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Linear Transformation Examples: Rotations in R2
相關課程
- 讓我們來看一下能否創造一個線性變換
- 滿足旋轉一定角度的變換
- 要做的是 在R2空間任內取一個向量
- 把它映射到旋轉後的向量
- 或者換一句話說
- 就是旋轉某個向量
- 沿反時針方向 θ
- 等於x的旋轉角度
- 這就是我們想創造的
- 用我們新的線性變換的手段
- 只要確保我們可以做這個問題
- 我們需要確保
- 確實有一個這樣的線性變換
- 我會直觀地做出來
- 實際上我還沒有
- 對這個問題的一個數學定義
- 這幾乎和我給你們的一樣
- 我先畫一些坐標軸
- 我把它畫的再好看一點
- 這是縱軸
- 這是橫軸
- 稱這條軸x1
- 稱這條軸x2
- 在上一次影片中我稱它們爲x和y軸
- 這是向量的第一部分
- 這是向量的第二部分
- 所以如果有個向量x像這樣
- 我們知道一個反時針旋轉
- 會像這樣
- 我用藍色表示
- 它會像這樣
- 這個角就是θ
- 這就是
- x旋轉一個角度θ
- 就是這個向量
- 那麽我們需要做什麽去確保
- 這是一個線性變換
- 我們需要說明兩件事
- 我們需要說明 這個變換
- 對兩個向量之和旋轉θ
- 它要等於
- 它們各自轉轉之和
- 向量x的旋轉加上
- 向量y的旋轉
- 我把這部分做給你們看
- 這是向量x
- 向量y看起來像
- 我用黃色來畫原始向量
- 向量y看起來這樣
- 這是y
- x+y是什麽
- 我們把頭尾連接
- 如果我只是把y平移到這 它還是向量y
- 只是沒畫在標準位置
- x+y看起來很接近這樣
- 我畫的在接近一些
- x+y會是這樣
- 這就是向量x+y
- 那麽把它旋轉
- 一個角度θ後是什麽樣子
- 旋轉這個向量
- 一個角度θ的旋轉是什麽樣的？
- 我大概畫一下
- 它看起來會是這樣
- 這就是旋轉
- 一個角度θ後的x+y
- 現在讓我們來看一下這個是否等於
- 如果分別旋轉x和旋轉y 然後加到一起
- 如果把y旋轉一個角度θ會是什麽樣
- 如果我們把y旋轉一個角度θ
- 它會看起來像這樣
- 這全是近似的
- 我應該用尺子和量角器來畫
- 它大致就是這樣
- 把y旋轉一個角度θ後變成這樣
- 這是同樣的θ
- 我一直在用
- 用另一種顏色表示 就能清楚地看到
- 這就是那個向量
- x的旋轉在這
- 如果我們把x的旋轉和y的旋轉加起來
- 我有一點欺騙的成分
- 但是我認爲你們領會了這個思想
- 這就是x的旋轉加上y的旋轉
- 實際上得到的正是x+y的旋轉
- 至少在視覺上
- 它滿足第一個條件
- 現在我們需要的第二個條件
- 使它滿足旋轉一個線性變換
- 是旋轉
- 一個角度θ對一個向量的倍數
- 應該等於
- 同樣倍數旋轉後的向量
- 我只要做另一個視覺例子
- 那麽這是我們的縱軸
- 這是我們的橫軸
- 這是我們的向量x
- 我們再畫它的倍數
- x的倍數可能就像x
- 但是它變長了一點
- 它一直延伸到這
- 這就是cx 現在把它旋轉
- 一個角都θ
- 如果我們把它旋轉一個角度θ
- 你會得到像這樣的向量
- 把它往反時針旋轉
- 所以這個向量就是
- 反時針旋轉cx得到的結果
- 就是這樣
- 現在如果先旋轉x 會得到什麽
- 如果我們先旋轉x
- 我們將會得到這個向量
- 這個向量就是旋轉
- 一個角度θ對x 然後再乘以一個倍數
- 我們看到這是同樣的事情就是
- 當你先對x乘以c再旋轉 和你先旋轉
- 再整體乘以c
- 至少視覺上看起來
- 這個條件是滿足的
- 這樣旋轉確實是一個線性變換
- 至少以這個方法來看是這樣的
- 現在我們來確切地
- 爲它構建一個數學定義
- 實際上是構建一個矩陣
- 來執行這個變換
- 那麽我就可以說旋轉變換
- 對某個向量x從R2到R2可以
