column vector. Matrix-matrix products using vectors
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- 假設向量v屬於Rn
- 它由n個元素組成
- 從v1 v2 一直到vn
- 我們之前接觸過這個概念 但在學過
- 矩陣轉置的概念後 既然可以求矩陣的轉置
- 那就沒什麽理由不可以求
- 一個向量的轉置 或者一個行向量的轉置
- v是怎樣的呢？
- 假設它是一個n<i>1矩陣</i>
- 有n行和1列
- 然後我們會得到什麽呢？
- 轉置之後 我們會得到一個
- 1<i>n矩陣</i>
- 這一列會變成一行
- 讓它等於v1 v2...
- 一直到vn
- 大家可能還記得
- 之前在很多矩陣當中
- 都接觸過這個
- 假設有某個矩陣A
- 我們稱之爲行向量
- 它是某些行向量的轉置矩陣
- a1轉置 a2轉置
- 一直到an轉置
- 事實上 在幾段影片之前
- 也出現過那些行向量
- 我本可以稱之爲
- 行向量的轉置 就像這樣
- 某程度上 那是一個更好的
- 解題方式 因爲我們已經
- 對行向量的運算方法做了定義
- 所以通常你可以提及轉置的轉置
- 然後對其進行運算
- 但無論如何 我不想扯得太遠
- 想一下 當你處理這個向量
- 對這個向量和其他向量進行一些運算的時候
- 會發生什麽
- 假設有另一個向量w
- 同樣屬於Rn
- 其中有w1 w2 一直到wn
- 其中的一些東西是
- 我們十分熟悉的
- 對v和w進行點乘
- v?w等於什麽呢？
- 等於v1<i>w1 + v2<i>w2</i></i>
- 一直加到vn<i>wn</i>
- 這就是兩個行向量的
- 點乘積的定義了
- 怎樣才能將這個和
- 轉置的v聯係起來
- 我們可以用v轉置
- 這樣子寫
- 我所做的是矩陣乘法運算
- v1 v2 一直到vn
- 這個是v的轉置 用來求
- v轉置和w的點乘積
- 由於有w1 w2 一直到wn
- 如果僅僅將其看成是矩陣
- 這個是w 如果我講這些看成矩陣
- 這個矩陣乘積被正確定義了麽？
- 這裡是一個n<i>1矩陣</i>
- 這裡是.. 不好意思
- 這裡首先是一個1<i>n矩陣</i>
- 因爲有1行和n列
- 而這裡我有一個n<i>1矩陣</i>
- 因爲它有n行和1列
- 這樣就是比較好的定義了
- 這裡有相同的行向量
- 由於在這裡有列
- 最後得到一個1<i>1的矩陣</i>
- 接下去這個會是什麽樣子的?
- 就等於v1<i>w1 讓我這樣寫</i>
- v1<i>w1 + v2<i>w2 。。。</i></i>
- 那只有一項
- 可以將其寫成這個樣子的1×1矩陣
- 讓我做做看 1×1矩陣是這樣子的
- v1<i>w1+v2<i>w2。。。</i></i>
- 讓我把v2寫在那裏
- 一直加到 vn<i>wn</i>
- 結果將會是這樣的
- 就是這個樣子的1×1矩陣了
- 但你可以留意到
- 這兩個東西是相等的
- 可以說 v?w
- 就等於w?v 這就等於
- v點乘w
- 讓我在這裡再寫一次
- v?w等同於v轉置
- 用v轉置乘上w 就是一個矩陣乘積
- 如果你將v看成一個矩陣 求其轉置矩陣
- 然後用那個矩陣
- 去求它和w的乘積
- 就是v?w了
- 這是一個十分有趣的收獲
- 我想你可以更直接地說
- 我們此前提到過的
- 當我們定義矩陣-矩陣乘積的時候
- 我說過 所求的是
- 每一行和每一列的點乘積
- 然後你就可以看到
- 那就是每一行和每一列的
- 轉置矩陣的點乘積
- 相信大家已經大致明白了意思
- 看看我們能否更深入地探究一下
- 假設有矩陣A 先將之前得出的
- 結果寫在這裡
- 讓我挑一個好顏色
- 假設有矩陣A
- 是一個m×n矩陣
- 如果用A乘上向量x
- 我將用向量x與之相乘
- 假設x屬於...
