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相關課程
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- 在這個影片和一般線性代數課程中
- 你會經常聽到的一個術語是
- 線性組合的概念
- 向量的線性組合是……
- 它們就是一個線性組合
- 我告訴大家它是什麽意思
- 比如說有一些向量v1 v2
- 一直到vn
- 它們都在同一個空間中
- 可以是R2或者Rn
- 假設它們都在Rn中
- 它們在某個維度的實空間中
- 大家應該知道的
- 概念相當簡單
- 這些向量的線性組合
- 就是將向量加和
- 它是向量的和的一個組合
- v1加v2 一直加到vn
- 可以將每一項乘以任意的常數
- 可以分別乘以c1 c2 直到cn
- 從c1到cn
- 都是實數
- 這就是所謂的線性組合
- 我給大家舉一個
- 具體的線性組合的例子
- 取一些向量
- 定義向量a等於――
- 這些都是粗體的
- 這些紫色的都是粗體
- 因爲它們都是向量
- 有時加粗字體是一項很繁瑣的工作
- 比如說
- 定義向量a=[1,2]
- 定義向量b=[0,3]
- 那麽a與b的線性組合是什麽呢？
- 就是任意常數乘以a
- 加上任意常數乘以b
- 它可以是0乘以a 加上――
- 可以是0<i>a+0<i>b</i></i>
- 結果是多少？
- 兩項都是0
- 結果是0向量
- 但這是一個有效的線性組合
- 我們可以用一個粗體的0
- 表示0向量
- 可以用3乘以a
- 常數是隨機選的
- 3<i>a加上――</i>
- 我選一個負數
- 加上-2<i>b</i>
- 這等於什麽？
- 我算一下
- 還是寫出來吧
- 它等於3-2<i>0 就是3-0</i>
- 在下面 3<i>2等於6</i>
- 6-2<i>3就是6-6</i>
- 從而結果是向量[3,0]
- 這就是a和b的線性組合
- 我可以取
- 許多隨機的實數
- 從而得到
- 許多不同的a和b的線性組合
- 如果還有第三個向量c
- 假設爲[7,2]
- 我也可以將它加進去
- 可以再加上8<i>c</i>
- 這些都是線性組合
- 那麽我們爲什麽稱它們爲“組合”呢？
- 爲什麽還有加上“線性”這個字首？
- 因爲我們將它們按比例放大
- 我們不是用向量相互做乘法
- 我們還沒有定義
- 向量乘法是什麽
- 事實上有多種做法
- 但是 我們不能對向量做平方
- 我們還沒有定義這是什麽意思
- 上述做法都會使結果
- 變爲非線性的形式
- 我們所做的僅僅是將向量加和
- 然後乘以一些係數對其按比例進行放大
- 這就是它叫做線性組合的原因
- 現在你可能會說
- 爲什麽要引入
- 線性組合的概念
- 因爲我需要用到這個概念
- 許多學生初次接觸這個概念時
- 都感到混亂
- 我認爲這個概念是很自然的
- 在這裡
- 我取了兩個數作爲權重
- 我認爲可以這麽稱呼它
- 因爲c1和c2都在a和b的線性組合中
- 我們先不考慮c
- 在這裡我取了一些不同的數
- 現在有一個問題
- 能生成的所有向量的集合是什麽？
- 這個僅僅是集合中的一員
- 由a和b的線性組合生成的
- 所有向量的集合是什麽？
- 我在這裡畫出a和b
- 我們可以從直觀上考慮
- 然後從理論上考慮
- 已知向量a和b
- a是[1,2]
- [1,2]就像這樣
- 這是向量a
- 我換種顏色畫b
- 用黃色畫
- 向量b=[0,3]
- 向量b就像這樣
- 那麽通過這兩個向量相加減
- 所能構成的所有向量的集合是什麽？
- 如果分別將它們乘以0
- 然後加在一起 結果是這樣
- 如果用3乘以a
- 這等價於把a擴大3被
- 所以這是1a 2a 3a
- 3a就在這裡 就像這樣
- 這個向量是3a 然後加上2b
- 不對 是減去2b
- -b就像這樣
- -2b就像這樣
- 這是-2b 以標準形式給出
- -2b處於標準位置
- 如果將3a加上-2b 就得到這個向量
- 3a-2b 得到這個向量
- 這也就是
- 我們通過理論得到的結果
- 結果是[3,0]
- 得到[3,0]這個向量
- 但這只是一個組合
- 關於a和b的一個線性組合
- 如果不用3乘以a
- 也可以用1又1/2乘以a
- 得到這個結果
- 3/2a-2b處理過程是一樣的
- 就像這樣
- 它就像――
- 我要確保這是對的――
- 它看起來就像這樣
- 所以我們得到的新向量
- 就像這樣
- 我給大家展示了
