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Linear Algebra: Upper Triangular Determinant : The determinant of an upper triangular matrix
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- 這有一個矩陣
- 這個矩陣主對角線以下的元素都爲0
- 我開始了 爲了討論的方便
- 讓我們從2×2矩陣開始
- 矩陣有元素a b 0和d
- 不是c 在這是0
- 因此主對角線以下的元素都是0
- 那麽它的行列式是多少呢？
- 讓我們把這個矩陣叫做A
- A的行列式等於
- ad減去b<i>0</i>
- 那就是0 你不用寫它
- 因此這就等於ad
- 現在 我們有另外一個矩陣
- 叫做B
- 它是個3×3矩陣
- 它的元素是a b c
- 這兒是0
- 然後 這是d e
- 接著這兒又是一個0
- 又是一個0 然後是f
- 重覆一遍
- 所有主對角線以下的元素都是0
- 它的行列式又是多少呢?
- 好了 之前幾集影片我們就知道
- 我們可以挑選含0最多的一列
- 那樣可以簡化計算
- 讓我們來算出它的行列式
- 沿著這一列開始
- B的行列式等於a乘以它的余子式\N【譯者注：這裡用了更精確地數學術語――余子式】
- 也就是 去掉a所在行和所在列構成的矩陣
- a乘以[d,e;0,f]的行列式
- 然後減去 0乘以它的余子式\N【譯者再注：sal用的是“子矩陣”，但余子式更精確】
- 你可以刪掉這個 或者是乘以
- 它的余子式 那一行和那一列
- 得到[b,c;0,f]
- 然後加上0乘以
- 去掉這行這列 就得到[b,c;d,e]
- 顯然 這兩個都是0
- 我不介意這些2×2矩陣
- 不管它們的行列式到底是什麽
- 它們都是等於0
- 因爲它們都是乘以0
- 余下a乘以這個的行列式
- 而且這個矩陣的行列式很簡單
- 我們將要得到
- 它等於a乘以這個的行列式
- 也就是df-0乘以e
- 等於df
- b的行列式就是adf
- 注意到a的行列式是ad
- 現在你可能發現規律了
- 這兩個例子都是主對角線以下元素都爲0
- 對不？
- 這就是主對角線
- 當我們求這個矩陣的行列式時
- 行列式等於
- 主對角線上元素的乘積
- 如果你認爲這是一個普遍規律
- 那麽你是對的
- 我們可以用更一般的例子去驗證
- 讓我們用一般的例子來做
- 我們有矩陣a
- 它等於a11
- 這兒是a22
- 這兒是0
- 一直下去
- 直到ann
- 這行 所有元素都是0
- 除了最後這個元素
- 這兒都是0
- 因此主對角線以下的元素都是0
- 就像這個
- 但是現在我們做的是更一般的n×n例子
- 這兒的每一個元素
- 都不必等於0
- 這是a12 一直到a1n
- 這是a2n
- 一直下去
- 因此主對角線或者是主對角線以上的
- 元素都不必等於0
- 如果你想知道a的行列式
- 我們可以像剛才一樣來做
- 我們可以從這的第一行開始
- a的行列式
- 等於a11
- 乘以它的余子式
- 那就是a22
- 一直到a2n 然後是a33
- 一直到ann
- 然後這以下的元素都是0
- 重覆一遍 我們有另外一種情況
- 所有主對角線以下的元素都是0
- 那麽這個的行列式等於多少呢？
- 你可能會說
- 那一行其它元素都是什麽？
- 好了 這行其他元素都是0
- 就像這一樣
- 0乘以它的余子式
- 然後是減去再是加上
- 0乘以它的余子式
- 一直下去 等等
- 我們要注意這兒的這個元素
- 現在 我們要做的是同樣的問題
- 爲了得到行列式 我們沿著那行做下去
- 這個的行列式就等於
- 讓我寫出來
- 不要忘了這兒的a11
- 這個的行列式等於a22
- 乘以它的余子式
- 去掉這行這列
- 就剩下a33 一直到ann
- 這以上的元素都不等於0 因此這是a3n
- 然後對角線以下的元素
- 再說一遍 都是0
- 這以下的元素都是0
- 這是另外一種矩陣
- 我們叫做上三角矩陣
- 讓我把它寫下來
- 整堂課說的都是 主對角線以下的元素都爲0
- 這就叫做上三角矩陣
- 矩陣 就像這樣
- 現在 我們一遍又一遍的重覆去做
- 如果繼續滿足這個規律
- 現在你就會得到這個的行列式等於
- a33乘以它的余子式
- 每一次
- 余子式都越來越小
- 最終你會得到a11乘以a22乘以
- 一直到a(n-2)(n-2)
- 乘以一個2×2矩陣
- 這是a(n-1)(n-1)
- 然後是a(n-1)n
- 接著是0
- 最後就是矩陣最右下角的的元素
- 這就是最後剩下的元素
- 那麽這個的行列式是什麽呢？
- 好了 就是這兩個元素的乘積
- 就是這個數乘以這個數再減去
- 這個數乘以這個數 但是那是0
- a的行列式最後變成
- a11乘以a22
- 一直到ann
- 或者是主對角線上的所有元素的乘積\N【譯者注：請從數學歸納法的角度考慮上述證明】
- 這是一個很重要的結論
- 因爲這能夠簡化
- 對一些複雜的矩陣的
- 行列式的求解
- 你可以想象這如果是個100×100矩陣
- 現在 我們可以對角線上元素相乘
- 爲了讓大家更加清楚
- 我來舉一個例子
- 我們要求這個矩陣的行列式
- 它的元素是7 3 4 2
- 這是0
- 這是-2 1 然後是3 0
- 對不起 這兒沒必要等於0
- 這兒不需要爲0
- 6 7 實際上這兒可以爲0
- 但是我們不需要它們爲0
- 這是0 這也是0
- 就像這樣
- 因此這個上三角矩陣
- 如果你想算出它的行列式
- 你就把這些元素相乘
- 行列式就等於
- 7乘以-2乘以1乘以3
- 因此就是7乘以-6 等於-42
- 這多麽容易啊