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Linear Algebra: Vector Examples : Visually understanding basic vector operations
相關課程
- 上一個影片中我稍微正式地定義了
- 什麽是Rn 以及什麽是向量
- 並介紹了什麽是向量加法 或者數乘
- 這段影片中我將回歸基礎
- 爲大家提供更多的例子
- 用一種更可感的方式告訴大家
- 什麽是向量以及如何進行向量運算
- 在此先定義幾個向量
- 這段影片中所介紹的向量
- 基本都是在R2當中的
- 因爲它們比較容易畫出
- 記住 R2是二元數組
- 在給出的二元當中 每一個數字
- 都有x1
- 我寫的1看起來像個逗號 x1和x2
- 這裡每一個都是實數
- x1是一個實數
- x2也是一個實數
- 這只是讓大家感覺一下 這是什麽
- 如果這就是坐標軸
- 寫上我需要的所有x1和x2
- 可以把這個看成第一坐標
- 我們通常將其想象成x軸
- 這是第二坐標軸
- 畫出縱軸
- 習慣上這是y軸 但我將其稱爲
- 第二數軸就可以了
- 大家可以形象地在平面的每個點上
- 逐一地畫出R2中的所有東西 如果我們要
- 在每個方向上的無窮大區間中延伸
- 這就是R2了
- R1就只是在
- 這些數字上的點
- 那就是R1
- 所以你可以立即看到
- R2是一個更大的空間
- 但無論如何 我說過我不會說得太抽象
- 因此我將給大家更多例子
- 讓我們在R2當中畫出一些向量
- 假設有向量A
- 我會將寫得好看點並加粗
- 我的向量等於 我將會填一些數字進去
- 填上-1和2
- 向量b 寫好並加粗
- 讓我寫成上 3和1
- 這就是我給出的兩個向量了
- 讓我們將它們加起來 看看得到什麽
- 根據我對向量加法的定義
- 現在我會繼續用一個顏色
- 所以我就不需要換來換去了
- 一個漂亮a加上一個粗體的b等於
- 只需要將裏面每一項相加即可 -1+3
- 然後2+1
- 這就是我對向量加法的定義了
- 結果等於2和3
- 已經很好了
- 從我對向量加法的定義得出
- 但我要怎樣描繪這個向量呢？
- 我們知道 如果有坐標軸
- 你知道 如果我有坐標軸
- 這按部就班就可以了
- 這就是處理的方法了
- 就是將東西形象化的方法
- 如果我畫出點(1,1)
- 在我畫出的坐標軸中
- 對第一點 我沿著水平線
- 在習慣稱爲x軸的數軸上找
- 在這方向上找到1
- 然後根據慣例 第二點在
- 縱向中找到2
- 所以點(1,1)
- 不好意思 讓我更爲清晰一點
- 這是2和2 所以1在這裡
- 另一個1在這裡
- 所以點(1,1)就在這裡
- 這就是標準的習慣做法
- 現在我們喜歡用來描繪向量的方法是
- 你可能會說
- 噢 我只需要在點(-1,2)
- 上描繪這個向量
- 某程度上你可以做出
- 我會向你展現第二個方法
- 但一般對向量來說
- 你可以再從任何一點開始
- 我們在處理二維的向量
- 你可以再R2中任何一點開始
- 假設你將要在點
- (x1,x2)開始
- 這可以是在R2中任意一點
- 爲了描繪這個向量 我們要做的是畫一條
- 從該點出發到點(x1,...