- 通過線性組合得到新向量的過程
- 我可以通過線性組合得到一個新向量
- 事實上 可以推斷出
- R2中的任何向量都可以用
- a和b的線性組合的形式表出
- 下面來做一個例題
- 我們就從直觀上來考慮
- 我們隨便取到哪個位置――
- 可以將a乘以一個係數
- 就是a的權重
- 然後加上任意倍的b
- b是直上直下的
- 我們可以加上任意倍的b
- 從而我們可以得到這條直線上的任一點
- 如果將向量a在擴大一點
- 然後加上b的倍數
- 就可以得到這條線上的點
- 如果用某個負數乘以a
- 然後加上任意方向的b
- 就可以得到這條線上的任意點
- 我們可以一直這麽做
- 對於每一個空缺的區域
- 我們都能找到向量a來填補它
- 如果要取這裡的點 就令a取小一點
- 然後加上向量b
- 從而就填滿的整條直線
- 因此我們可以用a和b的線性組合
- 覆蓋R2中所有的點
- 下面介紹“張成（span）的空間”
- 我把這個單詞寫下來
- 向量a和b張成的線性空間――
- 我寫下來――
- 就是R2 或者說是R2中的所有向量
- 它是所有的元組構成的集合
- R2是由兩個實數構成的
- 有序元組
- 它就等於R2
- 這意味著可以用a和b的線性組合
- 表示R2中的任意向量
- 那麽對於任何兩個向量都可以這麽做嗎？
- 如果a和b是――
- 設向量[2,2]是a
- 即a=[2,2]
- 設b=[-2,-2]
- 這就是向量b
- 即b=[-2,-2]
- 現在可以用它們表示任何向量嗎？
- 我可以把a放大或縮小
- 可以沿著這條直線對a進行改變
- 然後加上向量b
- b也在這條直線上
- 只不過方向相反
- 但我可以對其乘以一個負數
- 使之能夠達到直線上的任何一處
- 從而a和b的任意線性組合
- 都在這條直線上
- 前提是把它們畫成標準形式
- 結果是斜率與a和b相同的向量
- 或者說是傾斜度相同 隨你怎麽說
- 我永遠不能―― 存在這樣一個向量
- 我不能夠用a和b的線性組合將它表示出來
- 稱它爲c
- 這我辦不到
- 我寫成標注形式
- 將a和b進行伸縮
- 將它們首位相接
- 僅僅能得到直線上的向量
- 而不能得到這個向量c
- 在本例中 對於張成――我要聲明
- 是對於題中的a和b來說 而非任意的――
- 對於這個藍色的a和黃色的b
- 它們張成的向量空間是這條線
- 就是這條線
- 而不是整個空間R2
- 這不僅僅是關於
- 本例的一個聲明
- 它就像……
- 任意兩個向量都能表示出空間R2嗎？
- 不是這樣的
- 我剛剛給出了一個反例
- 0向量張成的線性空間是什麽？
- 在上面加一個箭頭
- 表示它是一個向量
- 0向量就是[0,0]
- 我不關心對它乘以什麽數
- 它張成的線性空間就是它的線性組合
- 實際上 我可以在這乘以任何實數
- 但最後都會得到向量[0,0]
- 所以0向量張成的線性空間就是它本身
- 由它的線性組合所得到的向量
- 僅有0向量自身
- 同樣地 如果取其它的向量張成的空間
- 回到這個例子
- 向量a是這個
- 用一個好些的顏色來畫
- 向量a就像這樣
- 如果我問a張成的線性空間是什麽
- 那就是僅由a的線性組合
- 生成的所有向量
- 這實際上是按比例的伸縮
- 甚至不用考慮組合
- 僅僅是c<i>a生成的向量</i>
- 我們在影片中見過
- 直線的參數化形式
- 這裡的由向量a張成的線性空間
- 就是由向量a按比例伸縮
- 形成的直線
- 向量a張成的線性空間就是一條直線
- 如果要展成空間R2
- 則需要兩個不共線的兩個向量
- 盡管我還沒有給出證明
- 但是我們在例子中能看出來
- 如果取這個a和這個b
- 那麽就可以用這兩個向量表現空間R2
- 關於能夠張成空間R2的
- 你最熟悉的兩個向量
- 如果你上過物理課
- 課上講過向量i和j
- 用我們的記號
- 物理課上講的單位向量i
- 就是向量[1,0]
- 這就是向量i
- 而向量j是單位向量[0,1]
- 這是在物理課上學過的
- 我換一種顏色
- 這是j j在那
- 並且你知道它們是正交的
- 關於正交的意義
- 我們要進一步討論
- 由高中的知識 我們習慣上的感覺是
- 正交就意味著夾角爲90度
- 但是你可以用這兩個向量
- 表示R2上的任何向量
- 而二者正交這一事實
- 則使得處理起來更加完美
- 這就是爲什麽這種形式――
- 這裡我省略了我們還沒有定義的一個詞
- 它們構成了基底
- 它們是R2的基底
- 事實上 你可以用這兩個向量
- 表示R2中的任何向量
- 這裡我不給出基底的定義
