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Linear Transformation Examples: Scaling and Reflections : Creating scaling and reflection transformation matrices (which are diagonal)
相關課程
- 我們講了很多關於線性變換的內容
- 本節課及下節課
- 我要做的是
- 給大家講解
- 如何設定一個合適的線性變換
- 使之滿足你的要求
- 我們已經知道
- 如果已知一個線性變換T
- 它從Rn映射到Rm
- 那麽我們可以表示T――
- 即將T作用於任意向量
- 或者說T將x從Rn映到Rm――
- 可以將它表示成某個矩陣乘以向量x
- 其中的矩陣是m×n矩陣
- 我們總可以構建這個矩陣
- 從而任何線性變換都可以
- 通過這個矩陣來表示
- 我們可以用單位方陣來代替變換
- 你之前應該見過 它有n行n列
- 它就像這樣
- 這是1
- 然後它下面有n-1個0
- 然後是0 1
- 剩下的都是0
- 從而得到的矩陣對角線上都是1
- 它是一個n×n矩陣
- 所有這些都是0 就像這樣
- 當你取一個單位方陣
- 它的每一列都對應一個變換
- 稱每一列爲Rn的標準基
- 這列是e2 這列是e2
- 它有n列
- 這是en
- 每一列的向量都是Rn中的一員
- 因爲這個矩陣有n行n列
- 我們知道矩陣A
- 可以表示一個變換
- 具體由其每一列完成變換
- 從而這是作用於e1的變換
- 這是作用於e2的變換
- 依此類推
- 一直到作用於en的變換
- 這是十分有用的
- 因爲通過這些向量
- 來處理變換是非常容易的
- 這些向量在每一個維數上只有1
- 或者說它們關於每個變量都只有1
- 其他都爲0
- 上述內容都是複習
- 我們要通過這些信息
- 來構造一些有趣的變換
- 我們從Rn中的一些集合開始
- 事實上下面我所做的討論
- 都是在R2中
- 但是你可以把它們
- 拓展到一般的高維空間中
- 我們這裡只處理R2空間中的問題
- 顯然這裡只能做二維空間
- 假設有一個三角形
- 它的一個頂點在這
- 比如說是[3,2]
- 還有一個頂點
- 假設三角形的另一個頂點
- 是這一點 將它設爲[-3,2]
- 我不應該寫得這麽分散
- 我也不知道我剛才怎麽想的
- 這是點[3,2]
- 然後是點[-3,2]
- 就是這一點
- 即[-3,2]
- 下面爲了有趣一些
- 假設第三個頂點 或者說是向量――
- 一個位置向量
- 設它是[3,-2]
- 就在這裡
- 所有的向量都是位置向量
- 我可以畫出來
- 我可以把[3,2]畫在標準位置
- 用一個箭頭來表示
- 我也可以把[-3,2]
- 畫在標準位置
- 而[3,-2]就像這樣
- 相比於實際上的位置向量
- 我更關心它們表示的位置
- 我們知道如果取
- 所有的位置 或者說所有的位置向量
- 它們構成的三角形
- 本質上是由點這些點構成的
- 這個集合的變換――
- 我們要對其進行變換
- 本質上你可以取
- 每個頂點的變換
- 從而你可以通過相同的順序把這些點聯係在一起
- 這我們在前幾個影片中學過
- 但這裡我們來自己構造一個變換
- 比如說――
- 我們從定義域中任取一個點
- 從該點出發來構造變換
- 假設做關於x軸對稱的映射
- 做映射――
- 我們開始關於y軸對稱做映射吧
- 我們實際上要將它翻轉過來
- 要將它這樣翻轉
- 我已經能夠想象出來
- 將它翻轉之後是什麽樣子的了
- 我們要將它關於y軸做對稱
- 並且我們要將其y方向的長度伸長到2倍
- y方向長度乘以2
- 我能夠想象
- 我們要將它這樣翻轉
- 我在這畫出來了
- 然後將它伸長
- 總之我們首先要進行翻轉
- 這是第一步
- 第二部是將它伸長
- 它的高將會變成原來的兩倍
- 就像這樣
- 而在x方向不進行伸長
- 我們怎麽來做？
- 首先是要
- 關於y軸做對稱
- 我們需要這個點
- 其x坐標爲-3
- 我們要保證其y坐標不變
- 讓它還是2
- 我稱這個第二個分量
- 爲y坐標
- 我也可以稱其爲x2坐標
- 但對於這個圖來說
- 我們習慣上處理y坐標
- 所以我還是稱它爲y坐標
- 我們是要將這個-3變換成+3
- 我們需要這個點在這裡終止
- 並且需要這個+3
- 變換到這個-3現在的位置
- 我們還要這個+3
- 變換到這個-3的位置
- 你可以想象我們所做的
- 就是反轉這些符號
- 這是關於y做的對稱映射
- 它等價於反轉符號
- 反轉x坐標的符號
- 所以這個陳述等價於
- -1乘以x坐標
- 我稱之爲乘以x1
- 因爲這是x1
- 然後我們要伸長y坐標
- 這意味著什麽？
- 這表明無論高度有多高――
- 下一個步驟是無論高度有多高――
- 要將它乘以2
- 從而這裡的坐標是[3,2]
- 如果沒有做第一步
- 那麽坐標就是[3,4]
- 我要將y坐標乘以2
- 然後我要做的是用2乘以――
- 我也可以稱其爲
- 稱其爲y坐標
- 這與我們以前的習慣
- 稍有不同
- 我就稱這些向量爲――
- 不稱它們爲x1和x2
- 我稱R2中的向量――
- 第一個分量稱爲x
- 第二個分量稱爲y