- 我們將其稱爲 假設我們要畫出向量a
- 用x1-1
- 這就是 我在描繪向量a
- 這就是 我想要畫出向量a
- x1-1 然後x1+2
- 現在如果這對大家來說有點困惑的話
- 在我畫出來之後就會變得非常清楚了
- 假設我想要從這點開始
- 假設是出於奇怪的原因
- 我在這裡隨機挑選一點
- 我就挑一點
- 就是那裏的一點
- 就是我選擇的起始點
- 所以(4,4)
- 現在如果想要畫出我的向量a
- 我所說的是 將向量a中的第一項
- 加到我的第一坐標當中
- 所以x1加上-1 或者說x1-1
- 所以新的坐標就是 就是x1-4
- 現在它將變成 看看
- 我將從點(-4,4)開始
- 如果我想要描繪出向量a 需要做的是
- 畫一個朝向 -4加上這第一項
- 即-4-1
- 然後用4加上第二項
- 是4+2
- 那這是什麽？
- 這就是(-5,6)
- 所以我畫出點(5,6)
- 在那裏找到那個點
- 我只需要畫出一條線
- 所以向量看起來就像這個
- 從那裏到那裏畫出一條線
- 在多重點上畫一個箭頭
- 那就是描繪向量(-1,2)的其中一個方式
- 其實可以做得更好一些
- 因爲-5其實更多
- 離這裡更接近一點
- (-5,6)就在那裏
- 所以我們這樣畫出向量
- 但記住 這一點(-4,4)是畫出向量的
- 任意位置之一
- 我可以從這一點開始
- 我可以從點(4,6)開始畫
- 也能得到同樣的東西
- 我可以從橫軸上的-1畫
- 那是在水平方向上的移動
- 然後再縱軸上加上2
- 所以水平方向上的-1和
- 垂直方向上的正2 將點畫到這裡
- 所以可以如此簡單地畫出向量
- 這兩個都是對相同的向量a的解釋
- 用向量a的顏色將其畫出來
- 向量a在那裏是淺藍色
- 這就是向量a
- 這就是向量a
- 有事會有一些箭頭符號
- 在這裡向量上面
- 但無論兩個向量中的哪一個
- 我都可以畫出無數個向量a
- 可以在這裡畫向量a
- 我可以這樣畫出它
- 向量a 向後回到1 向擧升到2
- 所以向量a就在那裏
- 相似地 向量b
- 向量b做什麽
- 我可以爲畫出向量b挑選一些任意點
- 所以它向右移動三個單位 向右移1,2,3
- 然後向上移動一個單位
- 所以向量b 其中給一個向量b
- 看起來像這個
- 另一個描述
- 從這裡開始
- 可以向右移三步 1,2,3步 然後向上移1步
- 這是對向量b的另一種描述
- 有無限個描述向量b的方法
- 但習慣做法都是將其放進
- 所謂的標準位置當中去
- 都是從點(0,0)開始
- 你的起始點 讓我寫下
- 標準位置就是指向量從(0,0)出發
- 然後畫出它們
- 所以在標準位置的向量a 我從(0,0)開始畫
- 就像這樣並向後移一單位 再向上移兩單位
- 在那裏的就是在標準位置上的向量a了
- 然後要畫出在標準位置上的向量b
- 讓我們畫出來
- 這就是向量a
- 在標準位置的向量b是3
- 向右找到3然後向上找到1
- 這就是兩個向量在標準位置上的狀況了
- 然而在其他位置上畫出的任何向量都同樣有效
- 現在讓我們看看是否能對
- 向量a加上b的結果作出解釋
- 當我在標準位置上作出這個向量的時候
- 經過計算 那就是點(2,3)
- 所以我向右移動2單位和向上移動3單位
- 在標準位置上畫出它們
- 就是這個樣子的
- 這向量就這那裏
- 一開始當你看到它的時候 那裏的這個向量
- 就是在標準位置上的向量a+b
- 當你照著這個樣子畫的時候
- 向量a+b的關係並不清晰
- 要看到所畫東西的關係
- 你要將a和b朝尾端走
- 意思就是 你將b的尾端
- 放到a的前端
- 記住 這所有的都是
- 向量b的有效表述
- 所有向量b的有效表述
- 都有一個共同點 它們均彼此平行
- 但它們可以從任一點出發
- 所以向量b的另一個有效表述就是
- 從這一點開始的