- 今後再講解
- 我先寫出
- “張成的空間”的正式的數學說法
- 使得大家更加確信
- 如果我寫出v1 v2 直到vn
- 張成的線性空間
- 它表示所有向量的集合
- 其中c1<i>v1 加上c2<i>v2</i></i>
- 直到cn――
- 再往右邊點―― 一直加到cn<i>vn</i>
- 這是一個向量的集合
- 每一個ci都可以取任意的實數
- 對於每一個i――
- i可以取從1到n
- 我要表達的是
- 我可以對這些向量乘以任何數值
- 即任意的實數
- 然後把它們加起來
- 從而我得到的
- 線性組合的集合
- 就是這些向量張成的空間
- 你可以把它看做一些向量構成的空間
- 其中該空間中的所有向量
- 可以由這些向量的線性組合表成
- 現在對於“張成”這個詞
- 我想你應該會有一種直觀的感覺
- 我是說在第一個例子中
- 我講解了兩個向量張成的線性空間
- 或者說a和b張成了R2
- 我把它寫在了這裡
- 這表明R2中的任何向量
- 都可以有a和b的線性組合表成
- 事實上 我們僅僅從直觀感覺上
- 給出了一個“假的證明”
- 現在我用代數方法證明一下
- 我可以取――
- 我要表示
- 已知一些――
- 我把向量a和b重寫一遍
- 這是向量a
- 它等於[1,2] 而向量b是[0,3]
- 我們記住它
- 向量a=[1,2] b=[0,3]
- 現在我可以表示出任何點了
- 比如說表示R2中的
- 任意一點x
- 其坐標爲[x1,x2]
- 我要證明的是
- 我可以用這些向量的線性組合
- 表示出任意x1 x2
- 寫出線性組合
- c1<i>a加上c2<i>b</i></i>
- 等於向量x
- 對於一個給定的x
- 我總能找到對應的c1和c2
- 我把向量的
- 實際數值
- 代入到式中
- c1乘以這個向量
- 加上c2乘以向量b
- 等於向量x
- 對應項等於x1 x2
- 它們是任意的
- 我們看看是否能證明出來
- 如果這是真的 那麽下式也成立
- 1<i>c1+0<i>c2一定等於x1</i></i>
- 這是由向量的純量乘法
- 和向量加法的定義得到的
- 我們還知道2<i>c2―― 抱歉</i>
- 2<i>c1+3<i>c2應當等於x2</i></i>
- 如果我能夠證明
- 若對於任意給定的x1和x2
- 我都能找到c1和c2
- 那麽我就證明了
- 可以由這兩個向量得到R2上的任一點
- 我們看看這是否可以證明
- 這是一個二元一次方程組
- 這是0
- 可以忽略它
- 我們將上式乘以2
- 寫到下面來
- 我們得到-2<i>c1――</i>
- 我就是對上式乘以了-2
- 這裡是0 加上0 等於-2x1
- 然後兩式相加
- 得到3<i>c2 對嗎？</i>
- 這項消去了
- 得到3―― 我換種顏色
- 得到3<i>c2=x2-2<i>x1</i></i>
- 兩邊同時除以3
- 得到c2=1/3(x2-x1)
- 現在可以將其代回 求出c1
- 但是通過觀察第一個等式
- 可以發現c1+0=x1
- 所以c1=x1
- 從這裡也可得到c1
- 故c1=x1
- 對於R2中的任意一點――
- 也就是兩個實數――
- 我可以使用這個方法
- 然後求出關於這一點的
- a和b的權重
- 如果說……
- 某一點關於a和b的線性組合是什麽――
- 我們先取一個點――
- 我們回到這
- 在這裡
- 假設要得到點[2,2]
- 即x1=2
- 我寫下來
- 我要得到點[2,2]
- a和b的線性組合是什麽呢？
- 已知c1=x1 所以這是2
- 而c2=1/3<i>(2-2)</i>
- 2-2=0 所以c2=0
- 如果想得到點[2,2]
- 我要乘以―― 哦 我才反應過來
- 這個結果有問題
- 我犯了個小錯誤
- 幸虧我用實際數字算了一下
- 這裡 有3<i>c2=x2-2<i>x1</i></i>
- 而在這裡少了個2
- 這裡有個2
- 兩邊除以3
- 得到1/3<i>（x2-2<i>x1）</i></i>
- 這就是爲什麽剛才的結果很奇怪
- 我不得不暫停檢查一下
- 回到修正過的c2
- 即c2等於1/3乘以……
- x2等於2 再減去2<i>x1 即-2<i>2</i></i>
- 從而結果是1/3<i>（2-4）</i>
- 括號裏等於-2 從而結果爲-2/3
- 如果用2乘以向量a
- 再減去2/3乘以b
- 就得到向量[2,2]
- 你何以自己證明一下
- 2乘以[1,2]
- 減去2/3乘以[0,3]
- 應該等於[2,2]