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Linear Algebra: Vector Triangle Inequality : Proving the triangle inequality for vectors in Rn
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- 在上個影片中
- 我講了Cauchy-Schwarz不等式
- 我想我應該再寫一遍
- 因爲我們今後要經常用到
- 它是一個有用的工具
- 它表明 如果已知兩個向量x和y
- 它們是Rn中的成員
- 並且都是非0的
- 這對於我們的證明
- 是必要的假設
- 否則就可能
- 出現意想不到的情況
- 這是證明中的大忌
- 如果我們假設它們是非0的
- 那麽就有
- 它們點積的絕對值
- 少於等於
- 它們長度的乘積
- 這是向量x的長度
- 我們在前面的影片中定義過
- 這是向量y的長度
- 顯然這是一個數值
- 並且這些也都是數值
- 在取長度之後 它們就不再是向量了
- 一個50維向量的長度
- 可能就是3
- 它就是一個純量
- 這就是純量的乘法
- 並且我們知道
- 不等式的等號成立
- 若且唯若
- x是y的常數倍
- 在一些教科書中――
- 要求倍數是非0的
- 但這是顯然的
- 我已經聲明x和y是非0的
- 如果這是0 那麽x就是0
- 我們已經聲明x不爲0
- 但如果你想的話
- 也可以說c也是非0的
- 但這本質上
- 可以由這些信息推出
- 在這種情況下
- 且僅在這種情況下
- 我們可以得到
- 兩個向量點積的絕對值
- 等於其長度的乘積
- 目前爲止我們都是在複習
- 上次課的內容
- 我們可以用它做什麽有用的事情呢？
- 我們來稍微耍一下
- 這不是一個試驗
- 我知道結果是什麽樣子
- 如果取x+y的長度
- 我們看看會發生什麽
- 將這兩個向量相加
- 然後取其長度的平方
- 通過前幾個影片我們知道
- 長度的平方可以寫成
- 一個向量與自身的點積
- 這個是x+y
- 我知道它看起來像兩個向量
- 它其實是兩個向量相加
- 就是一個向量
- x+y是一個實向量
- 我可以作出x+y的圖像
- 從而x+y的長度的平方
- 我可以把它寫成
- 它與自身的點積
- 即(x+y)・(x+y)
- 所有這些都是向量
- 它們不僅僅是數值
- 這個是點積
- 不是普通的乘法
- 在前幾個影片中
- 我們學過點積滿足分配律
- 結合律和交換律
- 就像常數的乘法一樣
- 如果你還記得二項式的乘法的話
- 那麽你會很容易理解這一點
- 在重覆使用分配律時
- 我要仔細認真地考慮
- 這可以寫成x・x
- 事實上 我是根據分配律寫的
- 因爲有時它看起來不是那麽明顯
- 我用黃色來寫這個x
- 把x+y這項都塗成黃色
- 從而這一項可以改寫爲――
- 即這個x點乘(x+y)
- 然後加上這個y點乘――
- 我換一種顏色
- 加上y・(x+y)
- 顯而易見 當你將它們相乘時
- 要應用分配律
- 我所做的就是
- 將這一項分配到每一個和式中
- 然後得到這項
- 然後再把括號打開
- 從而這項成爲――
- 我要注意顏色的使用――
- 得到x・x+x・y
- 這也許有些越前
- 但我認爲
- 這並不是魔術
- 我們就是應用了
- 我們證明過的點積的性質
- 就是在這裡用的
- 然後加上y・x
- 加上這個黃色的y點乘黃色的x
- 抱歉 點乘這個藍色的y
- 從而向量x+y的
- 長度的平方
- 就可以寫成這樣
- 我把顏色換回來
- 上式等於所有的這些――
- 這項等於什麽？
- 它等於x・x
- x・x是什麽？
- x・x是一個數量
- 我寫出來
- 它等於向量x的大小
- 我不應該再用“大小”這個詞了
- 應該是x的長度的平方
- 然後這裡有兩項
- 即x・y和y・x
- 我們知道
- 它們其實是相等的
- 我們證明過乘數的順序
- 對點積的結果沒有影響
- 正如常數的乘法中乘數的順序不影響結果
- 總之這兩項是相等的
- 從而可以寫成2x・y
- 最後一項在這裡
- 即y・y
- y・y就是
- 向量y的長度的平方
- 現在我們看看能否推出
- Cauchy-Schwarz不等式
- 或者說Schwarz
- 我不清楚它的發音
- 但是對於x・y
- 我們有x・y的絕對值
- 但是我們知道x・y是――
- 它必然少於等於
- x・y的絕對值
- 爲什麽呢？
- 因爲這一項可能是負的
- 我可以舉出
- 點積是負數的例子
- 事實上 如果x的分量都是正的
- 並且y的分量都是負的
- 則其點積就是負數
- 所以這項可正可負
- 如果它是正的――
- 則二者相等
- 如果它是負的 那麽這個絕對值
- 一定大於這一項
- 我們可以把這一結論
- 添加到Cauchy-Schwarz不等式中
- 這是顯然的
- 我們可以添加一個x・y
- 它少於等於x・y的絕對值
- 然後少於等於
- x的長度乘以y的長度
- 所以x・y一定是――
- 即x與y的點積
- 一定少於其絕對值
- 並且一定少於
- 這兩項的長度之積
- 如果我重寫一下
- 這個式子
- 一定少於等於下面這項
- 如果我用向量的長度代替這一項
- 那麽上式一定少於等於――
- 我只是重寫一下x?