- 從向量a在標準位置的終點開始
- 從這裡開始畫向量b
- 從這點開始向右三個單位
- 就有1,2,3
- 然後向上數一個單位
- 所以向量b也可以這樣畫
- 然後你就可以看到一些有趣的東西
- 發生了
- 但記住 這個向量b並不是在
- 標準位置展現的 但它們都是相同的
- 對向量b的有效表述
- 現在看到什麽
- 當我將在這裡的向量a
- 與向量b相加 如果我將向量a的開端
- 與b的尾端相連 會出現什麽
- 就得到相加後的結果
- 將兩個向量相加
- 我可以從任何位置做到這點
- 我也可以從這裡開始作向量a
- 然後我作出其尾端的點
- 我可以在這裡開始作向量b 然後向右移動三個單位
- 1,2,3 然後向上移動1個單位
- 我可以從這裡開始畫向量b
- 然後如果我將向量a和b相加
- 找到a的起點
- 和向量b的終點
- 向量a+b的結果同樣可以在
- 圖中得到顯示
- 只需要確定這些數字
- 向右移動2個單位 1 2
- 然後向上移動三個單位
- 1 2 3 然後就得到向量a+b了
- 現在看看 測量我們的向量時
- 會發生什麽情況
- 當我們乘上一些純量
- 讓我隨便挑幾個新的向量
- 之前那些已經有點單調了
- 假設有向量v
- v指向量
- 假設v等於[1,2]
- 將v畫在標準位置上
- 在水平方向上找到1
- 在垂直方向上找到2
- 就是這樣
- 這就是在標準位置上的這個向量了
- 如果我想要在非標準位置繪畫
- 我可以在這裡畫
- 向右1單位 向上2單位 就這樣
- 這是畫出向量v的等效方式
- 都是作出向量的等效方式
- 如果我乘上向量v
- 如果用2乘以向量v 會發生什麽狀況呢？
- 2乘以向量v 等於2乘以
- 其中的每一項 等於2<i>1</i>
- 等於2 然後2<i>2等於4</i>
- 這2<i>v是什麽樣子的呢？</i>
- 好了 讓我們從一個任意位置開始畫
- 就從這裡開始
- 向右兩個單位 1 2
- 向上四個單位
- 就是1 2 3 4
- 這就是2<i>v的樣子了</i>
- 這就是用2乘以我的向量v的樣子了
- 如果你仔細看看 它們都是朝著
- 同樣的方向 但現在是兩倍那麽長
- 如果用倍數2來乘以它
- 就看得通了
- 如果乘上一個倍數
- 或者你不改變其方向
- 那它的方向就會與之前一樣
- 只是伸縮了罷了
- 也可以在任意位置畫這個向量
- 可以在這裡畫
- 我可以在v的正上方畫出2v
- 然後你會看到 我不想覆蓋它
- 你會看到 在這個情況中
- 它與在位置上向量
- 是共線的
- 都是沿著相同的線 走到兩倍那麽遠
- 兩倍那麽長
- 但它們的方向是一樣的
- 如果現在我們對向量v
- 乘上-4 會發生什麽狀況呢？
- 好了 那就等於-4<i>1</i>
- 就是-4
- 用-4<i>2=-8</i>
- 這就是我的新向量了
- 就是[-4,8]
- 是用-4乘以向量v的結果
- 所以讓我們從任意位置開始
- 讓我們在標準位置開始
- 向右4個單位
- 或者你可以向左4個單位
- 向左4個單位 1 2 3 4
- 向下八個單位
- 就是這個樣子
- 所以新的向量畫出來後就是這個樣子的
- 讓我們試下畫一條直線
- 就這樣
- 這就是-4<i>v的樣子了</i>
- 畫一個小箭頭在上面
- 表明這是一個向量
- 現在發生了什麽？
- 看起來好像在同一個方向上
- 事實上 我們卻在另一個方向上
- 然仍然在同一條直線上對吧
- 但事實上方向正好相反
- 正正是這個負號
- 讓方向掉轉了
- 如果只用-1乘上v
- 會得到
- 只是在這裡掉轉了方向 對吧？
- 但用-4乘以它
- 乘以4 就得到4倍那麽長
- 因爲是負數 所以方向倒轉了
- 標向反方向了
- 現在就産生了一些觀念 我們開始有點
- 明白減向量的意思了吧
- 現在讓我在這裡畫兩個新向量
- 假設有向量x 粗體的x 它等於...