- 其實表現的內容是一樣的 只是換種形式
- 我用現在這種記號
- 因爲我們習慣通過這種方式思考
- 而不是通過x1 x2
- 那麽我們怎樣來建立這個變換？
- 我可以用變換的語言
- 將它寫出來
- 我可以將變換
- 定義爲T(x)
- 我這麽寫
- T([x,y])等於――
- 要用-1乘以x
- 得到-x
- 然後用2乘以y
- 這就是用變換的語言
- 寫出的結果
- 這顯得很直觀
- 但我應該如何建立關於它的矩陣？
- 你可以做的是 你可以取――
- 我們在R2中處理問題
- 所以從R2中的單位方陣出發
- 即[1,0;0,1]
- 然後將這個變換
- 作用於單位方陣的每一列
- 如果將變換作用於第一列
- 會得到什麽？
- 我們要做的是建立一個新的矩陣A
- 它等於一個變換――
- 我這麽寫――
- 即T([1,0])
- 這是新的一列
- 我們要對這一列進行變換
- 第二列將會是
- 那一列的變換
- 即T([0,1])
- 就像這樣
- 這些等於什麽？
- 對於T([0,1])
- 我用綠色的來寫
- A等於多少？
- 當x=1時 [1,0]的變換時什麽？
- 我們取x項的相反數
- 得到-1
- 然後是2乘以y項
- 於是2乘以0就等於0
- 現在處理第二項
- 0的相反數還是0
- 所以它就是0
- 然後用2乘以y項
- 2<i>y就等於2<i>1</i></i>
- 結果是2
- 現在我們可以描述這個變換了――
- 我們可以描述
- 某個向量[x,y]的變換
- 可以將它寫成矩陣和向量的乘積
- 它等於[-1,0;0,2]乘以向量
- 即乘以[x,y]
- 我們來驗證一下它是否管用
- 爲了證明這個矩陣管用
- 對於第一個頂點
- 我會盡量保持顏色的一致性
- 先處理第一個頂點
- 這個是點[-3,2]
- 這是[-3,2]
- [-3,2]是什麽―― 我在這寫
- 這樣可以看到它
- 那麽[-1,0;0,2]
- 乘以[-3,2]是多少？
- 這就是一個矩陣和向量的乘積
- (-1)<i>(-3)=3 再加上0<i>(-2)</i></i>
- 就是加上0
- 這項等於3
- 然後是0<i>(-3)=0</i>
- 再加上2<i>2</i>
- 結果是[3,4]
- 所以這個點
- 現在就變成了點[3,4]
- 它成爲了這個點
- 我們考慮這個點[3,2]
- 取變換矩陣
- [-1,0;0,2]乘以向量[3,2]
- 它等於 -1<i>3=-3</i>
- 再加上0<i>2</i>
- 它就是-3
- 然後是0<i>3=0</i>
- 加上2<i>2=4</i>
- 0加上―― 從而得到這個點
- 這個點通過變換T作用後
- 變成了[-3,4]
- 即[-3,4]
- 我需要用術語來講
- 我剛才說的是“變成”
- 如果你習慣用
- 我在介紹函數和變換時用到的術語
- 你也可以說“映射到”
- 這個點映到R2中的這個點
- 最後我們來處理這個點
- 應用變換矩陣
- 用矩陣[-1,0;0,2]
- 乘以這個點 即[3,-2]
- 就等於-1<i>3=-3</i>
- 然後0<i>-2=0</i>
- 所以這就變成了-3
- 然後0<i>3=0</i>
- 且2<i>(-2)=-4</i>
- 從而得[-3,-4]
- 所以這個點變成了[-3,-4]
- 就是這個點
- 我們知道 R2中的集合通過同一個變換
- 將這些點聯係起來
- 它們會映到R3中的集合中
- 我們已經學過
- 應該是3個影片之前
- 所以我畫的這個集合的像
- 這個三角形就是
- 有向量指定的點的集合
- 這個位置向量集合的像
- 具體指定了這裡的這些點
- 指定了我畫在這裡的這些點
- 我確定一下我做的是否正確
- 我畫出來 就像這樣
- 看吧 其實已經做過了
- 我們將它翻轉
- 把這條邊換到這條邊
- 然後將它伸長
- 在y方向上伸長
- 令它伸長到原來的2倍
- 首先是翻轉
- 然後伸長到原來的2倍
- 一般地
- 所有這些操作都可以實現――
- 你總可以從變換的基出發
- 你總能將線性變換
- 寫成這種形式
- 然後就可以將它應用到基向量
- 或者說是單位方陣的行向量
- 一般的工作就是 通過變換的作用
- 使得在x或y方向上進行放縮
- 當我―― 你需要理解放縮
- 它可以使得在x或y方向上
- 伸長或縮短
- 或者構造一個映射
- 使得在x或y方向上進行翻轉
- 這些將會是單位方陣
- 單位方陣
- 爲什麽它們是單位方陣呢？
- 因爲它們僅在對角線上
- 是非0的
- 這是2×2的情況
- 如果是3×3的矩陣
- 其對角線以外的元素都是0
- 這具有重要意義
- 因爲這個第一項本質上
- 是對x1項做變換
- 而第二項是對x2項做變換
- 在本例中就是y項
- 如果有很多項 比如說是3×3矩陣
- 就要在三維空間中處理
- 再往下推
- 就是四維空間
- 你可以將這一概念拓展到任意空間Rn
- 無論如何 這個影片的意義在於
- 介紹給你
- 構建合適的變換的方法
- 我想你已經開始理解
- 這個方法是很有用處的――
- 特別是在計算機編程中――
- 特別是在做些圖表
- 或是構建一類高維遊戲時
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