- 被定義爲某個2×2矩陣
- 它是2×2的
- 因爲它是從R2到R2的映射 乘以任意一個向量x
- 我敢說這可以做到
- 因爲至少視覺上 我已經向你們展示了
- 它確實是一個線性變換
- 那麽如何計算A
- 那麽 我從哪入手呢？ 既然這是R2上的映射
- 我就從R2上的單位方陣入手
- 即[1,0；0,1]
- 它的列是R2空間的一組基向量 對吧？
- 我們記這一列爲e1 這一列爲e2
- 爲了算出A 我們必須
- 執行這個變換到每一列上
- 我把它寫出來
- 那麽A 我們的矩陣A 會是
- 第一列會是
- 一個旋轉變換
- 作用到向量[1；0]上
- 第二列會是
- 旋轉變換
- 這我忘寫了一些東西
- 乘以第二行向量
- 或者說變換作用到[0；1]上
- 這就是A的樣子
- 那麽我們如何算出這些？
- 我們嘗試得到一些數
- 這樣的形式是不行的
- 讓我們嘗試著去做它
- 我在這再畫一些軸線
- 我選一個不同的顏色 我用灰色
- 這是縱軸
- 這是橫軸
- 可以分別稱爲x1軸和x2軸
- 現在這個基向量e1 它是什麽樣
- 橫軸x1上是1 x2上是0
- 所以這是1 e1就是這樣
- 我用一個更亮的顏色表示
- e1就是這樣
- 現在我們做出e2 e2這樣
- 我用黃色表示
- e2就是這樣
- e2 就是向量[0；1]
- 在x2方向上是1
- 現在如果旋轉e1一個固定的角度θ
- 它會變成什麽樣？
- 如果我旋轉e1一個角度θ
- 我把它用這個顏色表示在這
- 它的長度依然是1
- 但是它會像這樣被旋轉
- 這個角度就是θ
- 所以這個向量就是e1旋轉θ
- 這些當然都是向量
- 就是這樣
- 那這點的坐標是什麽？
- 或者說 我們如何表示這個新的向量
- 我們可以利用一點三角學知識把它做分解
- 它的新x1軸 我們可以這樣叫它
- 或者稱它爲x1分量
- 是這個長度
- 所以如果我們畫一個三角在這
- 它是θ的鄰邊
- 這條邊是長度爲1的斜邊
- 那麽我們如何表示這條邊
- 如果我們稱這條邊是鄰邊
- 鄰邊比上斜邊
- 鄰邊 我寫在這
- 鄰邊比上斜邊 斜邊是1
- 等於cosθ
- 這是從三角學中學到的 我寫下來
- cos是鄰邊比斜邊
- 這條鄰邊就是
- 我們新的x1坐標 對吧？
- 很顯然 我們忽略了這個1
- a除以1的量等於cosθ
- 這就意味著a等於cosθ
- 這就意味著 旋轉後的向量的這個長度
- 是等於cosθ
- 它的橫軸部分
- 或者說它的橫坐標等於cosθ
- 那麽它的縱坐標部分是什麽呢？
- 它的縱坐標部分
- 是這個高
- 這和這個高是一樣的
- 或者我們可以說是sinθ
- 稱它爲對邊
- sinθ等於對邊除以1
- 所以這個等於sinθ 對吧？
- 這個除以1 就是這個
- 根據三角學 等於sinθ
- 所以這個縱軸部分等於sinθ
- 所以新的旋轉後的基向量可以寫成
- x部分爲cosθ
- 或者說是橫軸部分
- 縱軸部分是sinθ
- 這是新的旋轉後的基向量
- 那麽e2是什麽樣
- 我們可以做同樣的事情
- e2看上去像這樣 當你旋轉它
- 一個角度θ
- 它看起來是這樣
- 這個角度就是θ
- 我們可以構建一個小三角在這
- 所以如果我想知道它的x坐標
- 所以我們要考慮這個旋轉
- e2一個角度θ
- 就在這個位置
- 這是e2在這
- 這會等於什麽？
- 它的新x坐標 或者說它在這個向量的第一分量
- 如果我們想把它畫在標準位置
- 或者說 該點的位置
- 等於這個距離
- 等於這個三角形上的這個距離
- 但是坐標是
- 這個取負號 對吧？
- 如果這個距離是2
- 這個坐標就是-2
- 那它是什麽 我們有個角
- 它是一個三角形
- 這是三角形的對邊
- 對邊除以1
- 對邊比上斜邊等於cosθ
- 所以這條對邊等於cosθ
- 所以在這的x軸
- 哦 抱歉 我的三角法整反了
- 這是對邊 還記得三角學吧？
- sin等於對邊 我寫下來