- 讓我這樣寫 x屬於Rn
- 其中有n個元素
- 換一種方法來看的話
- 那是一個n×1矩陣
- 當我求這個東西乘積的時候
- 會得到什麽呢？
- 換種說法 向量Ax是什麽？
- 求這個乘積的時候 我將會
- 得到另一個向量 這等於什麽呢？
- 就是一個m×1向量
- 我們可以說Ax屬於Rm
- 其中有m個元素 對吧？
- 如果它等於 如果你說Ax等於
- 假設它等於z
- 那z就會有m個元素
- 就會有z1 z2 一直到zm
- 因爲在A中有m行
- 然後只有一。。。
- 可以說 這是m×n
- 這個是n×1
- 求出的乘積就是m×1矩陣
- 或者說 就是一個屬於Rm的向量
- 其中有m個元素
- 如果是屬於Rm的向量
- 那麽將其乘以
- Rm中另一個元素就十分好定義了
- 假設 另有一個屬於Rm的元素
- 假如它是向量y
- 假設向量y屬於Rm
- 當你求乘積的時候所得出的向量Ax
- 就會有m個元素
- 這就有m個元素
- 所以求點乘積的概念就十分好定義了
- 讓我這樣寫
- 你可以用Ax 那是一個向量
- 現在我們將其與這個向量相乘
- 就會得到一個數字
- 我們取其各自的項
- 然後乘上相應的項 在將其相加
- 就會得到它們的點乘積
- 但這個等於什麽
- 我們可以利用這個在影片初段
- 所求出的結果
- 運用這個結果 就是兩個矩陣的點乘積
- 或者說是 兩個向量的點乘積就等於
- 作爲某種向量的第一個向量的轉置
- 大家可以將其看成(Ax)轉置
- 這是m×1 這個也是m×1
- 所以這是一個1×m的矩陣
- 現在用1×y矩陣乘以y
- 就像這樣
- 這個東西會等於什麽呢?
- 正如在一會兒前看到的
- 在兩三段影片之前看到的
- 如果用兩個矩陣的乘積
- 求其轉置矩陣
- 等於交換位置後轉置矩陣的乘積
- 只需要將原來的順序調換 然後分別求轉置矩陣即可
- 這就等於 紫色的那一部分
- 等於(x轉置)<i>(A轉置)</i>
- 再乘以y
- 這就是矩陣的乘積
- 這就是矩陣的乘積
- 這些未必是向量運算
- 我們只是將這些向量看成矩陣
- 當然 我們把矩陣看成矩陣
- 這個等於什麽呢？
- 我們知道 矩陣的乘積是結合的
- 在這裡放一個括號
- 現在在這裡到這裡放一個括號
- 我們可以作另一個結合
- 可以說 這個等於x轉置乘以
- 這兩個矩陣彼此相乘的積
- 這是一個向量
- 可以將其寫成一個m×1矩陣
- (A轉置)y
- 就會這樣的
- 想一下 (A轉置)y是什麽
- 讓我想想
- (A轉置) A是m×n的
- A轉置是什麽？
- A轉置是一個n×m矩陣 對吧?
- 將會是一個m×n的矩陣
- 所以這是一個m×n矩陣
- 向量y又會等於什麽呢?
- 這是一個m×1矩陣
- 在求乘積的時候 你就會得到
- 一個n×1矩陣
- 你可以將這個想象成Rn中的元素
- 這是Rn中的元素
- 整個乘積就是
- 屬於Rn的向量
- 這已經被很好的定義了
- 因爲這是一個1×n向量
- 現在讓我們回到恆等式
- 我們用一些轉置向量乘以其他一些向量
- 它們擁有共同的 大家可以說
- 這個有很多水平的項 而這個
- 有很多垂直的項 就像這樣
- 等於什麽呢?
- 運用恆等式
- 這就等於 在這個例子中的x
- 而不是x轉置
- 這就等於 x乘上 記住
- 我們不求x的轉置 大家可以這樣看
- 點乘(A轉置)y
- 這是一個十分整齊的結果
- 得到這個等於那個
- 可以改變這個結合律
- 盡管我們必須
- 稍微改變一下次序
- 然後求轉置矩陣
- 讓我這樣改寫
- 方便大家記住結果
- 這段影片中的兩個重要結果
- 我在這裡重新寫一下
- v?w等於
- (v轉置)?w的乘積
- 假如我有一個矩陣 如果這個
- 矩陣向量乘積被明確定義
- 而且乘積也被明確定義的話
- 我用Ax?y
- 就等於x乘以
- 將矩陣A
- 與另一個向量放在一起 (A轉置)<i>y</i>
- 這是一個有用的結果
- 有用的成果
- 是往後在線性代數學習中的
- 一個基礎