- 現在我都舉的都是R2的例子
- 但在這影片的最後
- 我會給出一些在R3或者R4中的例子
- 假設向量x等於[2,4]
- 假設有向量y
- 將y寫好並加粗
- 讓它等於[-1,-2]
- 現在我想弄明白
- 向量x-y等於什麽
- 我們可以說這和
- 向量x+(-1)<i>y是同樣的東西</i>
- 對吧？
- 所以x+(-1)<i>y</i>
- 現在可以運用我們的定義
- 我們知道如何乘上一個倍數
- 我們說這等於
- 讓我換一個顏色
- 我不太喜歡著顏色
- 等於我們的向量x [2;4]
- 然後-1<i>y等於什麽</i>
- -1<i>y 就是-1<i>-1=1</i></i>
- 然後-1<i>-2=2</i>
- 所以x-y等於這兩個向量
- 彼此相加的和 對吧？
- 我只需要加上負的向量y
- 這就是負向量y
- 所以向量x-y等於[3;6]
- 看看這是什麽樣子的
- 我們把它畫出來
- 向量x是[2;4]
- [2；4]在標準位置上是這樣的
- 這就是向量x
- 然後是在標準位置上的y
- 用一種不同的顏色來做 用綠色表示向量y
- 向量y等於[-1,-2]
- 它是這個樣子的
- 其實我不經意地作出了一個
- 共線向量 嘿嘿
- 這十分有趣
- 這就是向量y
- 它們有什麽區別呢？
- 這是[3;6]
- 就是向量[3;6]
- 就是這個向量
- 讓我在其他空間畫出這個向量
- 在這裡開始畫 向右1 2 3
- 然後向上6個單位
- 向上6個單位
- 這向量就是這個樣子的
- 這就是這兩個向量的樣子
- 這就是一開始說的向量x-y了
- 嘿 這兩者之間有什麽區別呢
- 如果你覆蓋這個
- 如果你將這個轉移到這裡
- 你可以從這裡開始一直向上
- 你就真的會在尾端看到
- 兩者的差別了
- 將兩者的多重點連接在一起
- 我不想畫出共線向量
- 換一個例子吧
- 盡管這個例子很有趣
- 但總不能在一本書總經常看到它
- 假設向量x在這例子中是[2;3]
- 向量y是[-4;-2]
- 在標準位置上的向量x是怎樣的呢？
- 那就是[2;3]
- 就是這個樣子的
- 如果從原點出發 這就是向量x了
- 這就是向量x
- 向量y是什麽樣子的呢？
- 我會用橙色表示向量y
- 用[-4,-2]表示
- 向量y是這樣子的
- 向量x-y是怎樣的
- 可以將其看成
- 用2+(-1)乘以這個
- 可以說是2-(-4)
- 我想大家都知道是什麽意思了
- 但上次用第一種方法去做
- 是因爲我想
- 從數乘的標準定義去做
- 所以向量x-y等於
- 2+(-1)<i>(-4) 或者2-(-4)</i>
- 其實就是2+4 就是6
- 然後這是 3-(-2) 等於5
- 對吧？
- 所以兩者之間的差就是向量[6;5]
- 所以大家可以在這裡重新畫出來
- 6+4 就是這裡 然後是5
- 找到這裡
- 所以向量就是這個樣子的
- 不該畫得那麽彎曲的 這就是向量x-y
- 但如果我們想上一個例子那樣畫在它們中間
- 我會在兩個頂端之間
- 給大家畫出來
- 如果你在這裡畫 那是什麽樣子的呢？
- 如果從這點開始
- 要向右移 然後向上移動5個單位 在這裡結束
- 所以兩個向量之差
- 確認一下沒有畫錯 兩個向量之差
- 就是這個樣子的
- 看起來就是這個樣子的
- 這看起來更加直觀一些
- 向量x-y
- 這就是兩個向量之差
- 大家可以將兩個向量之差看成 怎樣才能
- 從一個向量得到另一個向量 對吧？
- 就像..先回到那個
- 只有純量的“二等世界”當中
- 如果我問7-5等於什麽 你會說等於2
- 那只是告訴你5+2等於7
- 或者5和7之間的差值是2