- sinθ等於對邊比上斜邊
- 這個sinθ sin這個角度等於
- 對邊比上斜邊
- 斜邊是1 長度1
- 因爲這些是標準基向量
- 所以這個等於sinθ
- 現在 這個距離是等於sinθ
- 它又是負方向
- 所以它等於-sinθ
- 如果這樣旋轉e2
- 新的y分量是什麽
- 我們來看這
- 我們有一個角
- 這是這個角的鄰邊
- 這條鄰邊比上斜邊 鄰邊比上1
- 就是在這的鄰邊
- 就等於cosθ
- 所以它的新y坐標是cosθ
- 那麽當我們應用這個變換
- 作用到每個基向量上
- 我麽得到A等於這個變換應用到e1
- 就是[cosθ；sinθ]
- 和變換應用到e2
- 就是[-sinθ；cosθ]
- 現在這是一個很重要的結果
- 現在我們可以數學上
- 利用一個矩陣指定我們的旋轉變換
- 那麽現在可以說這個旋轉變換
- 它是一個從R2到R2的變換
- 它是一個函數
- 我們可以說旋轉
- 一個角度θ對任意向量x在定義域內
- 等於矩陣[cosθ,sinθ；
- -sinθ,cosθ] 這樣
- 乘以在定義域內的向量 乘以[x1；x2]
- 你可能會說
- 這個問題得到了相當整潔的結果
- 但是怎麽應用這個
- 我仍然有這些cosθ
- 和sinθ 我怎麽做
- 你要做的是
- 選擇一個你想旋轉的角度
- 然後計算這些
- 你會得到一個正規方陣裏面有些數
- 比方說我們想旋轉
- 某個向量45度角
- 那麽 這個會等於什麽
- 我們只要應用
- 或者說我們算每個45度角比率
- cos45°等於√2/2
- sin45°等於√2/2
- sin45°是√2/2
- 我們有個負號
- 所以是-√2/2
- 然後cos就是√2/2
- 我們把它和我們的向量x相乘
- 所以這個矩陣
- 如果我們把它乘以任意向量x 字面上
- 如果有一些坐標軸在這
- 比方說我有一堆向量
- 表示某個正方形
- 我看一下我是否可以把它做好
- 可能它有一些三角在這
- 可能對我來說畫起來比較簡單
- 我要做一個正方形
- 比方說在定義域內有某個正方形
- 這是在R2範圍內
- 如果我字面上把它
- 乘以每一個基向量
- 或者說所有的向量
- 表示這個集合
- 就會得到 當我對它做變換
- 我把它做45°旋轉
- 把它畫出來
- 我實際上畫一個45°角在這
- 然後它會被映射到這張圖的這個位置
- 這是一個整潔的結果
- 如果你曾經嘗試寫一些電腦遊戲
- 涉及到彈球或是三維彈球
- 這是一件很有用的事情
- 你如何做旋轉
- 在未來 我們將探討
- 其他類型的變換
- 但是這是一個很有用的變換
- 這也是做起來很困難的
- 我還記得第一次我寫電腦程序的時候
- 曾經嘗試著做類似的事情 我就是拿手算的
- 但是如果你有這樣的工具可以使用
- 你要做的只是計算這個矩陣
- 在你想要旋轉的角度下
- 然後乘以位置向量
- 很顯然
- 你會得到在這得到一堆位置向量
- 但是這你只要這樣做乘以這些頂點
- 然後你就做好了
- 剩下的就只要連接這些點即可
- 然後你得到了你旋轉後的圖像
- 需要明確的是
- 這些點被一個向量組表示
- 我總是想明確這點 對吧？
- 這個點被表示爲
- 某個位置向量像這樣
- 當你旋轉這個向量45°
- 這個向量會變成這樣
- 向量表示這個角
- 我們用另一種顏色表示
- 表示這個角
- 當你旋轉45°後
- 會變成這個向量
- 向量表示這個角的
- 現在變成這個向量
- 這就是怎麽被映射的
- 或者說怎麽被變換的
- 無論怎樣 很好的是你發現這個很整潔
- 我認爲這是 至少對我而言
- 第一個真正整潔的變換
- 你已經可以開始考慮
- 如何把這些擴展到更高維的情形
- 特別是三維
- 如果你曾經嘗試用手做過這個
- 三維旋轉很複雜
- 實際上 下次影片我們會給出一種方法
- 在特定軸線上做三維旋轉
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