- 然後加上2倍的
- 加上2倍的
- 我需要弄清楚
- 要用什麽來替代這一項
- 然後加上
- 向量y的長度的平方
- 現在我可以確定
- 這一項一定少於x・y的絕對值
- 是嚴格地少於
- 這是根據Cauchy-Schwarz得到的
- 嚴格少於兩個向量長度之積
- 所以我就用
- 兩個向量長度之積代替這項
- 我在這裡寫出
- x的長度乘以y的長度
- 由於這兩項相同
- 這兩項相同
- 而這項嚴格少於這項
- 從而這個式子就少於這個式子
- 我要提醒大家我們在做什麽
- 我寫在這裡的這項
- 它與這項相同
- 所以上邊的這項 它與這項相同
- 並且少於下面這項
- 從而我們可以寫出
- x+y的大小的平方
- 應該說是x+y的長度的平方
- 少於我寫在這的這一項
- 或是少於等於
- 那麽這項是什麽？
- 注意 這些帶有雙豎線的項
- 可能看起來很高端
- 但其實它們就是數值
- 這個x長度的平方 它就是個數值
- 每一項都是數值
- 它們對我來說就像是平方項
- 右邊的這項
- 就是x的長度加上y的長度的
- 總體的平方
- 如果將其打開
- 就得到x?+2||x||||y||
- 再加上y?
- 從而x+y的長度的平方
- 少於等於這一項
- 如果我們對
- 兩邊開方
- 就得到x+y的長度
- 少於等於x的長度
- 加上y的長度
- 我們稱之爲三角不等式
- 你也許在幾何課上見過
- 那麽它爲什麽叫做三角不等式呢？
- 你可以想象它們是
- 三角形的三條邊
- 我畫個圖
- 在R2空間中畫
- 我把坐標調出來
- 我們通過圖像來觀察
- 我把坐標固定在這
- 在這裡畫
- 先畫出向量x
- 假設向量x就像這樣
- 這是向量x
- 即向量[2,4]
- 這是向量x
- 然後畫向量y――
- 我令它們首尾相接
- 因爲要對它們做加法
- 所以向量y是――
- 我在一個非標準位置畫出來
- 它看起來像――
- 向量y就像這樣
- 我好好畫
- 這是向量y
- 那麽x+y是什麽呢？
- 注意 我沒有必要在二維空間中
- 做出任何像這樣的兩個向量
- 我只是假設它們在R2中
- 這僅僅是讓你理解其中的思想
- 這是它們的和 對嗎？
- 從x的尾部指向y的頭部
- 從而這個向量就是x+y
- 這就是爲什麽稱之爲三角不等式
- 它表示
- 這個向量
- 總是少於等於――
- 或者說這個向量的長度總是
- 少於等於
- 這個向量的長度加上這個向量的長度
- 這是顯然的
- 因爲你在平面幾何中學過
- 這是從這一點到這一點的
- 最佳路徑
- 它比從這到這 再到這的路程近多了
- 那麽這個長度等於這個長度
- 情況是什麽呢？
- 如果把這個三角形壓扁
- 就是一種極端的情況
- 其中x可能會是這樣
- 而對於向量y
- 也趨近於極端情況――
- 向量y也指向同一個方向
- 也許走的要遠一些
- 這是向量x 這是向量y
- 從而x+y就是這整個的向量
- 這個是x+y
- 現在的情況是――
- 三角不等式變成了一個等式
- 這就是這裡爲什麽有一個小等號
- 最極端的情況是
- x和y共線
- 爲什麽會是這樣？
- 我們可以回顧一下
- 我把坐標關了
- 我們回到這一步
- 如果回到這一步
- 在這裡我聲明過
- 這一項嚴格少於這一項
- 如果我做個假設
- 如果x等於y的常數倍會怎樣？
- 事實上 我要更仔細一些
- 因爲某個純量乘以y――