- 在這裡你可以說
- 向量x和y之間的差值就在這裡
- 就等於那個向量
- 你可以說 如果用5+2就會得到7
- 或者你可以說 看 如果我將向量y
- 加上向量x-y 就得到向量x
- 現在讓我們做一些其他的有趣事情
- 讓我們畫出y-x等於什麽
- 就是向量y-x
- 這等於什麽呢？
- 讓我們用另一個顏色要表示
- 用-4減去-2 就得到-6
- 然後用-2-3
- 等於-5
- 所以y-x就是 看一看
- 如果我們從裏開始 向下6個單位
- 向下1 2 3 4 5 6
- 然後向後5個單位
- 所以向後 2 4 5
- 所以向量y-x就是這樣的
- 那是相同的向量
- 記住 起點是什麽並不重要
- 只需要在標向反方向就可以了
- 如果將它轉移到這裡
- 在這個正上方畫出這個
- 那剛好是向量x-y
- 只是方向相反而已
- 這是相當容易理解的
- 你可以將其畫成相反方向
- 讓我將問題講得更清楚一些
- 我們畫出向量y
- 畫出向量x 將x畫成[2;3]
- 所以向右2個單位 然後向上3個單位
- 我之前也做過了
- 這就是在非標準位置上的向量x了
- 它也是向量x
- -x又是什麽呢
- -x就是[-2,-3]
- 假設我以此爲起點 找到-2 然後
- 找到-3
- 所以-x就是這個樣子的
- 負x
- 和向量x很像
- 它們是平行的
- 大小也是一樣的
- 只是方向正好是相反的
- 這是一件好事 特別是
- 對這裡東西在腦海中
- 留下深刻的直觀印象來說
- 現在就講完這些
- 向量加減的概念了
- 迄今爲止 我都是在R2中完成的
- 但我想說 我們可以推廣這些東西
- 甚至可以推廣到
- 不能直觀地畫出來的向量空間當中
- 讓我先定義幾個向量
- 假設向量a等於[0;1;2..
- 和3]
- 定義向量b爲[4,-2,0,5]
- 我們同樣可以對它們進行加法和減法
- 運算
- 這將十分難畫出來
- 我們可以將其保持爲向量形式
- 在四維空間裏 這仍然是十分有效的方法
- 如果我打算用4<i>a</i>
- 這就是向量a-2<i>b</i>
- 這等於什麽呢？
- 這是一個向量
- 這等於什麽？
- 我們可以將其寫成4乘以
- 這整一列[0;-1;2;3]
- 用-2<i>b</i>
- 即-2<i>[4,-2,0,5]</i>
- 這等於什麽呢？
- 用4乘以這一行 你將會得到
- 寫字板在這個位置不太好用
- 那就在這裡寫吧
- 4乘以這個
- 就得到4<i>0=0 [0,-4,8...</i>
- 4<i>2等於8</i>
- 4<i>3等於12</i>
- 然後相減 我將用黃色來做
- 減去 2<i>4=8</i>
- 2<i>(-2)等於-4</i>
- 2<i>0等於0</i>
- 2<i>5等於10</i>
- 我的手寫板在這個區域不太靈敏
- 在那裏寫字不太方便
- 而我至今還沒有找到問題
- 就在那裏寫就好了 結果是什麽呢？
- 用0-8
- 就是-8
- -4和-4
- 就是減去-4
- 就是-4+4=0
- 8-0等於8
- 12減去 這是什麽？
- 我分辨不出來
- 噢 這等於10
- 現在你又可以看到了
- 有些東西是很奇怪的
- 所以就是12-10 等於2
- 當我們用4乘以這個向量
- 然後減去2乘以這個向量
- 就得到這個向量
- 盡管不能用一種可繪圖的方式
- 來簡單地描繪這個向量
- 但這仍然是個有用的概念
- 我們將進一步看到它 當我們將
- 這裡一些向量運用到多維度空間的時候
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