- 注意Cauchy-Schwarz不等式說
- 不等式的等號成立
- 若且唯若x是y的非0倍數
- 從而我們就能應用這項
- 我們可以推出x・y的絕對值
- 與這項相等
- 但是這個x・y沒加絕對值
- 我不知道它是不是正的
- 而我可以確定地說這項是正的
- 因爲它有絕對值
- 而這裡沒有絕對值
- 所以要使得
- 這項是正的
- 使之與x・y的絕對值相等
- 唯一的方法是――
- 我在下面寫出來
- 只有使得這一項中的
- c是正的
- 因爲若c是正的 那麽對於x・y
- 如果有x・y
- 則它等於cy・y
- 也就是
- c乘以y的長度的平方
- 我能確定
- 這個表達式等於x・y的絕對值
- 的唯一方法是
- 我能確定它的唯一方法是 c是正的
- 若c是負的
- 則這是一個負值
- 而這是一個正值
- 從而如果假設這項是正的
- 那麽就可以推出x・y
- 等於x・y的絕對值
- 由於這是一個常數倍
- 所以我可以推出這一項等於
- x的長度和y的長度之積
- 而不再是少於等於
- 希望你沒有感到困惑
- 我講的就是
- 如果假設
- x是y的正數倍
- 那麽就沒有少於號
- 從而有x・y
- 與x・y的絕對值相等
- 因爲這是正的
- 並且如果這項
- 與x・y的絕對值相等
- 而且它們互爲常數倍
- 那麽我們就用另一種方法
- 我們可以推出這項――
- 我不想弄得太麻煩
- 可以推出這項等於這項
- 如果這項等於這項
- 那麽這裡就僅有等號
- 而不是少於等於號
- 從而會得到一種極限情況――
- 我不想稱之爲極限情況
- 但是我們可以說x+y――
- 我們已經做過了
- 但是過程中都是等於號
- 它等於x的長度
- x+y的長度
- 等於x的長度加上y的長度
- 在x等於
- y的正數倍的情況下
- 其中c>0
- 這兩個式子可以相互推出
- 我們已經見過其幾何解釋了
- 坐標沒有了
- 但是我們知道
- x+y的長度
- 等於x的長度加y的長度
- 若且唯若它們共線
- 在這裡 這個向量加這個向量――
- 你可以直觀地發現――
- 比這個向量要長
- 你可能會說
- 這個線性代數知識有些繁瑣
- 我們在八九年級時
- 就學過三角不等式
- 問什麽還要費這麽大勁重新定義它？
- 這很有趣
- 這是我剛才畫的
- 你在九年級的幾何課上學過
- 這是在R2中
- 在笛卡爾座標係下
- 我不想過多地使用“維數”這個詞
- 因爲我還沒有正式定義它
- 但是這其實是在
- 二維空間中
- 線性代數的
- 有趣之處和有用之處在於
- 我們剛剛定義了關於任意大型向量的
- 三角不等式
- 或者說是關於
- 任意的分量數值很大的向量
- 它們都不必在R2中
- 它在R100中也成立
- 其中每個向量都有100個分量
- 我們剛剛定義了三角不等式中的一些記號
- 我們將二維笛卡爾坐標
- 進行了抽象化
- 將它拓展到三維
- 甚至n維空間中
- 其實我還沒有定義維數
- 但我想你應該開始理解它是什麽了
- 希望你覺得它有用處
- 我們得到了這個結論
- 事實上 是這兩個結論
- 並且定義了
- 兩個向量的夾角
- 再次說明 在某種層次上來說
- 爲什麽要定義夾角？
- 它不就僅僅是一個角度嗎？
- 我們知道這個角在二維空間中
- 但當抽象到n維空間時
- 角度表示什麽？
- 或者說當在Rn中時
- 這是我們下節課要討論的問題